专题11 立体几何-十年(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(解析版)

（1）证明：平面 PAM ⊥ 平面 PBD ；
（2）若 PD = DC = 1，求四棱锥 P − ABCD 的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2） 2 ． 3
【分析】（1）因为 PD ⊥ 底面 ABCD ， AM 平面 ABCD ， 所以 PD ⊥ AM ， 又 PB ⊥ AM ， PB PD = P ， 所以 AM ⊥ 平面 PBD ， 而 AM 平面 PAM ，
所以 AA'− CC ' = DB +100 = A' B '+100 ．
因为 BCH = 15 ，所以 CH = C ' B ' = 100 tan15
在 A ' B 'C ' 中，由正弦定理得：
A'B' = C'B' =
100
= 100 ，
sin 45 sin 75 tan15cos15 sin15
=
1 2
D1B1
=
2，
sin PBC1
=
PC1 BC1
=
1 2
，所以 PBC1
=
6
.
故选：D
2．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高
程为 8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，
PB ⊥ AM ，则 PB AM = −2a2 +1 = 0 ，解得 a = 2 ，故 BC = 2a = 2 ； 2
( )
（2）设平面 PAM 的法向量为 m = ( x1, y1, z1 ) ，则 AM = −
2 2
,1,
0
，
AP
=
−
2, 0,1 ，
由
m
AM
=
−
2 2
x1
+
y1
=
0
，取
B． 2 2
C． 4
D． 4 2
【分析】设圆锥的母线长为 l ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 l = 2 2 ，解得 l = 2 2 .
故选：B.
二、填空题
5．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知一个圆锥的底面半径为 6，其体积为 30 则该圆锥的侧面
积为________.
【答案】 39
( ) 故四棱锥 P − ABCD 的体积为V = 1 1 2 1 = 2 ．
3
3
7．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥 P − ABCD 的底面是矩形， PD ⊥ 底面 ABCD ，
PD = DC = 1， M 为 BC 的中点，且 PB ⊥ AM ．
（1）求 BC ； （2）求二面角 A − PM − B 的正弦值．
专题 11 立体几何
【2021 年】
1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，P 为 B1D1 的中点，则直线 PB 与
AD1 所成的角为（
A． π 2
【答案】D
）
B． π 3
C． π 4
D． π 6
【分析】
如图，连接 BC1, PC1, PB ，因为 AD1 ∥ BC1 ，
【答案】（1） 2 ；（2） 70 14
【分析】（1） PD ⊥ 平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形，不妨以点 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 DP 所
在直线分别为 x 、 y 、 z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系 D − xyz ，
设 BC = 2a ，则 D (0, 0, 0) 、 P (0,0,1) 、 B (2a,1, 0) 、 M (a,1, 0) 、 A(2a, 0, 0) ， 则 PB = (2a,1, −1) ， AM = (−a,1, 0) ，
1−
6 3
2
=
3， 3
此时
B1D
=
1 2
．
10．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）如图，在三棱锥 A − BCD 中，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，AB = AD ，
O 为 BD 的中点.
（1）证明： OA ⊥ CD ； （2）若 OCD 是边长为 1 的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE = 2EA ，且二面角 E − BC − D 的大小为 45 ，求三棱锥 A − BCD 的体积.
所以平面 PAM ⊥ 平面 PBD ． （2）由（1）可知， AM ⊥ 平面 PBD ，所以 AM ⊥ BD ，
从而 DAB ~ ABM ，设 BM = x ， AD = 2x ，
则 BM = AB ，即 2x2 = 1，解得 x = 2 ，所以 AD = 2 ．
AB AD
2
因为 PD ⊥ 底面 ABCD ，
因为 EF = (−1,1,1), DE = (1− a,1, −2) ，
所以
m m
EF DE
= =
0 0
，即
−x + y
(1− a)
+z x+
=0 y − 2z
=
0
．
令 z = 2 − a ，则 m = (3,1+ a, 2 − a)
因为平面 BCC1B1 的法向量为 BA = (2, 0, 0) ，
x1
=
m AP = − 2x1 + z1 = 0
( 2 ，可得 m =
) 2,1, 2 ，
( )
设平面 PBM 的法向量为 n = ( x2, y2, z2 ) ， BM = −
2 2
,
0,
0
，
BP
=
−
2, −1,1 ，
由
n
BM
=
−
2 2
x2
=
0
，取 y2 = 1 ，可得 n = (0,1,1) ，
（1）证明： BF ⊥ DE ；
（2）当 B1D 为何值时，面 BB1C1C 与面 DFE 所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）见解析；（2）
B1D
=
1 2
【分析】因为三棱柱 ABC − A1B1C1 是直三棱柱，所以 BB1 ⊥ 底面 ABC ，所以 BB1 ⊥ AB
因为 A1B1 //AB ， BF ⊥ A1B1 ，所以 BF ⊥ AB ，
设平面 BCC1B1 与平面 DEF 的二面角的平面角为 ，
m BA
则 cos =
=
6
=
3
．
m BA 2 2a2 − 2a +14 2a2 − 2a +14
当 a = 1 时， 2a2 − 2a + 4 取最小值为 27 ，
2
2
此时 cos 取最大值为
3= 27
6 3．
2
所以 (sin ) = min
【分析】∵V = 1 62 h = 30 3
∴h = 5 2
∴l =
h2 + r2 =
5 2 2
+ 62
= 13 2
∴
S侧
=
rl
=
6 13 2
=
39
.
故答案为： 39 .
三、解答题
6．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥 P − ABCD 的底面是矩形， PD ⊥ 底面 ABCD ， M 为 BC 的中点，且 PB ⊥ AM ．
又 BB1 BF = B ，所以 AB ⊥ 平面 BCC1B1 ．
所以 BA, BC, BB1 两两垂直．
以 B 为坐标原点，分别以 BA, BC, BB1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，如图．
所以 B (0, 0, 0), A(2, 0, 0),C (0, 2, 0), B1 (0, 0, 2), A1 (2, 0, 2), C1 (0, 2, 2) ， E (1,1,0), F (0, 2,1) ．
（1）求三棱锥 F − EBC 的体积； （2）已知 D 为棱 A1B1 上的点，证明： BF ⊥ DE . 【答案】(1) 1 ；(2)证明见解析.
3
【分析】(1)如图所示，连结 AF，
由题意可得： BF = BC2 + CF 2 = 4 +1 = 5 ， 由于 AB⊥BB1，BC⊥AB， BB1 BC = B ，故 AB ⊥ 平面 BCC1B1 ，
现有 A，B，C 三点，且 A，B，C 在同一水平面上的投影 A, B, C 满足 ACB = 45 ，ABC = 60 ．由
C 点测得 B 点的仰角为15 ，BB 与 CC 的差为 100；由 B 点测得 A 点的仰角为 45 ，则 A，C 两点到水平
面 ABC 的高度差 AA − CC 约为（ 3 1.732 ）（ ）
而 BF 平面 BCC1B1 ，故 AB ⊥ BF ， 从而有 AF = AB2 + BF 2 = 4 + 5 = 3 ， 从而 AC = AF 2 − CF 2 = 9 −1 = 2 2 ， 则 AB2 + BC2 = AC2 , AB ⊥ BC ， ABC 为等腰直角三角形，
S△BCE
=
1 2
而 sin15 = sin(45 − 30) = sin 45cos 30 − cos 45sin 30 = 6 − 2 ， 4
所以 A' B ' = 100 4
2 2 = 100(
3 +1) 273 ，
6− 2
所以 AA'− CC ' = A' B '+100 373 ．
故选：B． 3．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已如 A，B，C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且
n BP = − 2x2 − y2 + z2 = 0
cos m, n = m n = mn
3 7
2
=
3 14 14
，
所以， sin m, n = 1− cos2 m, n = 70 ， 14
因此，二面角 A − PM − B 的正弦值为 70 . 14
8．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱 ABC − A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形， AB = BC = 2 ，E，F 分别为 AC 和 CC1 的中点， BF ⊥ A1B1 .
设 O 到平面 ABC 的距离为 d ，
则d =
12
−
2 2
2
=
2， 2
所以 VO − ABC
=
1S 3
ABC
d
=
1 3
1 2
11
2= 2. 2 12
故选：A.
4．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知圆锥的底面半径为 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的
母线长为（ ）
A． 2
【答案】B
【答案】(1)详见解析(2) 3 6
【分析】（1）因为 AB=AD,O 为 BD 中点，所以 AO⊥BD
因为平面 ABD 平面 BCD =BD ,平面 ABD⊥平面 BCD， AO 平面 ABD，
因此 AO⊥平面 BCD，
因为 CD 平面 BCD，所以 AO⊥CD
(2)作 EF⊥BD 于 F, 作 FM⊥BC 于 M,连 FM
s△ABC
=
1 2
1 2
2
2
= 1 ，VF −EBC
=
1 3
S△BCE
CF
=
1 11 = 3
1 3
.
(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为 2 的正方体 ABCM − A1B1C1M1 ，如图所示，取棱 AM , BC 的
中点 H , G ，连结 A1H , HG, GB1 ，
正方形 BCC1B1 中， G, F 为中点，则 BF ⊥ B1G ， 又 BF ⊥ A1B1, A1B1 B1G = B1 ， 故 BF ⊥ 平面 A1B1GH ，而 DE 平面 A1B1GH ， 从而 BF ⊥ DE . 9．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱 ABC − A1B1C1 中，侧面 AA1B1B 为正方形， AB = BC = 2 ，E，F 分别为 AC 和 CC1 的中点，D 为棱 A1B1 上的点． BF ⊥ A1B1
由题设 D (a, 0, 2) （ 0 a 2 ）．
（1）因为 BF = (0, 2,1), DE = (1− a,1, −2) ，
所以 BF DE = 0 (1− a) + 21+1 (−2) = 0 ，所以 BF ⊥ m = ( x, y, z ) ，
A．346 【答案】B
B．373
C．446
D．473
【分析】
过 C 作 CH ⊥ BB ' ，过 B 作 BD ⊥ AA ' ，
故 AA'− CC ' = AA'− ( BB '− BH ) = AA'− BB '+100 = AD +100 ，
由题，易知 △ADB 为等腰直角三角形，所以 AD = DB ．
AC ⊥ BC, AC = BC = 1，则三棱锥 O − ABC 的体积为（ ）
A． 2 12
【答案】A
B． 3 12
C． 2 4
D． 3 4
【分析】 AC ⊥ BC, AC = BC = 1 ， ABC 为等腰直角三角形， AB = 2 ，
则 ABC 外接圆的半径为 2 ，又球的半径为 1， 2
所以 PBC1 或其补角为直线 PB 与 AD1 所成的角，
因为 BB1 ⊥ 平面 A1B1C1D1 ，所以 BB1 ⊥ PC1 ，又 PC1 ⊥ B1D1 ， BB1 B1D1 = B1 ，
所以 PC1 ⊥ 平面 PBB1 ，所以 PC1 ⊥ PB ，
设正方体棱长为 2，则 BC1 = 2
2,
PC1