2016-2017学年度第二学期高一数学期中试卷及答

2016-2017学年度第二学期期中考
高一年级数学试题卷
考试时间：120分钟；满分：150分；命题人：
注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案．．．．．．填涂．．在答题．．．卷．上．）．
1.设全集U=A ∪B={1，2，3，4，5}，A ∩（∁U B ）={1，2}，则集合B=（ ） A ．{2，4，5}
B ．{3，4，5}
C ．{4，5}
D ．（2，4）
2.过点M （﹣3，2），N （﹣2，3）的直线倾斜角是（ ） A
．
B
．
C
． D
．
3.函数3
()3f x x x =+-的零点落在的区间是（ ）
[].0,1A [].1,2B [].2,3C [].3,4D
4.计算sin105°=（ ） A
．
B
．
C
．
D
．
5.函数)3
2sin(π
+=x y 的图像( )
A.关于点)0,3
(π
对称， B.关于直线4
π
=
x 对称， C.关于点)0,4
(
π
对称， D.关于直线3
π
=
x 对
称
6.要得到函数cos 23
y x π
=+（）
的图像，只需将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平行移动3π
个单位长度 B ．向右平行移动
3π
个单位长度 C ．向左平行移动6
π
个单位长度
D ．向右平行移动6
π
个单位长度
7.已知5
2
3cos sin =
+x x ，则sin 2x =（ ） A ．1825 B ．725 C ．725- D ．16
25-
8.已知2sin α＋cos α＝10
2
，则tan2α＝（ ） A ．
34 B ．43 C ．－34 D ．－43
9.函数y ＝2cos 24x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭－1是( )
A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为
2π的奇函数 D ．最小正周期为2
π
的偶函数 10.函数)2
cos(62cos )(x x x f ++-=π
的最小值为 （ ） A ．211-
B ．2
7
C ．5-
D ．7 11.设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，有以下四个命题：
①若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n ； ②若α∩γ=m ，β∩γ=n ，m ∥n 则α∥β； ③若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ ④若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β． 其中正确命题的序号是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①④ 12.已知],1,1[-∈x 则方程x x
π2cos 2
=-所有实根的个数是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案．．．．．．写．在答题．．．卷．上．）． 13.已知,3tan =α则=+
）（4
tan π
α
14.经过点)0,1(-，且与直线y x +＝0垂直的直线方程是
15.已知函数若对任意x 1≠x 2，都有
成
立，则a 的取值范围是
16.设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2
π]上恰有三个解1
23,,x x x ，则
123x x x ++= 。

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.） 17.已知函数3)6
2sin(
3)(++=π
x x f
（Ⅰ）求出使)(x f 取最大值、最小值时x 的集合； （Ⅱ）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
18.已知函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0，|φ|<π)的 一段图象(如图)所示. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求这个函数的单调增区间。

19.设函数m x x x x f ++=
2cos cos sin 3)(，∈x R ．
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-∈3,6ππx 时，2)(min =x f ，求函数)(x f 的最大值，并指出x 取何值时，函数)(x f 取得最大值．
20.如图，已知PA⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别为AB 、PC
x
y
-3
3
π/3
5π/6
-π/6
O
的中点，∠PDA=45°，AB=2，AD=1． （Ⅰ）求证：MN∥平面PAD ； （Ⅱ）求证：平面PMC⊥平面PCD ；
21.已知圆M ：
()2
244
x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA 、
PB ，切点为A 、B ．
（Ⅰ）当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标；
（Ⅱ）若PAM ∆的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段AB 长度的最小值．
22.已知二次函数g （x ）=mx 2
﹣2mx+n+1（m ＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0． （Ⅰ）求函数g （x ）的解析式；
（Ⅱ）设f （x ）=
．若f （2x
）﹣k•2x
≤0在x ∈[﹣3，3]时恒成立，求k 的取值范围．
期中数学试卷参考答案
1 2 3 4 5 6
7
8 9 10 11 12 B
B
B
D
A
C C A
A
C A B
13.-2 14.1+=x y 15.(0, 14
] 16.
37π
3
7π
π23π0]π2,0[∈,)3πsin(2π3π2π,,03]π2,0[∈,sin 2]
π2,0[∈,)3
π
sin(2cos 3sin 2212321221221=
=+∴====+==+=====+=+x x x x x x x x a x x x x x x x x a x x a x x x ，，时，当，根，则时有当 17.
18.（1）由图可知A=3，
T=
5()66ππ--=π，又2T π
ω
=
，故ω=2 所以y=3sin(2x+φ)，把(,0)6
π
-代入得：0
3sin()3
π
ϕ=-
+
故23
k π
ϕπ-
+=，∴23
k π
ϕπ=+
，k ∈Z
∵|φ|<π，故k=1，3
π
ϕ=，
∴3sin(2)3
y x π
=+
x
y
-3
3
π/3
5π/6
-π/6
O
（2）由题知2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-+≤+
≤
+，
解得：51212
k x k π
πππ-
≤≤+ 故这个函数的单调增区间为5[,]1212
k k π
πππ-
+，k ∈Z 。

19.（1）m x m x x x f ++π+=+++=
2
1
)62sin(22cos 12sin 23)( 所以：π=T 因为：Z k k x k ∈+
≤+
≤-
,2
26
22
2π
ππ
π
π
所以单调递增区间为：Z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
-,6,3
πππ
π
（2）因为：,6
56
26
ππ
π
≤
+≤-x 当6
,6
6
2π
π
π
-
=-
=+
x x 时，22
1
21)(min =++-
=m x f ，2=m 所以2
71212)(max =++=x f
20.（1）证明：如图，取PD的中点E，连结AE、EN
则有EN∥CD∥AM，且EN=CD=AB=MA．
∴四边形AMNE是平行四边形．
∴MN∥AE．
∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）证明：∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，CD，AD⊂矩形ABCD所在的平面，∴PA⊥CD，PA⊥AD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又∵AE⊂平面PAD，
∴CD⊥AE，
∵∠PDA=45°，E为PD中点
∴AE⊥PD，
又∵PD∩CD=D，
∴AE⊥平面PCD，
∵MN∥AE，
∴MN⊥平面PCD，
又∵MN⊂平面PMC，
∴平面PMC⊥平面PCD；
21.解：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b），
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°,
所以MP＝()()
2222
0244
b b AM AP
-+-=+=
，解得5
8
0=
=b
b或
所以
168
(0,0)(,)
55P P 或 （Ⅱ）设P （2b ，b ），因为∠MAP ＝90°，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，
其方程为： ()()2
2
2
244424b b b x b y +-+⎛
⎫-+-=
⎪⎝⎭
即
()22(24)40
x y b x y y +--+-=
由2
2240
40x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩，
解得04x y =⎧⎨
=⎩
或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ （Ⅲ）因为圆N 方程为()()2
2
2
2
44424b b b x b y +-+⎛
⎫-+-=
⎪⎝⎭
即
22
2(4)40x y bx b y b +--++= ……① 圆M ：
()2
244
x y +-=，即
22
8120x y y +-+= ……② ②－①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：
2(4)1240bx b y b +-+-=
点M 到直线AB 的距离24
5816d b b =
-+
相交弦长即：
22
2442441415816464555AB d b b b =-=-
=--+⎛
⎫-+
⎪⎝
⎭ 当
4
5b =
时，AB 有最小值11
22.解：（Ⅰ）∵g （x ）=m （x ﹣1）2
﹣m+1+n ∴函数g （x ）的图象的对称轴方程为x=1
∵m＞0依题意得，
即，
解得
∴g（x）=x2﹣2x+1，
（Ⅱ）∵
∴，
∵f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，
即在x∈[﹣3，3]时恒成立
∴在x∈[﹣3，3]时恒成立
只需
令，
由x∈[﹣3，3]得
设h（t）=t2﹣4t+1
∵h（t）=t2﹣4t+1
=（t﹣2）2﹣3
∴函数h（x）的图象的对称轴方程为t=2
当t=8时，取得最大值33．
∴k≥h（t）max=h（8）=33
∴k的取值范围为[33，+∞）．。