河南省新乡市辉县市第二高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学(文)试卷

文科数学
第I 卷（选择题)
一、单选题（共12小题，每小题5分，计60分）
1．已知集合}3{12A ＝
，，，{}
2|4B x x =≤，则A B =（ ）
A ．{}2,1,0,1,2,3--
B ．{}2,1,0,1,2,--
C ．{}1,2,3
D ．{}1,2,
2．若复数()()()1a i i a R ++∈为纯虚数，则a 的值为（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
3．设集合{
}
2
|40B x x x m =-+=，若1B ∈，则B =（ ） A ．{}1,3
B ．{}1,0
C ．{}1,3-
D ．{}1,5
4．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
5．在复平面内，复数12i
i
--对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．已知集合{|}6M x N x =∈≤，{}2,1,0,1,2A =-，{}
2
,B y y x x A ==∈，则C M B=（ ）
A ．{}2,5,6
B ．{}2,3,6
C ．{}2,3,5,6
D ．{}0,2,3,5,6
7．将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为（ ） A ．13 B ．39
C ．48
D ．58
8．已知命题:0p ab ≠是0a ≠的充分条件；命题:q 若x ∈R ，则
1
2x x
+
≥，则下列命题为假命题的是（ ） A ．()p q ∨⌝ B ．()p q ⌝∨
C ．()p q ∧⌝
D ．()()p q ⌝∨⌝
9．已知平面α，直线m ，n ，若n ⊂α，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
10．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①命题“若
1122
a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；
③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．“点(),a b 在圆221x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆221x y +=相离”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式
11
1
11++
+
中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程
11x x +
=求得152x =33++=（ ）
A ．
131
2
B ．3
C ．6
D ．2
第II 卷（非选择题)
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题:0p x ∀>，sin 0x x -≥的否定是______．
14．设43a i bi -=+，其中i 为虚数单位，a 、b 为实数，则
a bi +=________．
15．如右图，它是一个算法的流程图，最后输出的k 值为_____． 16．甲、乙、丙三位同学中只有一人会拉小提琴， 甲说：我会； 乙说：我不会； 丙说：甲不会；
如果这三人中有且只有一人说真话，由此可判断会拉小提琴的是________．
三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17．（本题10分）复数(1)(1)()z m m m i m R =-+-∈.
（Ⅰ）实数m 为何值时，复数z 为纯虚数； （Ⅱ）若m =2，计算复数1z
z i
-
+． 18．（本题12分）（167225＞
（2）设x ，y 都是正数，且x+y ＞2证明：12x y +＜和12y
x
+＜中至少有一个成立． 19．（本题12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下： 零件的个数x(个) 2 3 4 5 加工的时间y(小时) 2.5
3
4
4.5
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求出y 关于x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧
=+，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？
(注：()()()
1
1
2
22
1
1
ˆn
n
i
i
i i
i i n
n
i i
i i x x y y x y nxy
b
x x x
nx ====---==
--∑∑∑∑，x b y a ∧
∧-=）
20．（本题12分）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.
年龄 （单位：岁）
[15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65)
[65，75]
频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数
5
10
12
7
2
1
99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数
年龄低于45岁的人数
合计 赞成 不赞成 合计
（Ⅱ）若从年龄在[55,65)的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成使用微信交流的概率. 参考数据：
20()P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
21．（本题12分）在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()22
2:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4
R π
θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆的
面积．
22．（本题12分）在平面直角坐标系xOy 中，将椭圆22
14
y x +=上每一点的横坐标保持不
变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C ．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，直线l 的极坐标方程为(sin cos )1ρθθ-=．
()1写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；
()2已知点(1,2)M ，且直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求11
||||MA MB +的值．
文科数学答案
1．D 2．C 3．A 4．D 5．D 6．C 7．C 8．B 9．C 10．C 11．C 12．A 由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要
()0m m =>，则两边平方得，得23m +=，即
23m m +=，解得122
m m -=
=
舍去，故选A. 13．00x ∃>，使得00sin 0x x -≤ 14．5 15．5 16．乙
17.解：（1）欲使z 为纯虚数，则须()10m m -=且10m -≠，所以得0m = ……..5分 （2）当m=2时，z=2+i ,z =2-i ,故所求式子等于221i i i +--+=11
22
i - ……..10分
18．解：（1）∵22-
=（-（）
=0，
+6分
（2）假设12x y +＜和12y x +＜都不成立，即1x y +≥2且1y
x
+≥2， ∵x ，y 都是正数，∴1+x ≥2y ，1+y ≥2x ， ∴1+x+1+y ≥2x+2y ，
∴x+y ≤2，这与已知x+y ＞2矛盾，
∴假设不成立，即12x y +＜和12y
x
+＜中至少有一个成立．…………..12分
19．解：（1）散点图 ……….3分 （2）2345 3.54x +++=
= 2.534 4.5 3.54
y +++== ………..5分
4
12 2.533445 4.552.5i i
i x y
==⨯+⨯+⨯+⨯=∑…………6分
4
2
1
49162554i
i x
==+++=∑…………..7分
∴2
52.54 3.5 3.5
0.7544 3.5b ∧
-⨯⨯=
=-⨯ …………8分
3.50.7 3.5 1.05a ∧
=-⨯= ………..9分 ∴回归直线方程：0.7 1.05y x ∧
=+ ………..10分 (3)当100.710 1.058.05x y ==⨯+=时…………11分
∴预测加工10个零件需要8.05小时 (12)
20．解：
(1)2×2列联表如下：
…………3分
K 2＝
()2
50310271037301320
⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈9.98＞6.635 …………5分
所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关． …………6分 (2)设年龄在[55,65)中不赞成“使用微信交流”的人为A ，B ，C ， 赞成“使用微信交流”的人为a ，b ， ……….7分
则从5人中随机选取2人有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab ，共10种结果，其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb 、Ca 、Cb ，共9种结果， ………….11分
所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率为P ＝9
10
． …………12分
21． 解：
（1）因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，…….2分
2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+= ………..5分
（2）将4
π
θ=
代入2
2cos 4sin 40ρρθρθ--+=
得240ρ-+=
得12ρρ==，……….8分
所以MN =
………10分
因为2C 的半径为1，则2C MN ∆
的面积为
11
1sin 4522
⨯= ……..12分 22． 解：()1将椭圆2
2
14
y x +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得
到曲线()2
2214
:x C y +
=． 故曲线C 的普通方程为22
1x y +=； ………3分
直线l 的极坐标方程为()sin cos 1ρθθ-=．
故直线l 的直角坐标方程为1y x -=，即10x y -+=；……….5分
()2直线过点()1,2M
且倾斜角为
4
π
， 故直线
l 的参数方程为：12
22
x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
(t 为参数）．………..7分 代入方程2
2
1x y +=．化为：240t
++=，…………9分
12124t t t t +=-=．…………10分
根据t
的几何意义可得：121211·t t MA MB t t ++==． ………12分。