兰州市树人中学八年级数学上册第十三章《轴对称》经典测试卷(含答案解析)

一、选择题
1．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）
A ．16
B ．32
C ．64
D ．128C
解析：C
【分析】 根据三角形的外角性质以及等边三角形的判定和性质得出OA 1=B 1A 1=1，OA 2=B 2A 2=2，OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而得出答案．
【详解】
如图，
∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，∠2=60°，
∵∠MON=30°，
∴∠MON=∠1=30°，
∴OA 1=A 1B 1=1，
∴A 2B 1= A 1A 2=1，
∵△A 2B 2A 3是等边三角形，
同理可得：OA 2=B 2A 2=2，
同理；OA 3=B 3A 3=224=，
OA 4=B 4A 4=328=，
OA 5=B 5A 5=4216=，
…，
以此类推：
所以OA 7=B 7A 7=6264=，
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出OA 2=B 2A 2=2， OA 3=B 3A 3=224=，OA 4=B 4A 4=328=，…进而发现规律是解题的关键．
2．若实数a ，b 满足a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，且a ，b 恰好是等腰△ABC 两条边的长，则△ABC 周长为（ ）
A ．8
B ．8或10
C ．12
D ．10D
解析：D
【分析】
由已知等式，结合非负数的性质求a 、b 的值，再根据等腰三角形的性质，分类求解即可．
【详解】
解：∵a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，
∴(a －2)2+(b －4)2=0，
∴a−2＝0，b−4＝0，
解得：a ＝2，b ＝4，
当a ＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三角形三边关系定理；
当n ＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三角形三边关系定理，周长为：2＋4＋4＝10． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质．关键是根据非负数的性质求a ，b 的值，再根据a 或b 作为腰，分类求解．
3．如图，等边ABC 的顶点(1,1)A ，(3,1)B ，规定把等边ABC “先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2021次变换后，ABC 顶点C 的坐标为（ ）
A ．(2020,13)-
B ．(2020,13)---
C ．(2019,13)
-+
D ．(2019,13)-- D
解析：D
【分析】
先求出点C 坐标，第一次变换，根据轴对称判断出点C 变换后在x 轴下方然后求出点C 纵坐标，再根据平移的距离求出点C 变换后的横坐标，最后写出第一次变换后点C 坐标，同理可以求出第二次变换后点C 坐标，以此类推可求出第n 次变化后点C 坐标．
∵△ABC 是等边三角形AB=3-1=2
∴点C 到x 轴的距离为1+32132⨯=+，横坐标为2 ∴C(2，13+)
由题意可得:第1次变换后点C 的坐标变为(2-1，31--)，即(1，13--)，
第2次变换后点C 的坐标变为(2-2，31+)，即(0，13+)
第3次变换后点C 的坐标变为(2-3，31--)，即(-1，13--)
第n 次变换后点C 的坐标变为(2-n ，31--)(n 为奇数)或(2-n ，13+)(n 为偶数)， ∴连续经过2021次变换后，等边ABC 的顶点C 的坐标为(-2019，13--)， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换（即翻折）和平移的特点求解点的坐标，在求解过程中找到规律是关键．
4．已知等腰三角形有一边长为5，一边长为2，则其周长为（ ）
A ．12
B ．9
C ．10
D ．12或9A 解析：A
【分析】
由等腰三角形有一边长为5，一边长为2，可分两种情况：①5为腰长，2为底边长；②2为腰长，5为底边长，依次分析即可求得答案．
【详解】
解：①若5为腰长，2为底边长，
∵5，5，2能组成三角形，
此时周长为：5+5+2=12；
②若2为腰长，5为底边长，
∵2+2=4<5，不能组成三角形，故舍去；
∴三角形周长为12．
故选：A ．
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，解题的关键是注意分类讨论． 5．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8C
解析：C
根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是斜边AB 上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC ，在Rt △ABC 中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB ，再用线段的差求AD ．
【详解】
解：Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°，
CD 是斜边AB 上的高，
∴∠CDB=90°，
∴∠BCD=90°-∠B=30°，
∴BC=2BD ＝4，
同理，AB=2BC=8，
AD=AB-BD=8-2=6，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．
6．如图所示的是A 、B 、C 三点，按如下步骤作图：①先分别以A 、B 两点为圆心，以大于12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ；②再分别以B 、C 两点为圆心，以大于12
BC 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，GH 与MN 交于点P ，若66BAC ∠=︒，则BPC ∠等于（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．132°
D ．140°C
解析：C
【分析】 根据基本作图可判断MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，根据垂直平分线的性质可得PA PB PC ==，再利用等腰三角形的性质得到PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，最后根据三角形的外角性质可得∠BPC=2∠BAC ，据此求解即可．
【详解】
解:如图，连接AB 、AC 、BC 、BP 、PC 、PA ，
由作法可知MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，
∴PA PB PC ==，
∴PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，
∴PBA PCA PAB PAC BAC ∠+∠=∠+∠=∠，
∴2BPC PAB PAC PBA PCA BAC ∠=∠+∠+∠+∠=∠，
∴2266132BPC BAC ∠=∠=⨯︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的基本作图及线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质，三角形的外角性质．
7．以下说法正确的是（ ）
A ．三角形中 30°的对边等于最长边的一半
B ．若a + b = 3，ab = 2，则a - b = 1
C ．到三角形三边所在直线距离相等的点有且仅有一个
D ．等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线D 解析：D
【分析】
对每个选项一一分析即可得到正确答案．
【详解】
解：A 、错误，正确的说法是：含30°的直角三角形中 30°的对边等于最长边的一半； B 、错误，例如a =1，b=2，满足a + b = 3 ， ab = 2，但不满足a - b = 1；
C 、错误，到三角形三边所在直线距离相等的点有4个，在三角形内部的有一个，是三个内角角平分线的交点，在三角形的外部还有三个，是三角形的外角角平分线的交点；
D 、正确，等腰三角形三边垂直平分线的交点、三个内角平分线的交点、顶角的顶点三点共线，都在等腰三角形的底边的垂直平分线上，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解决本题的关键．
8．若a b c 、、是ABC 的边，且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( )． A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形D
解析：D
【分析】
由偶次方的非负性质得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，得出a=b=c ，即可得出结论．
【详解】
解：∵222()()()0,a b a c b c -+-+-=，
∴a-b=0，a-c=0，b-c=0，
∴a=b ，a=c ，b=c ，
∴a=b=c ，
∴这个三角形是等边三角形；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定、偶次方的非负性质；熟练掌握等边三角形的判定方法，由偶次方的非负性质得出a=b=c 是解题的关键．
9．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD ＝CD ；②AD +CF ＝BD ；③CE ＝12BF ；④AE ＝BG ．其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①②③④C
解析：C
【分析】 根据∠ABC=45°，CD ⊥AB 可得出BD=CD ，利用ASA 判定Rt △DFB ≌Rt △DAC ，从而得出DF=AD ，BF=AC ．则CD=CF+AD ，即AD+CF=BD ；再利用ASA 判定Rt △BEA ≌Rt △BEC ，得出CE=AE=12AC ，又因为BF=AC 所以CE=12AC=12
BF ，连接CG ．因为△BCD 是等腰直角三角形，即BD=CD ．又因为DH ⊥BC ，那么DH 垂直平分BC ．即BG=CG ．在Rt △CEG 中，CG 是斜边，CE 是直角边，所以CE ＜CG ．即AE ＜BG ．
【详解】
解：∵CD ⊥AB ，∠ABC ＝45°，
∴△BCD 是等腰直角三角形．
∴BD ＝CD ．故①正确；
在Rt △DFB 和Rt △DAC 中，
∵∠DBF ＝90°﹣∠BFD ，∠DCA ＝90°﹣∠EFC ，且∠BFD ＝∠EFC ，
∴∠DBF ＝∠DCA ．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝AE＝1
2
AC．
又由（2），知BF＝AC，
∴CE＝1
2AC＝
1
2
BF；故③正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故④错误．
∴正确的选项有①②③；
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
10．在直角坐标系中，已知A（2，－2），在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角
形，则符合条件的点P共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个C
解析：C
【分析】
如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；②如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个．
【详解】
分二种情况进行讨论：
①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心OA为半径的圆弧与y轴有一个交点；
②当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，
∴符合条件的点一共4个，
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据两腰相等，分四种情况进行讨论．
二、填空题
-关于y轴的对称点，再将该对称点先向下11．平面直角坐标系xOy中，先作出点P (2,3)
平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P1，称为完成一次图形变换，再将点P1进行同样的图形变换得到点P2，以此类推，则点P2020的坐标为___________．【分析】按程序先作y轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成
--
解析：(2,2017)
【分析】
按程序先作y轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
【详解】
-关于y轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-解：完成1次图形变换，点P (2,3)
1=2，P1（0，2），
完成2次图形变换，点P1(0,2)关于y轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-
1=1，P2（-2，1），
完成3次图形变换，点P2（-2，1）关于y轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-1=0，P3（0，0），
完成4次图形变换，点P3（0，0）关于y轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P4（-2，-1），
……,
完成2020次图形变换，点P 2019（0，3-2019）关于y 轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P 2020（-2，-2017）．
故答案为：（-2，-2017）．
【点睛】
本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
12．在平面直角坐标系中，将点(3,2)P -向右平移4个单位得到点P '，则点P '关于x 轴的对称点的坐标为________．【分析】先根据向右平移4个单位横坐标加4纵坐标不变求出点的坐标再根据关于x 轴对称横坐标不变纵坐标相反解答【详解】解：∵将点P （3-2）向右平移4个单位得到点∴点的坐标是（7-2）∴点关于x 轴的对称点
解析：(7,2)
【分析】
先根据向右平移4个单位，横坐标加4，纵坐标不变，求出点P '的坐标，再根据关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．
【详解】
解：∵将点P （3，-2）向右平移4个单位得到点P '，
∴点P '的坐标是（7，-2），
∴点P '关于x 轴的对称点的坐标是（7， 2）．
故答案为：（7， 2）
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化−平移，以及关于x 轴、y 轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
13．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．
35°【分析】连接OB 同理得AO=OB=OC 由等腰三角
形的性质得∠A=∠ABO ∠C=∠CBO 进而得到∠A+∠C=∠ABC 由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD ∠BOE=∠COE 由平角的定义得∠DO
解析：35°
【分析】
连接OB，同理得AO=OB=OC，由等腰三角形的性质得∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，进而得到∠A+∠C=∠ABC，由等腰三角形三线合一得∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，由平角的定义得∠DOE=145°，最后由四边形内角和定理可得结论．
【详解】
解：连接OB，
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO=OB=OC，
∴∠AOD=∠BOD，∠BOE=∠COE，∠A=∠ABO，∠C=∠CBO，
∴∠A+∠C=∠ABC，
∵∠DOE+∠1=180°，∠1=35°，
∴∠DOE=145°，
∴∠ABC=360°-∠DOE-∠BDO-∠BEO=35°；
故答案为：35°
【点睛】
本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，四边形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．如图，在Rt ABC中，BAC90︒
∠=，AB2
=，M为边BC上的点，连接AM．如果将ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是________．
【分析】过点M作MP⊥ACMQ⊥AB首先证明MP
＝MQ求出AC的长度运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM求出MP即可解决问题【详解】如图设点B的对应点为N由题意得：∠BAM＝∠CAMAB＝AN＝2
解析：4 3
【分析】
过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，首先证明MP＝MQ，求出AC的长度，运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，求出MP即可解决问题．
【详解】
如图，设点B的对应点为N，由题意得：
∠BAM＝∠CAM，AB＝AN＝2；
过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，
则MP＝MQ，
设MP＝MQ=x，
∵AN＝NC，
∴AC＝2AN＝4；
∵S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，
∴1
2AB•AC＝
1
2
AB•MQ＋
1
2
AC•MP，
∴2×4＝2x＋4x，解得：x＝4
3
，
故答案为4
3
．
【点睛】
该题主要考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用，解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形的面积公式来解答．
15．如图，在△ABC中，直线l垂直平分BC，射线m平分∠ABC，且l与m相交于点P，若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP＝_____°．
32【分析】根据角平分线定义求出∠ABP＝∠CBP根据
线段的垂直平分线性质得出BP＝CP根据等腰三角形的性质得到∠CBP＝∠BCP 根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°＝180°解方
解析：32
【分析】
根据角平分线定义求出∠ABP＝∠CBP，根据线段的垂直平分线性质得出BP＝CP，根据等腰三角形的性质得到∠CBP＝∠BCP，根据三角形内角和定理得出方程3∠ABP+24°+60°＝180°，解方程得到答案．
【详解】
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
解得：∠ABP＝32°，
故答案为：32．
【点睛】
本题考查角平分线的定义和垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义和垂直平分线的性质．
16．如图，等腰ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC 于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则BDM的周长最小值为
_____cm．
8【分析】连接AD由题意易得AD⊥BC则有三角形BDM的周
长为BM+MD+BD若使△BDM的周长为最小值则需满足BM+MD为最小值根据两点之间线段最短可得AD为BM+MD的最小值故问题可解【详解】解
解析：8
【分析】
连接AD，由题意易得AD⊥BC，则有三角形BDM的周长为BM+MD+BD，若使△BDM的周长为最小值，则需满足BM+MD为最小值，根据两点之间线段最短可得AD为BM+MD的最小值，故问题可解．
【详解】
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝1
2BC•AD＝
1
2
×4×AD＝12，解得AD＝6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+1
2BC＝6+
1
2
×4＝6+2＝8cm．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质得到最短路径长，进而可求解．
17．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则顶角的度数为______________70°或110°；【分析】分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况【详解】解：①当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部如图1根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
解析：70°或110°；
【分析】
分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【详解】
解：①当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，如图1，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；
②当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，如图2，根据直角三角形两锐角互余可求顶角是90°-20°=70°．
故答案为70°或110°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
18．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则这个等腰三角形的周长为
___________．25【分析】分腰长为10和腰长为5两种情况讨论不合题意的舍去据此即可求解【详解】解：当腰长为10时三边分别为10105构成三角形周长为10+10+5=25；当腰长为5时三边分别为5510∵5+5=1
解析：25
【分析】
分腰长为10和腰长为5两种情况讨论，不合题意的舍去，据此即可求解．
【详解】
解：当腰长为10时，三边分别为10、10、5，构成三角形，周长为10+10+5=25；
当腰长为5时，三边分别为5、5、10，∵5+5=10，无法构成三角形，不合题意．
故答案为：25
【点睛】
本题考查了等腰三角形的定义和三角形的三边关系，熟知相关定理是解题关键．
19．如图，一棵大树在一次强台风中于距地面5米处倒下，则这棵树在折断前的高度为
________米．
15【分析】如图在Rt△ABC中∠ABC
＝30°由此即可得到AB＝2AC而根据题意找到CA＝5米由此即可求出AB也就可以求出大树在折断前的高度【详解】如图在Rt△ABC中∵∠ABC＝30°∴AB＝2 解析：15
【分析】
如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，由此即可得到AB＝2AC，而根据题意找到CA＝5米，由此即可求出AB，也就可以求出大树在折断前的高度．
【详解】
如图，
在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝30°，
∴AB ＝2AC ，
∵CA ＝5米，
∴AB ＝10米，
∴AB ＋AC ＝15米．
所以这棵大树在折断前的高度为15米．
故答案为：15．
【点睛】
本题主要利用定理−−在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．
20．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ，如果∠A ＝44°，则∠EDF 的度数为__．
56°【分析】根据可求出根据△DBE ≌△ECF 利用三角形内角和
定理即可求出的度数【详解】解：∵AB ＝AC ∴∠ABC ＝∠ACB 在△DBE 和△CEF 中∴△DBE ≌△ECF （SAS ）∴DE ＝EF ∴△DEF
解析：56°
【分析】
根据44A ∠=︒可求出68ABC ACB ∠=∠=︒，根据△DBE ≌△ECF ，利用三角形内角和定理即可求出 EDF ∠的度数．
【详解】
解：∵AB ＝AC ，
∴∠ABC ＝∠ACB ，
在△DBE 和△CEF 中
BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DBE ≌△ECF （SAS ），
∴DE ＝EF ，
∴△DEF 是等腰三角形，
∵△DBE ≌△ECF ，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴()118044682
B ∠=︒-︒=︒， ∴1218068∠+∠=︒-︒，
∴3218068∠+∠=︒-︒，
∴∠DEF ＝68°， ∴18068562
EDF ︒-︒∠=
=︒． 故答案为：56°．
【点睛】 此题主要考查全等三角形的判定与性质的理解和掌握，主要应用了三角形内角和定理和平角是180︒，根据等腰三角形的性质得出B C ∠=∠是解题的关键．
三、解答题
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC 向上平移4个单位长度所得到的△A 1B 1C 1，并写出点A 1，B 1的坐标； （2）画出△DEF 关于x 轴对称后所得到的△D 1E 1F 1，并写出点E 1，F 1的坐标； （3）△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1组成的图形是轴对称图形，请画出它的对称轴．
解析：（1）图见解析，A1（3，2），B1（4，1）；（2）图见解析，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；（3）见解析
【分析】
（1）利用点平移的坐标变换规律写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出点D1，E1，F1的坐标，然后描点即可；（3）直线C1F1和C1F1的垂直平分线都是△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形的对称轴．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1为所作，A1（3，2），B1（4，1）；
（2）如图，△D1E1F1为所作，E1（﹣2，﹣3），F1（0，﹣2）；
（3）如图，直线l和直线l′为所作．
【点睛】
本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了平移变换．
22．如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE ＝CF．
求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；
（2）OE＝OF．
解析：（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由于△ABF 与△DCE 是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明； （2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB ＝∠DEC ，再根据等腰三角形的性质得出结论．
【详解】
证明：（1）∵BE ＝CF ，
∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，
∵∠A ＝∠D ＝90°，
∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，
在Rt △ABF 和Rt △DCE 中
∵BF CE AB CD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE （HL ）；
（2）∵Rt △ABF ≌Rt △DCE （已证），
∴∠AFB ＝∠DEC ，
∴OE ＝OF ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL 判断两个直角三角形全等，是解题的关键．
23．（1）问题：如图①，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，AB BP BC +=．求证：90APD ∠=︒；
（2）问题：如图②，在三角形ABC 中，45B C ∠=∠=︒，P 是AC 上一点，PE PD =，且90EPD ∠=︒．求AE AP PC
+的值．
解析：（1）见解析；（2）1
【分析】
（1）先证明()ABP PCD HL ≅△△，从而得APB PDC ∠∠=，进而即可得到结论；
（2）过D 点做DF AC ⊥于点F ，易证()APE FDP AAS ≅△△，DPC △是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】
（1）∵BP PC BC +=，BP AB BC +=，
∴PC AB =，
在t R ABP △与t R PCD 中
∵AP PD AB PC
=⎧⎨=⎩， ∴()ABP PCD HL ≅△△，
∴APB PDC ∠∠=，
∴180APD APB DPC ∠=︒-∠-∠180()PDC DPC =︒-∠+∠18090=︒-︒90=︒； （2）过D 点做DF AC ⊥于点F ，
在ABC 中，18090A B C ∠=︒-∠-∠=︒，
∴
A PFD ∠∠=，
∵90APE DPF +=︒∠∠ ，90AEP APE ∠+∠=︒，
∴DPF AEP ∠∠=，
在APE 与FDP 中 A DFP DPE AEP PE PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()APE FDP AAS ≅△△，
∴AE PF =，AP DF =，
∵在DPC △中，90904545FDC C ∠∠︒︒︒︒=-=-=，
∴DF FC =，
∴AP FC =，
∴PC PF FC AE AP =+=+， ∴1AE AP PC
+=．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握“一线三
等角”模型，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
24．在平面直角坐标系中，点A 在x 轴正半轴上，以OA 为边在x 轴上方作等边OAC ． （1）如图1，在AC 的右上方作线段AD ，点D 在y 轴正半轴上，10DAC ∠=︒，以AD 为边在AD 右侧作等边ADE ，则AEC ∠=______．
（2）如图2，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，PAM △为等边三角形，OM 与PC 交于点F ．
求证：AF MF PF +=．
（3）如图3，点P 是x 轴正半轴上且在点A 右侧的一动点，CPM △为等边三角形，MA 的延长线交y 轴于点N ，请直接写出线段AM 、AP 、AN 的数量关系______．
解析：（1）20°；（2）证明见解析；（3）12
AM AN AP =
+． 【分析】 （1）借助等边三角形的性质可证明△CAE ≌△OAD ，再利用直角三角形两锐角互余即可得出结论；
（2）在OM 上截取EM=PF ，证明△FAP ≌△EAM ，得出AE=AF ，∠EAM=∠FAP ，再利用角的和差可得∠EAF=∠MAP=60°，即△AEF 为等边三角形，继而得出结论；
（3）证明△CAM ≌△COP 可得AM=OP=OA+AP ，利用三角形内角和定理和对顶角相等可得∠OAN=60°，∠ONA=30°，根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半可得12OA AN =，继而可得12
AM AN AP =
+． 【详解】
解：（1）∵△AOC 和△DAE 是等边三角形，
∴AC=AO ，AE=AD ，∠OAC=∠EAD=60°，
∵10DAC ∠=︒， 6070CAE DAO DAC ∴∠=∠=︒+∠=︒，
在△CAE 和△OAD 中
∵AC AO CAE OAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CAE ≌△OAD （SAS ），
∴∠AEC=∠ADO ，
∵∠ADO=90°-∠DAO=20°，
∴∠AEC=20°，
∴故答案为：20°；
（2）与（1）同理可证，△OAM ≌△CAP ，
∴∠OMA=∠CPA ，AM=AP ，
如下图，在OM 上截取EM=PF ，
在△FAP 和△EAM 中，
∵PF ME OMA CPA AP AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△FAP ≌△EAM （SAS ），
∴∠EAM=∠FAP ，EA=FA ，
∵∠EAF=∠EAM-∠FAM ，∠MAP=∠FAP-∠FAM ，
∴∠EAF=∠MAP=60°，
∴△AEF 为等边三角形，EF=AF ，
∴AF MF EF MF EM PF +=+==，即AF MF
PF +=；
（3）与（1）同理可证△CAM ≌△COP ，∠MCP=60°，
∴AM=OP=OA+AP ，∠AMC=∠OPC ，
∵OP=OA+AP ，
∴AM=OA+AP ，
∵∠CEM=∠AEP ，∠AMC=∠OPC ，
∴∠PAM=∠MCP=60°，
∴∠OAN=60°，∠ONA=30°， ∴12OA AN =， ∴12
AM AN AP =+， 故答案为：12AM AN AP =
+． 【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．（1）中理解等边三角形三边相等，三角都等于60°是解题关键；（2）能根据“截长补短”作出辅助线构造全等三角形是解题关键；（3）中根据三角形内角和定理和对顶角相等得出∠OAN=60°是解题关键． 25．已知：如图，MON ∠为锐角，点A 在射线OM 上．
求作：射线AC ，使得//AC ON ．
小静的作图思路如下：
①以点A 为圆心，AO 为半径作弧，交射线ON 于点B ，连接AB ；
②作MAB ∠的角平分线AC ．
射线AC 即为所求的射线．
（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：OA AB =，
O ABO ∴∠=∠（__________）．
MAB ∠是AOB 的一个外角，
MAB ∴∠=∠_________+∠__________．
12
ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，
12
BAC MAB ∴∠=∠． ABO BAC ∴∠=∠．
//AC ON ∴（__________）．
解析：（1）见解析；（2）等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行
（1）按照步骤作图即可；
（2）由作法知，OA=AB ，AC 是∠MAB 的平分线，然后根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义说明即可．
【详解】
解：（1）作图如下：
（2）证明：OA AB =，
O ABO ∴∠=∠（等边对等角）．
MAB ∠是AOB 的一个外角，
MAB O ABO ∴∠=∠+∠ 12ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，
12
BAC MAB ∴∠=∠. ABO BAC ∴∠=∠.
//AC ON ∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了作一条线段等于已知线段，作角的角平分线，以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 26．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．
（1）求证：ABC ADE △≌△；
（2）求FAE ∠的度数．
解析：（1）见解析；（2）135FAE ∠=︒．
（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC ≌△ADE 的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE 的度数．
【详解】
证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE ，
在△BAC 和△DAE 中，
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；
（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，
∴∠E=45°，
由（1）知△BAC ≌△DAE ，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF ⊥BC ，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出全等所需要的条件．
27．如图，在ABC ∆中，点D 是边BC 上一点，点E 在边AC 上，且
,,BD CE BAD CDE =∠=∠ADE C ∠=∠．
（1）如图1，求证：ADE ∆是等腰三角形，
（2）如图2，若DE 平分ADC ∠，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与CDE ∠相等的角（CDE ∠除外）．
解析：（1）详见解析；（2）与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C
【分析】
（1）证明△ABD ≌△DCE ，推出AD=DE ，即可得到结论；
（2）根据DE 平分∠ADC ，推出∠ADE=∠CDE=12
∠ADC ，利用BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，得到∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，再由ADE C ∠=∠，得到
∠C=CDE ∠．
【详解】
（1）∵∠ADC=∠B+∠BAD ，∠BAD=∠CDE ，
∴∠B=∠ADE ，
∵∠ADE=∠C ，
∴∠B=∠C ，
在△ABD 和△DCE 中，
BAD CDE B C
BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△DCE ，
∴AD=DE ，
∴ADE ∆是等腰三角形；
（2）∵DE 平分∠ADC ，
∴∠ADE=∠CDE=12
∠ADC ， ∵BAD CDE ∠=∠，∠ADC=∠B+∠BAD ，
∴∠B=∠BAD=∠ADE=∠CDE ，
∵ADE C ∠=∠，
∴∠C=CDE ∠，
∴与CDE ∠相等的角有：∠B ，∠BAD ，∠ADE ，∠C ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定定理，角平分线的性质，三角形外角性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．
28．如图，在平面直角坐标系xOy 中点(6,8)A ，点(6,0)B ．
（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P ，使点P 同时满足下列两个条件（要求保留作图痕迹，不必写出作法）；
①点P到A，B两点的距离相等；
的两边的距离相等．
②点P到xOy
（2）在（1）作出点P后，直接写出点P的坐标______．
解析：（1）作图见解析；（2）（4，4）
【分析】
（1）作AB的垂轴平分线和∠xOy的角平分线，它们的交点即为P点；
（2）由于点P在AB的垂轴平分线上，则P点的纵坐标为4，再利用点P在第一象限的角平分线上，则点P的横纵坐标相同，从而得到P点坐标．
【详解】
（1）如图，点P为所作；
（2）P点坐标为（4，4）．
故答案为（4，4）．
【点睛】
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．。