专题47 高中数学同角三角函数的基本关系(解析版)

专题47 同角三角函数的基本关系
1．平方关系
(1)公式：sin 2α＋cos 2α＝1.
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
2．商数关系
(1)公式：sin αcos α＝tan_α(α≠k π＋π
2
，k ∈Z)．
(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．
3．同角三角函数的基本关系式的变形形式
(1)平方关系变形：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. (2)商的变形：sin α＝tan αcos α，cos α＝sin α
tan α
.
题型一 直接应用同角三角函数关系求值
1．若cos α＝3
5，且α为第四象限角，则tan α＝________.
[解析]因为α为第四象限角，且cos α＝3
5，
所以sin α＝－1－cos 2α＝－
1－⎝⎛⎭⎫352＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－43
. 2．已知α是第四象限角，cos α＝12
13，则sin α等于
[解析] ∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin 2θ＝1－cos 2θ＝1－144169＝25
169，
又∵α是第四象限角，∴sin α<0，即sin θ＝－5
13.
3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π
2，tan α＝2，则cos α＝________. [解析]由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
sin αcos α＝2，①
sin 2α＋cos 2α＝1，②
由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1，
所以cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＜0，所以cos α＝－5
5. 4．已知α是第二象限角，tan α＝－1
2
，则cos α＝________.
[解析]因为sin αcos α＝－1
2
，且sin 2α＋cos 2α＝1，又因为α是第二象限角，
所以cos α＜0，所以cos α＝－25
5
.
5．若α是第四象限角，tan α＝－5
12，则sin α等于
[解析] 因为α是第四象限角，tan α＝－512，所以sin αcos α＝－5
12.
又sin 2α＋cos 2α＝1.所以sin α＝－5
13
.
6．已知α是第二象限角，且cos α＝－12
13，则tan α的值是
[解析]因为α为第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫－12132
＝5
13
， 所以tan α＝sin αcos α＝513－1213
＝－5
12
.
7．已知α是第二象限角，且tan α＝－7
24，则cos α＝________.
[解析]因为α是第二象限角，故sin α＞0，cos α＜0，又tan α＝－7
24
，
所以sin αcos α＝－724，又sin 2α＋cos 2α＝1，解得cos α＝－2425.
8．已知sin α＝－1
3，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝ [解析]由α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，得cos α<0，又sin α＝－1
3，所以cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫－132
＝－223
， 所以tan α＝sin αcos α＝2
4
.
9．已知cos α＝－4
5
，求sin α和tan α.
[解析] sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝⎝⎛⎭⎫352，因为cos α＝－4
5<0，所以α是第二或第三象限角， 当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－3
4；
当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝3
4.
10．已知cos α＝－8
17
，求sin α，tan α的值．
[解析] ∵cos α＝－8
17
＜0，∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝
1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517－817
＝－15
8
. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝15
8.
11．已知sin α＝12
13，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.
[解析]cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝⎝⎛⎭⎫5132
，又α是第二象限角， 所以cos α<0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.
12．若cos α＝2
3
，则tan αsin α＝( )
[解析] 由cos α＝23得|sin α|＝53，所以tan αsin α＝sin 2αcos α＝59×32＝5
6.
13．已知sin θ＝12
13，且sin θ－cos θ>1，则tan θ等于________．
[解析]因为sin θ－cos θ>1，所以cos θ<0，所以cos θ＝－
1－sin 2θ＝－513，所以tan θ＝sin θcos θ＝－12
5
.
14．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m
m ＋5
，则m 的值为________．
[解析]因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫4－2m m ＋52
＝1.整理得m 2－8m ＝0，解得m ＝0或8.
15．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．
[解析]∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1， 即10cos 2α＝1，∴cos α＝±
10
10
.又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝310
10； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝
1010，sin α＝－310
10. 16．已知α是第三象限角，且sin α＝－1
3，则3cos α＋4tan α＝
[解析]因为α是第三象限角，且sin α＝－1
3，
所以cos α＝－1－sin 2α＝－
1－⎝⎛⎭⎫－132＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝122＝24
， 所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.
17．若sin A ＝4
5，且A 是三角形的一个内角，则5sin A ＋815cos A －7＝________.
[解析]∵sin A ＝4
5>0，∴A 为锐角或钝角．
当A 为锐角时，cos A ＝
1－sin 2A ＝3
5
，∴原式＝6.
当A 为钝角时，cos A ＝－
1－sin 2A ＝－35，∴原式＝5×45＋815×⎝⎛⎭
⎫－35－7＝－3
4
.
18．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A ＝
[解析]由题意知cos A ＞0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A ， ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．∴A ＝π
3.
19．已知sin x ＋cos x ＝3－1
2
，x ∈(0，π)，则tan x ＝ [解析]∵sin x ＋cos x ＝
3－12，且x ∈(0，π)，∴1＋2sin x cos x ＝1－32，∴2sin x cos x ＝－3
2
<0，∴x 为钝角，∴sin x －cos x ＝(sin x －cos x )2＝1＋32，结合已知解得sin x ＝32，cos x ＝－12，则tan x ＝sin x
cos x ＝－ 3.
20．若1＋cos α
sin α
＝3，则cos α－2sin α等于
[解析] 若1＋cos αsin α＝3，则1＋cos α＝3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝3sin α－1＝4
5
，
所以cos α－2sin α＝－2
5
.
21．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，0<α<π
2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. [解析]∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π
4
，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ 1－⎝⎛⎭⎫132＝22
3.
题型二 灵活应用同角三角函数关系式求值(齐次式)
1．已知sin α＋cos α
sin α－cos α
＝2，计算下列各式的值．
①3sin α－cos α2sin α＋3cos α；②sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α；③sin
2α－2sin αcos α＋1;④34sin 2α＋12cos 2α. [解析] 由sin α＋cos α
sin α－cos α＝2，化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.
①法一(换元)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝8
9
.
法二(弦化切)原式＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝8
9.
②原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32
＝－2
23.
③原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝13
10. ④原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋1
29＋1＝29
40.
2．已知tan α
tan α－1＝－1，求下列各式的值：
(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋2. [解析]因为tan αtan α－1＝－1，所以tan α＝1
2.
(1)原式＝tan α－3tan α＋1
＝－5
3.
(2)原式＝sin 2α＋sin αcos α
sin 2α＋cos 2α＋2＝tan 2α＋tan α
tan 2α＋1＋2＝14＋1
214
＋1＋2＝13
5.
3．已知tan α＝－12，则2sin αcos α
sin 2α－cos 2α
的值是
[解析]因为tan α＝－12，所以2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1＝2×⎝⎛⎭
⎫－12⎝⎛⎭⎫－122
－1＝4
3.
4．若2sin α＋cos α3sin α－2cos α
＝1，则tan α的值为________．
[解析]2sin α＋cos α
3sin α－2cos α＝1化为2tan α＋1
3tan α－2＝1，所以2tan α＋1＝3tan α－2，所以tan α＝3.
5．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α
＝－5，那么tan α＝________．
[解析]易知cos α≠0，由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－23
16.
6．已知sin α＋2cos α5cos α－sin α＝5
16
，则tan α＝____________．
[解析]由sin α＋2cos α5cos α－sin α＝516，得tan α＋25－tan α＝516
，解之得tan α＝－1
3.
7．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则3sin α－cos α
2sin α＋3cos α
＝________．
[解析]由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，化简得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.原式＝3tan α－12tan α＋3＝8
9.
8．已知tan 2α1＋2tan α＝1
3，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin α＋2cos α5cos α－sin α
的值． [解析]∵tan 2α1＋2tan α＝13，∴3tan 2α－2tan α－1＝0.即(3tan α＋1)(tan α－1)＝0，∴tan α＝－1
3或tan α＝1.
∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴tan α<0，∴tan α＝－1
3，∴sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝516. 9．若tan θ＝－2，求sin θcos θ.
[解析]∵sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝sin θcos θ
cos 2θ
sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝tan θtan 2θ＋1，而tan θ＝－2，∴原式＝－2(－2)2＋1
＝－2
5.
10．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝________. [解析]4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝
4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5
tan 2α＋1
＝
4×4－3×2－54＋1
＝5
5＝1. 11．已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos 2α的值． [解析]由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以
2sin αcos α－cos 2α＝
2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－1
4＋1
＝－1.
12．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ＝
[解析]1＋sin θcos θ＝1＋sin θcos θ1＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1
tan 2θ＋1，又tan θ＝2，
所以1＋sin θcos θ＝22＋2＋122＋1＝7
5.
13．若tan α＋
1
tan α
＝3，则sin αcos α＝________． [解析]因为tan α＋1tan α＝3，所以sin αcos α＋cos αsin α＝3，即sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝3，所以sin αcos α＝1
3.
14．已知sin α＋cos α＝7
13，α∈(0，π)，则tan α＝________.
[解析]法一：(构建方程组)
因为sin α＋cos α＝713，①，所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169，即2sin αcos α＝－120
169
.
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.
所以sin α－cos α＝(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝17
13.②
由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513，所以tan α＝sin αcos α＝－12
5.
法二：(弦化切)
同法一求出sin αcos α＝－60169，sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－60169，tan αtan 2α＋1＝－60
169，
整理得60tan 2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－512或tan α＝－12
5.
由sin α＋cos α＝713＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－12
5.
15．已知sin α－cos α＝－
52，则tan α＋1
tan α
的值为 [解析]tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1
sin αcos α
.
∵sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22＝－18，∴tan α＋1
tan α＝－8.
16．已知cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.
[解析]由⎩⎨⎧
cos α＋2sin α＝－5，
sin 2α＋cos 2
α＝1，
得(5sin α＋2)2＝0， ∴sin α＝－255，cos α＝－5
5，∴tan α＝2.
题型三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
1．已知sin α＋cos α＝1
5，α∈(0，π)，求：
(1)sin αcos α；(2)sin α－cos α；(3)sin 3α＋cos 3α.
[解析] (1)由sin α＋cos α＝15，平方得2sin αcos α＝－2425，∴sin αcos α＝－12
25.
(2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925，∴sin α－cos α＝±7
5.
又由(1)知sin αcos α<0，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α＝7
5
. (3)∵sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)， 由(1)知sin αcos α＝－1225，且sin α＋cos α＝15，∴sin 3α＋cos 3α＝1
5×⎝
⎛⎭⎫1＋1225＝15×3725＝37125.
2．已知0<θ<π，且sin θ－cos θ＝1
5，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．
[解析]∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125，解得sin θcos θ＝12
25.
∵0<θ<π，且sin θcos θ＝12
25>0，∴sin θ>0，cos θ>0.
∴sin θ＋cos θ＝
(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝ 1＋2425＝75
. 由⎩⎨⎧
sin θ－cos θ＝1
5，sin θ＋cos θ＝7
5
，得⎩⎨⎧
sin θ＝4
5，
cos θ＝3
5
，∴tan θ＝sin θcos θ＝4
3
.
3．已知sin α·cos α＝18，且π4<α<π
2
，则cos α－sin α的值为
[解析] (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝34，因为π4<α<π2，所以sin α>cos α，所以cos α－sin α＝－3
2.
4．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝1
3
，则sin A ＋cos A 的值为
[解析]因为A 为△ABC 的内角，且sin A cos A ＝1
3＞0，所以A 为锐角，所以sin A ＋cos A ＞0.
又1＋2sin A cos A ＝1＋23，即(sin A ＋cos A )2＝53，所以sin A ＋cos A ＝15
3.
5．已知sin θ＋cos θ＝4
3⎝
⎛⎭⎫0<θ≤π4，则sin θ－cos θ＝ [解析]由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，得2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝2
9，
由0<θ≤π4，知sin θ－cos θ≤0，所以sin θ－cos θ＝－2
3.
6．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝1
5
.
(1)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求tan A 的值．
[解析] (1)由sin A ＋cos A ＝15两边平方，得1＋2sin A ·cos A ＝125，所以sin A ·cos A ＝－12
25
<0.
因为0<A <π，⎩⎨⎧
sin A >0
cos A <0，
所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．
(2)因为sin A ·cos A ＝－1225，所以(sin A －cos A )2＝1－2sin A ·cos A ＝1＋2425＝49
25.
又因为sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0，所以sin A －cos A ＝7
5.
又因为sin A ＋cos A ＝15，所以sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝－4
3
.
7．已知sin θ＋cos θ＝－
10
5
，求： (1)1sin θ＋1cos θ的值；(2)tan θ的值． [解析] (1)因为sin θ＋cos θ＝－
105，所以1＋2sin θcos θ＝25，即sin θcos θ＝－310
， 所以1sin θ＋1
cos θ＝cos θ＋sin θsin θcos θ＝2103
.
(2)由(1)，得sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝－103，所以tan 2θ＋1tan θ＝－103，即3tan 2θ＋10tan θ＋3＝0，
所以tan θ＝－3或tan θ＝－1
3.
8．已知sin θ＋cos θ＝1
5
，且0<θ<π.
(1)求tan θ的值；(2)求sin 2 θ
cos 2 θ－2sin θcos θ
的值．
[解析] (1)因为sin θ＋cos θ＝15，①，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1
25，
所以2sin θcos θ＝－24
25<0，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ－cos θ>0，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝49
25，
所以sin θ－cos θ＝7
5
，②
由①②得，sin θ＝45，cos θ＝－35，所以tan θ＝sin θcos θ＝－4
3.
(2)法一：由(1)知sin θ＝45，cos θ＝－3
5，
所以sin 2θ
cos 2 θ－2sin θcos θ
＝
⎝⎛⎭
⎫452
⎝⎛⎭⎫－352－2×45×⎝⎛⎭
⎫－35＝1633.
法二：由(1)得tan θ＝－43，所以原式＝tan 2 θ1－2tan θ＝⎝⎛⎭⎫－432
1－2×⎝⎛⎭
⎫－43＝16
33.
9．设α是第三象限角，问是否存在实数m ，使得sin α，cos α是关于x 的方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．
[解析]假设存在实数m 满足条件，由题设得，Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0，① 因为sin α<0，cos α<0，所以sin α＋cos α＝－3
4
m <0②，
sin αcos α＝2m ＋1
8
>0③.
又sin 2α＋cos 2α＝1，所以(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1. 把②③代入上式得⎝⎛⎭⎫－34m 2
－2×2m ＋18＝1， 即9m 2－8m －20＝0，解得m 1＝2，m 2＝－10
9
.
因为m 1＝2不满足条件①，舍去；因为m 2＝－10
9不满足条件③，舍去．
故满足题意的实数m 不存在．
题型四 应用同角三角函数关系式化简
1．化简
1－sin 23π
5
的结果是( )
A ．cos 3π5
B ．sin 3π5
C ．－cos 3π5
D ．－sin 3π
5
[解析]因为3π5是第二象限角，所以cos 3π
5
＜0，所以
1－sin 23π
5
＝
cos 23π5＝⎪⎪⎪⎪cos 3π5＝－cos 3π5
. 2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A ．tan α＝－sin α
cos α B ．cos α＝－1－sin 2 α
C ．sin α＝－1－cos 2 α
D ．tan α＝cos α
sin α
[解析]由商数关系可知A ，D 均不正确．当α为第二象限角时，cos α＜0，s i n α＞0，故B 正确． 3．化简2sin 2α－1
1－2cos 2α
＝________.
[解析]原式＝2sin 2α－11－2(1－sin 2α)＝2sin 2α－1
2sin 2α－1＝1.
4．化简⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )
A ．sin α
B ．cos α
C ．1＋sin α
D ．1＋cos α
[解析]⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2
αsin α＝sin 2
αsin α＝sin α.[答案] A
5．化简sin 760°
1－cos 2 40°
；
[解析]
sin 760°1－cos 2 40°
＝sin （2×360°＋40°）sin 2 40°＝sin 40°|sin 40°|＝sin 40°sin 40°＝1. 6．化简：1－2sin130°cos130°
sin130°＋1－sin 2130°
；
[解析]原式＝
sin 2130°－2sin130°cos130°＋cos 2130°sin130°＋cos 2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°
sin130°－cos130°
＝1.
7．若角α的终边在直线x ＋y ＝0上，则sin α
1－cos 2α＋1－sin 2αcos α＝________．
[解析]因为sin α
1－cos 2α
＋1－sin 2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α，
又角α的终边落在x ＋y ＝0上，故角α的终边在第二、四象限，
当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0，当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos α
cos α＝0.
综上所述，原式＝0.
8．化简sin 2α－sin 4α，其中α是第二象限角．
[解析] 因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0， 所以sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2αcos 2α＝－sin αcos α. 9．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是 [解析] 原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1. 10．化简：sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β.
[解析]原式＝sin 2α(1－sin 2β)＋sin 2β＋cos 2αcos 2β＝sin 2αcos 2β＋cos 2αcos 2β＋sin 2β
＝(sin 2α＋cos 2α)cos 2β＋sin 2β＝1. 11．已知sin α＝
5
5
，则sin 4α－cos 4α的值为 [解析]sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－3
5.
12．若sin α＋sin 2α＝1，则cos 2α＋cos 4α等于
[解析]∵cos 2α＋cos 4α＝cos 2α(1＋cos 2α)＝(1－sin 2α)(1－sin 2α＋1)
∵sin α＋sin 2α＝1，∴1－sin 2α＝sin α ∴原式＝sin α·(sin α＋1)＝sin 2α＋sin α＝1. 13．化简1－2sin1cos1的结果为( )
A ．sin1－cos1
B ．cos1－sin1
C ．sin1＋cos1
D ．－sin1－cos1
[解析]易知sin1>cos1，所以
1－2sin1cos1＝
(sin1－cos1)2＝sin1－cos1.故选A.
14．⎝
⎛⎭⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan x
B ．sin x
C ．cos x
D.1tan x
[解析]原式＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x ＝sin 2
x ＋cos 2
x sin x cos x ·cos 2x ＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x . 15．化简：sin 2
αtan α＋cos 2α
tan α
＋2sin αcos α.
[解析]原式＝sin 2α·
sin αcos α＋cos 2
α·cos αsin α＋2sin αcos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αcos αsin α
＝（sin 2α＋cos 2α）2sin αcos α＝1
sin αcos α
.
16．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝5
9，则sin θcos θ的值为
[解析]由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，所以sin 2θcos 2θ＝2
9.
因为θ是第三象限角，所以sin θ<0，cos θ<0，所以sin θcos θ＝23
. 17．已知f (tan x )＝
1
cos 2x
，则f (－3)＝________. [解析]因为f (tan x )＝1
cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x cos 2x ＝tan 2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋1，所以f (－3)＝4.
18．若π2<α<π，化简cos α
1－cos 2α
＋sin α1－sin 2α1－cos 2α.
[解析]因为π
2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α，sin α＝1－cos 2α，
所以原式＝cos αsin α＋sin α（－cos α）1－cos 2α＝cos αsin α－sin αcos αsin 2α＝cos αsin α－cos α
sin α＝0.
19．化简1
1＋tan 220°
的结果是________．
[解析]
1
1＋tan 220°
＝
1
1＋sin 220°cos 2
20°
＝1
cos 220°＋sin 220°
cos 220°
＝
1
1cos 220°＝|cos 20°|＝cos 20°.] 20．化简：1
cos 2α1＋tan 2α
－
1＋sin α
1－sin α
(α为第二象限角)．
[解析]∵α是第二象限角，∴cos α<0. 则原式＝1
cos 2α·1＋sin
2αcos 2
α－(1＋sin α)2
1－sin 2α＝1cos 2α
·
cos 2α
cos 2α＋sin 2α－1＋sin α|cos α|
＝
－cos αcos 2α＋1＋sin αcos α＝－1＋1＋sin αcos α＝sin α
cos α
＝tan α.
21．化简sin α
1－cos α·
tan α－sin α
tan α＋sin α
.(其中α是第三象限角)
[解析]原式＝sin α
1－cos α
·
sin α
cos α－sin αsin αcos α
＋sin α＝sin α
1－cos α
·
1－cos α
1＋cos α
＝sin α1－cos α
·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α
|sin α|
.
又因为α是第三象限角，所以sin α＜0.所以原式＝sin α1－cos α·1－cos α
－sin α＝－1.
22．1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°
的值为( )
A ．1
B ．－1
C ．sin 10°
D ．cos 10°
[解析] [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°
－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°
＝
cos 10°－sin 10°
sin 10°－cos 10°
＝－1.
23．化简tan α
1
sin 2α
－1，其中α是第二象限角． [解析]因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0. 故tan α
1
sin 2α
－1＝tan α1－sin 2α
sin 2α
＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos α
sin α
＝－1. 24．化简下列各式：
(1)sin α1＋sin α－sin α
1－sin α
；(2)⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)． [解析] (1)原式＝sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝－2sin 2α1－sin 2α
＝－2sin 2α
cos 2α＝－2tan 2α
.
(2)原式＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2
α
sin α
＝sin α. 25．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ
＋cos θ
1－tan θ＝________.
[解析]sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θ
cos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，
又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝1
2，
则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝±2.
26．化简1－cos 4α－sin 4α
1－cos 6α－sin 6α
.
[解析]解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝2
3.
解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2sin 2αcos 2α]
1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α)
＝1－1＋2cos 2αsin 2α
1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2αsin 2α]＝2cos 2αsin 2α3cos 2αsin 2α＝2
3
. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α
(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)
sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)
＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝2
3. 27．化简：(1)sin α
1－cos α
·
tan α－sin α
tan α＋sin α
；(2)
(1－tan θ)cos 2θ＋⎝⎛⎭⎫1＋1tan θsin 2
θ.
[解析] (1)原式＝sin α
1－cos α
·
sin α
cos α－sin αsin αcos α
＋sin α＝sin α
1－cos α·
1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α
·
(1－cos α)21－cos 2α
＝
sin α1－cos α·1－cos α|sin α|
＝sin α
|sin α|，当sin α>0时，原式＝1；当sin α<0时，原式＝－1.
(2)原式＝
cos θ－sin θcos θ·cos 2θ＋sin θ＋cos θsin θ
·sin 2θ
＝
cos 2θ－sin θcos θ＋sin 2θ＋sin θcos θ＝
cos 2θ＋sin 2θ＝1.
28．已知α∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，且1＋2sin αcos α＋1－2sin αcos αcos α＝4，则sin α－cos α2sin α＋cos α
＝________. [解析]∵1＋2sin αcos α＝(sin α＋cos α)2,1－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，∴1＋2sin αcos α＝|sin α＋cos α|， 1－2sin αcos α＝|sin α－cos α|.又∵α∈⎝⎛⎭⎫
π4，3π4，∴sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0. 由题意，得(sin α＋cos α)＋(sin α－cos α)cos α＝4，∴sin α＝2cos α.
∴
sin α－cos α2sin α＋cos α＝2cos α－cos α4cos α＋cos α＝1
5
.
29．化简： 1－2sin α2cos α
2
＋
1＋2sin α2cos α
2⎝
⎛⎭⎫0＜α＜π2. [解析]原式＝
⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋
⎝⎛⎭⎫cos α2
＋sin α22＝⎪⎪⎪⎪cos α2－sin α2＋⎪⎪⎪⎪cos α2＋sin α2.
因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α2∈⎝⎛⎭⎫0，π4.所以cos α2－sin α2＞0，sin α2＋cos α
2＞0， 所以上式＝cos α2－sin α2＋cos α2＋sin α2＝2cos α
2
.
30．若1＋sin θ·sin 2θ＋cos θ·cos 2θ＝0成立，则角θ不可能是 ( )
A ．第二、三、四象限角
B ．第一、二、三象限角
C ．第一、二、四象限角
D ．第一、三、四象限角
[解析] 由于1＋sin θ·sin 2θ＋cos θcos 2θ＝0，且1－sin 2θ－cos 2θ＝0，所以sin θ≤0，cos θ≤0，故选C. 31．若β∈[0,2π)，且
1－cos 2β＋1－sin 2β＝sin β－cos β，则β的取值范围是( )
A.⎣⎡⎭⎫0，π2
B.⎣⎡⎦⎤π2，π
C.⎣⎡⎦⎤π，3π2
D.⎣⎡⎭⎫3π
2，2π [解析]∵
1－cos 2β＋1－sin 2β＝|sin β|＋|cos β|＝sin β－cos β，∴sin β≥0且cos β≤0.又∵β∈[0,2π)，
∴β∈⎣⎡⎦⎤π2，π.故选B.
32．已知sin α＝13，求1－2sin αcos α（2cos 2α－1）（1－tan α）
的值．
[解析]1－2sin αcos α（2cos 2α－1）（1－tan α）＝（sin α－cos α）2
（2cos 2α－sin 2α－cos 2α）（1－tan α）
＝（cos α－sin α）2（cos α＋sin α）（cos α－sin α）（1－tan α）＝cos α－sin α
（cos α＋sin α）（1－tan α） ＝
1－tan α（1＋tan α）（1－tan α）＝1
1＋tan α
，
当角α是第一象限角时，cos α＝223，tan α＝sin αcos α＝24，所以原式＝1
1＋
2
4＝8－227；
当角α是第二象限角时，cos α＝－223，tan α＝sin αcos α＝－24，所以原式＝1
1－
2
4＝8＋227.
33．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值．
[解析] (1)由题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＋cos θ＝3＋1
2，
sin θcos θ＝m
2
，
所以sin θ1－1tan θ
＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θ
cos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.
(2)由(1)，知sin θ＋cos θ＝3＋12，将上式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋3
2，
所以sin θcos θ＝
34，由(1)，知m 2＝34，所以m ＝3
2
. (3)由(2)可知原方程为2x 2－(3＋1)x ＋
32＝0，解得x 1＝32，x 2＝1
2
. 所以⎩⎨⎧
sin θ＝32，
cos θ＝1
2
或⎩⎨⎧
sin θ＝1
2，
cos θ＝3
2
.又θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π
6
.
题型五 应用同角三角函数关系式证明
1．下列等式中恒成立的个数为( )
①sin 21＝1－cos 21；②sin 2α＋cos 2α＝sin 23＋cos 23；③sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π
2＋k π，k ∈Z . A ．1 B ．2 C ．3
D ．0
[解析]①②③都正确，故选C. 2．求证：sin α1－cos α·cos αtan α
1＋cos α
＝1.
[解析]sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝sin α1－cos α·cos α·
sin αcos α1＋cos α＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α＝sin 2α1－cos 2
α＝sin 2α
sin 2α＝1. 3．求证：1＋tan 2α＝1
cos 2α.
[解析]1＋tan 2α＝1＋
sin 2αcos 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1
cos 2α
. 4．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝⎛⎭⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α
. [解析]左边＝sin α⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α＋cos α⎝⎛⎭⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin 2
αcos α＋cos α＋cos 2
αsin α
＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1
cos α＝右边．即原等式成立．
5．求证：
tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin α
tan αsin α
.
[解析]法一：(切化弦)
左边＝sin 2αsin α－sin αcos α＝sin α
1－cos α，
右边＝sin α＋sin αcos αsin 2α＝1＋cos αsin α
.
因为sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，
所以sin α
1－cos α＝1＋cos αsin α，所以左边＝右边．所以原等式成立．
法二：(由右至左)
因为右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)
(tan α－sin α)tan αsin α
＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin α
tan α－sin α＝左边，所以原等式成立． 6．求证：2sin x cos x －1cos 2x －sin 2x ＝tan x －1
tan x ＋1
.
[解析]证法一：∵左边＝2sin x cos x －(sin 2x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝－(sin 2x －2sin x cos x ＋cos 2x )cos 2x －sin 2x ＝(sin x －cos x )2
sin 2x －cos 2x
＝
(sin x －cos x )2
(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x ＝tan x －1tan x ＋1
＝右边．∴原式成立．
证法二：∵右边＝sin x
cos x
－1sin x cos x
＋1＝sin x －cos x sin x ＋cos x ；
左边＝1－2sin x cos x sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2sin 2x －cos 2x ＝(sin x －cos x )2(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝sin x －cos x sin x ＋cos x .
∴左边＝右边，原式成立．
7．求证：(1)sin α－cos α＋1sin α＋cos α－1＝1＋sin α
cos α；(2)2(sin 6 θ＋cos 6 θ)－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1＝0.
[解析] (1)左边＝(sin α－cos α＋1)(sin α＋cos α＋1)(sin α＋cos α－1)(sin α＋cos α＋1)＝(sin α＋1)2－cos 2 α
(sin α＋cos α)2－1
＝(sin 2 α＋2sin α＋1)－(1－sin 2 α)sin 2 α＋cos 2 α＋2sin αcos α－1＝2sin 2 α＋2sin α1＋2sin αcos α－1＝2sin α(sin α＋1)2sin αcos α＝1＋sin α cos α＝右边，
∴原等式成立．
(2)左边＝2[(s i n 2 θ)3＋(cos 2θ)3]－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1
＝2(sin 2 θ＋cos 2 θ)(sin 4 θ－sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ)－3(sin 4 θ＋cos 4 θ)＋1
＝(2sin 4 θ－2sin 2 θcos 2 θ＋2cos 4 θ)－(3sin 4 θ＋3cos 4 θ)＋1＝－(sin 4 θ＋2sin 2 θcos 2 θ＋cos 4 θ)＋1 ＝－(sin 2 θ＋cos 2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边， ∴原等式成立． 8．若3π
2
<α<2π，求证：
1－cos α
1＋cos α
＋
1＋cos α1－cos α
＝－2
sin α.
[解析]∵3π
2
<α<2π，∴sin α<0.
左边＝(1－cos α)2
(1＋cos α)(1－cos α)＋
(1＋cos α)2
(1－cos α)(1＋cos α)
＝
(1－cos α)2
sin 2α＋
(1＋cos α)2sin 2α＝|1－cos α||sin α|＋|1＋cos α||sin α|＝－1－cos αsin α－1＋cos α
sin α
＝－2
sin α＝右边．∴原等式成立．
9．求证：1－2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝1－tan (720°＋2x )
1＋tan (360°＋2x )
.
[解析] 法一：右边＝1－tan 2x
1＋tan 2x
＝1－
sin 2x
cos 2x 1＋
sin 2x cos 2x
＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x
＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )＝cos 22x ＋sin 22x －2cos 2x sin 2x
cos 22x －sin 22x ＝
1－2sin 2x cos 2x
cos 22x －sin 22x
＝左边．所以原等式成立．
法二：左边＝sin 22x ＋cos 22x －2sin 2x cos 2x cos 22x －sin 22x ＝(cos 2x －sin 2x )2(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＝cos 2x －sin 2x
cos 2x ＋sin 2x .
右边＝1－tan 2x
1＋tan 2x
＝1－
sin 2x cos 2x 1＋
sin 2x cos 2x ＝cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x .所以原等式成立.
10．求证：1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝1＋tan α
tan α－1
.
[解析]左边＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2
（sin α－cos α）（sin α＋cos α）
＝
sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1
＝右边．所以原式成立．
11．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1. [解析]因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2，
所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin 2βcos 2β＋1，所以1cos 2α＝2cos 2β
，所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.。