BuckBoost电路建模及分析

题目：BuckdBoost电路建模及分析
摘要：作为研究开关电源的基础，DCTC开关变换器的建模分析对优化开关电源的性能和提高设计效率具有重要意义。

而BucMoost电路作为DCTC开关变换器的其中一种电路拓扑形式，因其输出电压极性与输入电压相反，而幅度既可比输入电压高，也可比输入电压低，且电路结构简单而流行。

为了达到全面而深入的研究效果，本文对Buck^oost电路进行了稳态分析和小信号分析。

稳态分析中，首先介绍了电路工作原理，得出了两种工作模式下的电压转换关系式，并同时可知基于占空比怎样计算其输出电压以及最小最大电感电流和输出纹波电压计算公式；接着推导了状态空间模型，以在M ATLAB中进行仿真；而最后仿真得到的电感电流、输出电压的变化规律符合理论分析。

小信号分析中，首先推导了输出与输入间的传递函数表达式，以了解低频交流小信号分量在电路中的传递过程；接着分析其零极点，且仿真绘制波特图进行了验证。

经过推导与研究，稳态分析和小信号分析下仿真得到的变化规律均与理论上的推导一致。

关键词：BuckHBoost；稳态分析；小信号分析；MATLAB仿真
1 •概论
现代开关电源有两种：直流开关电源、交流开关电源。

本课题主要介绍直流开关电源，其功能是将电能质量较差的原生态电源，如市电电源或蓄电池电源，转换为满足设备要求的质量较高的直流电源，即将“粗电”转换为“精电”。

直流开关电源的核心是DC4)C变换器。

作为研究开关电源的基础，DCTC开关变换器的建模分析对开关电源的分析和设计具有重要意义。

DCTC开关变换器最常见的三种电路拓扑形式为：降压(Buck)、升压(Boost)和降压THE (BuckdBoos 泌］,如图1-1所示。

其中BucMoost变换器因其输出电压极性与输入电压相反，而幅度既可比输入电压高，也可比输入电压低，且电路结构简单而流行。

(a) B uck型电路结构
(b) Boost型电路结构
(c) B uckHB oost型电路结构
图1-1 DCTC变换器的三种电路结构
本课题针对BucMoost变换器的建模分析进行深入研究，以优化开关电源的性能和提高设计效率。

根据传输信号的种类，DCTC变换器模型可以分为稳态模型、小信号模型和大信号模型刃等，其中稳态模型主要用丁•求解变换器在稳态工作时的工作点；小信号模型用于分析低频交流小信号分量在变换器电路中的传递过程，是分析与设计变换器的有力数学工具，具有重要意义；大信号模型则主要用于对变换器进行数值仿真计算，有时也用于研究不满足小信号条件时的系统特性。

DCTC变换器的建模方法有很多种，包括基本建模法、状态空间平均法旳、开关元件与开关网络平均模型法更等。

虽然每种方法有其不同的着眼点和建模过程，但它们的最基本思路是相同的。

这是因为在实际变换器电路中，用于构成开关的有源开关元件和二极管都是在其特性曲线的大范围内工作，从而使变换器成为一个强非线性电路。

针对变换器的这一特殊性，各种建模方法均釆取如下建模思路：首先，对变换器中的各变量在一个开关周期内求平均，以消除高频开关纹波的影响；其次，分解各平均变量，将它们表达为对应的直流分量与交流小信号分量之和，方程两边直流分量、交流分量对应相等，从而达到分离小信号的目的；最后，对只含小信号分量的表达式作线性化处理，将非线性系统在直流工作点附近近似为线性系统，从而线性系统的各种分析与设计方法均可应用于DC7C变换器。

基于这一思路直接得到的方法称为基本建模法；开关元件与开关网络平均模型法则是以受控源为基础的开关元件或开关网络的等效平均电路，也称为大信号等效电路，由此进一步求得直流等效电路和交流小信号等效电路；而状态空间平均法是对这一思路的直接应用，即用状态方程的形式具体描述建模过程，其简化了计算过程，可操作性更强，更具普遍适用性。

因此，本课题采用状态空间平均法进行建模。

电路稳态分析
如绪论中所述，BucMoost电路的输出电压幅度可低于或高于输入电压。

如果将源电压的负端作为参考节点，则输出电压的极性与源电压相反。

BucMoost电路原理图如下图
2-1所示，其中SW 1、SW 2均为理想开关。

Buck^oost电路可以在连续导通模式tCM ）和非连续导通模式OCM ）引下工作。

连续导通模式在稳态工作时，整个开关周期内都有电流连续通过电感；而非连续导通模式下的电感电流是不连续的，即在开关周期内的一部分时间电感电流为0,且它在整个周期内从0开始，达到一个峰值后，再回到0。

CCM模式分析
在连续导通模式下，BuckdBoost电路在每个开关周期内有两种工作状态引，当SW 1闭合、SW 2断开时，为开态(ON),如图2吆(a)所示；当SW 1断开、SW 2闭合时，为关态
(OFF),如图2乜G)所示。

下面分别对这两种工作状态进行分析：
开态：参考图2-2Q),输入电压直接加载在电感两端，且由于加载的电压通常必须为定
值，因此电感电流线性增加，而所有的输出负载电流由输出电容C提供。

其中，“开态”的时间设为t D , D为控制回路设定的占空比，代表了开关在“开态”的时间占整个
on
开关周期T的比值。

如图2-3所示。

关态：参考图2乜(b),由于SW 1断开，电感电流减小，电感两端电压极性翻转，且其
电流同时提供输出电容电流和输岀负载电流。

根据电流流向可知输出电压为负的，即与输
入电压极性相反。

因为输出电压为负的，因此电感电流是减小的,
而且由于加载电压必须
是常数，所以电感电流线性减小。

其中，“关态”的时间设为帖D 丁，且因为对于连续导通模式，电路在整个开关周期中只有两种状态，因此D 1 D o如图2-3所示。

以下论文所有讨论中变量均只表示大小，其具体方向如图2吆中所示。

图2~2 Buck-Boost电路等效原理图
为推导BuckHBoost 电路在稳态连续导通模式下的电压转换关系，首先分析开关周期中 电感两端的电压，然后根据“伏秒平衡”原则
刀即可得到。

因为，电感两端的电压为：
V L
di 1 ---
dt (2. 1)
则电感电流的增加量或减少量为：1
V L —T
L
(2. 2)
而参考图2-2可知，开态、关态时电感两端的电压分别为
V L1 V s 、V L2
V ,其中 Vs 、
V 分别表示输入电压和输出电压。

因此，可得：
0 t t>n
1 II tn
v
( 2. 3 )
t T I] 一 T t g L
在稳态条件下，开态下的电流增加量
1 与关态下的电流减小量 II 必须相等。

否
则，在一个周期到下一个周期，电感电流就会有一个净的增加量或减小量，这就不是稳态 了，即其满足“伏秒积平衡”原则。

1
V stbn II V T tn
i ( 2. 4 ) (2. 5)
解得：
V
D
D
V
V V
V
1 D
(2. 6 )
因此，式()即为Buck^oost 电路在稳态连续导通模式下的电压转换关系式。

且根据 上式可知，输出电压与占空比成正比例关系，占空比越大，其输岀电压越大；反之占空比越
Buck^oost 电路中，参考图2乜可知，电感只有在“关态”时才与负载连接，因此仅仅电感 平均电流的一部
分流过负载电流。

小，其输出电压越小。

又电感电流为：
t
i L t 丄 V L L
d Im ii (2. 7)
其中V L
: L ii
: 电感两端的电压
t to
时刻的电感电流 将 Ll s 、
代入可得：
V
V V
V
i 1 t
亡t —
L
V
12 t
--- t "ton
L
如果输出电容旁路掉
iL t 中所有的谐波,
0 t tn
(2. 8 )
Ei ax "ton t T
则负载电流等于电感平均电流。

但在
to
I 1 D I
o
L avg
(2. 9 )
根据上式可知，电感平均电流与输出负载电流成正比例关系，因为电感纹波电流I 与输出 负载电流无关，而电感电流的最大值、最小值精确地跟随电感平均电流变化。

例如，
当电感平均电流由于负载电流降低而减小1A 时，电感电流的最大值和最小值也会随着减小
1A (假定一直工作在CCM 模式下)。

同时由上述分析可知，当
t tn — 时，电感电流达到最大。

f
DV s
L ax ----------------- Im h
Lf
( 2. 10 )
如图2-3中电感电流波形所示，计算矩形区和三角区的面积总和为：
1 DVs AT — ___ T 1 h
2 Lf
电感平均电流即为上式所表示的面积与开关周期的比值:
联合式()()可得最小、最大电感电流计算公式为：
T .
Io
DV S
Im n ------------------ --------------
1 D 2Lf
T
Io DVs 1 D 2Lf
现推导输出纹波电压计算公式：
根据上述电路分析可知，当电感与负载连接时，电容电流等于电感电流减负载电流; 当电感与负载没有连接时，负载电流由电容提供。

因此，根据式()可得：
i 1 t
Io 0 t ton
・
V
(2.14)
1C 2 t --------- t £n
h ax
I )
"t>n
t
{
L
根据电荷平衡原则，电容电流在整个开关周期内的积分为零，因为积分代表面积，即 电荷。

因此，在图27所示的图形中，时间轴上下的面积必须相等。

(2. 11 )
I L avg
DV
s 2Lf
(2. 12 )
(2. 13)
图2F CCM 模式下Buck^oost 电路电容电流波形图 因此，电
(2. 15 ) VD
纹波：
DCM 模式分析
现在我们研究当导通模式从连续变为非连续， 负载电流降低时会发生什么。

根据式（），
我们知道在连续导通模式下，电感平均电流跟随输出电流变化，也即是，如果输出电流减 小，则电感平均电流也会减小。

此外，电感电流的最大值和最小值也会准确地随着电感平 均电流变化。

如果输出负载电流减小到临界电流水平以下，在开关周期的一部分时间内电感电流就 会变为0。

在
BuckdBoost 电路中，如果电感电流试图降低到 0以下时，它就会停在0 （实际 电路中SW 2只允许单向
电流通过），并保持为 0直到下一个开关周期的开始。

这个工作模 式就叫做非连续导通模式OCM ）o 相比CCM , DCM 在每个开关周期内有三种工作状态 创： 当SW 1闭合、SW 2断开时，为开态（0N ）；当SW 1断开、SW 2闭合时，为关态QFF ）；当SW 1、 SW 2均断开时，为空闲态ODLE ）。

前两种状态与CCM 模式是一样的，因此图2~2显示的电 路也是适用的，t 但1 D T ,且开关周期的剩余吋间即为空闲态ODLE ）o
off
如图2诗 所示，为便于分析将各状态的持 续时间分别表 示为:开态0N ）时间 为伽D T ,其中D 为占空比，由控制电路来设定，表征开关开态内的时间与开关周期 总时间T 的比值；关态（OFF ）时间为 。

行 2 ；而空闲态ODLE ）时间即为开关周期的剩余
t D T
时间
T t>n toff D 3 o T
图2怖DCM 模式下Buck^oost 电路电感电流波形图
同理CCM :
di
V L
V L L — 1
—T (2. 18)
dt
L
V
V
0 t DT
s 1
"ton
D T
r -------------- --------------
V RCf
(2. 17)
V
V ( 2. 19)
t D D 2 T L 一 tff ——D 2T
L
L
也是峰值电感电流，因为在DCM 模式下，每个周期内电流都 是从0开始
的。

同理，与CCM 模式一样，开态(ON)下的电流增加量I 与关态(OFF)下的 电流减小量 1 必须相等。

令II
L ，即“伏秒积平衡” VsDT VD 2T ,解得：
V D Vs D 2
( 2. 20)
同理，因为电感只有在“关态”时才与负载连接，利用输出负载电流 I 。

与电感平均电 流I L avg 的关系口J 得：
V 1
Lk 1 Vs
L
D 2T
D 2
(2. 21)
R T
2
2
2 L
即：
V s
— D 2——DT
(2. 22 )
R 2 L
联合式()()解得：
设 2L 贝
V D V -
k
D 2 Vk
r
D
•<,1
一无
(2. 23)
RT
Vs
k Vs
因此，式()即为Buck^oost 电路在稳态非连续导通模式下的电压转换关系式。

且根
据上式可知，输岀电压与占空比也成正比例关系，占空比越大，其输出电压越大；反之占 空比越小，其输出电压越小。

同时，由上述分析可知，最小、最大电感电流计算公式为:
L h 0 L
DT
纹波电流幅度
II
Vs
L ax
— D T
L 现推
导输出纹波电压计算公式：
由上述分析可知，电感电流为：
V
i 1 t —$ t t h
L V
1. 2 t t ton Ii
L
iL3 t 0
因此，电容电流为：
ii t L
V + T t 2 t t Ion J ax VsD v 2
(2. 24 )
V Lf
I Lffi
0 t DT
DT t D D 2T
(2. 25 )
D o 2 T t T
0 t
DT
Io DT t D D 2T
(2. 26)
i 3 t Io
同理，根据电荷平衡原则，在图2_6所示的图形中，时间轴上下的面积必须相等。

图2-6DCM 模式下BuckdBoost 电路电容电流波形图 因此，根据式()及图2~6可得，电荷：
1
1 L
Q C V
—— t t>n
Im ax Im h
---- L az
In b 2
2
1 L T
T
2 V
(2. 27) 输出纹波电压：
V
2
(2. 28)
lm ax
1 m
2 VC
纹波：
r
V 1 L
2
Tn =
V
2 V 2
C
(2. 29 )
临界电感
由上述分析可知，当BuckHBoost 电路处于C CM 与D CM 的分界处时，其电感电流波形 如图2-7所示，即当电感电流降低到0时，马上开始下一个周期。

图2-7 CCM 与DCM 的分界线
在CCM 模式下，将方程()代入到方程()中，可得:
DV s
L 1 D L avg 1 D
1 D L h
2Lf
(2. 30 )
令］m h 0、
L ,则临界电感为 • •
R
D 1 D VsR 1 D 2
R
L CCM
(2. 31 )
2 fV 2 f 1
其中，D 为CCM 模式下的占空比
因此，在理想情况下，当实际电感 L L CCM 时，BuckHBoost 电路则工作在CCM 模式 卜；相反，当实际电感 L L CCM 时，Buck-B oost 电路则一匚作在D C M 模式卜。

BuckHB oost 电路状态空间模型
一个线性电路的状态变量为电压或电流。

而根据如下一阶导数电路规律，如果状态变
量选为电感电流或电容电压，则状态空间模型更为简便。

di
j dv
()
TI
L ——
c c 一
dt
dt
一般情况下，电感数与电容数之和为状态变量数，也即为状态空间系统的阶数；电路
的源数为强制函数的数目，也即构成控制向量。

而且一般情况下，源数 m 决定了控制向量 和控制输入矩阵的维数。

BuckToost 电路因为是一个可变结构的系统，因此有着特殊的区别，即其电路的拓扑
结构由于半导体器件的开关效应会发生变化。

因此，其状态空间模型必须在开关周期的每 个部分中描述电路的动态特性。

现对其进行具体的分析：
如前所述，在连续导通模式下，BuckdBoost 电路在开关周期中有两种工作状态，其电
路拓扑结构表示在如下图2-8中。

图2-8 BuckHBoost 电路的拓扑结构
<
■
<
/?
在图2~8 (a)所示电路中应用KCL、KVL,可得“开态”时的状态方程为:
V s L di
dt
0 CH
dt 同理，在图2-8 (b)所示电路中应用
0 L-di
dt
i C -dv
dt
斗
R
KCL KVL, ¥
R
为组合方程()、(),定义二进制控制开关为:
1 0 t tn
0 ton t t ton (2. 33) 可得“关态”时的状态方程为:
(2. 34)
(2. 35)
uVs L_di 1 u v
dt
(2. 36)
1 u i C山卫dt R
求解方程(),则可得BuckHBoost电路在整个开关周期中的动态方程为:
1V Lv Vs u
dt L L
(2. 37)
血丄1丄V-iu
dt C RC C
将方程()写为矩阵形式，则可得Buck^oost电路的状态空间模型为：
1 (
0-& Vs)
■1L■
1
L u
dt V _11V■(2. 38)
C RC c
从上述状态空间模型可知，BuckHBoost模型是一个单输入系统，且控制输入矩阵为状
态变量的函数。

MATLAB仿真及分析
CCM仿真及分析
CCM的仿真过程相对来说更简单，直接利用MATLAB本身提供的ode23函数即可求解常微分方程。

电路参数值取为：Vs二12VDC、V二12VDC、R二Q、L二300uH、C二75uF、
410kHz。

根据式()可得D = o而根据式()可得临界电感为：
1 D
2 R _
L CCM------------------ 50uH
2 f
而实际电感L 300UH L CCM ,因此其工作于连续导通模式下。

程序思路：包含两个m文件。

文件：子函数，定义状态导数函数，且包括定义矩阵、向量U,因为控制输入矩阵B与状态变量V有关，因此也在此m文件中定x Ax Bu
义；文件：主程序，ode23函数求解微分方程。

且同时定义矩阵A以及电感电流、输出电压初始化，其中初始化遵循一个原则，即让系统更快速的达到稳态。

仿真程序具体代码见附录Ao
仿真结果：
因此，综合可得:
仿真结果分析：
对于电感电流，理论上根据式() 可得:
L
DV s
In h
5A
1 D 2Lf
L DV s
Ii ax
7 A
1 D 2Lf
对照上图可知，电感电流达到稳态时需要一定时间，但仿真结果整体符合理论分析。

而对于输出电压，理论上根据式()可得：
V D
r —— ----------- 16.7% V RCf
对照上图可知，输出电压约为理论值12VDC,且输出纹波电压约为，则纹波1-12=% ,仿 真结果符合理论分析。

实际中，增大输出电容可改善这一现象，即纹波减小。

DCM 仿真及分析
DCM 的仿真过程相对来说更复杂，因为当电路工作在DCM 模式下时，电感电流在每个开 关周期的
开始必须为0。

而ode23函数为提高数值精度，其本身会调整算法的步长，
即其步长不是常量，这则会导致关闭时间的电感电流不一致。

因此这里采用四阶Runge 卡utta 算法 引，即用一个小的步长，但其为常量来替代可变步长，以维持精度和排除由可变步长 所造成的问题。

电路参数值
I
!l r i • 1 h 4 r q li
4
1 1 i
\A/W\Z SA/VW
c a r i , q b ・ r
i
1 4 1 | 1 1
卜
轉
卜 屮
I*
i
4 1 <1 4 1 |
Inductor Current
10 16
20 25 30
Output Voltage
tycky
取为：Vs二12VDC、V二12VDC、R二Q、L二10uH、C二220uF、匸20kHz。

根据式()可得D二。

而根据式()可得临界电感为：
1 D 2R
25uH
而实际电感L lOuH LCCM ,因此其工作于非连续导通模式下。

程序思路：包含三个m 文件。

文件：定义RungeHKutta 算法四阶计算公式，即ik4函数； 文件：同
CCM 模式的文件；文件：主程序，ik4函数求解微分方程。

为模拟电路中二极管单向 的效应，只要电感电
流小于0则令其为0,因此仿真需周期循环计算，且需重新设置初始条件， 包括下一个周期的始末时间和电感电流、输出电压。

仿真程序具体代码见附录Ao 仿真结果：
仿真结果分析：对于电感电流，理论上根据式()可得:
可得:
V 1 L r ------------ ------------------
V
2 V 2
C
对照上图可知，虽输出电压略低于理论值 12VDC,但输出纹波电压约为，则纹波1-12-% ,
仿真结果整体符合理论分析。

L CCM 对照上图可知,
；2
Il ax V J
\ L 仮 电感电流仿真结果符合理
论分析。

18.97A
而对于输出电压，理论上根据式()
5.7%
减小。

结论：CCM模式和DCM模式下仿真得到的电感电流、输出电压变化规律均与理论推导一致。

3. BuckdBoost电路小信号分析
这里采用的建模方法一一状态空间平均法。

概括的说，其分为三个过程：求平均变量、分离扰动、线性化。

且在以下推导中需满
足三个重要前提条件：
f f
①低频假设：交流小信号频率呂远远小于开关频率S ,这样在一个开关周期内求平均即可滤除变量中的开
关纹波，但保留了直流分量与低频小信号分量。

②小纹波假设：变换器的转折频率£远远小于开关频率£ ,电路中状态变量所含的高频开关纹波分量已被大
大衰减，远远小于直流量与低频小信号分量之和，因此即可近似认为状态变量的平均值等于瞬时值，而不会引起较大的误差。

③小信号假设：电路中各变量的交流分量幅值远远小于相应的直流分量，这样即可保证线性化处理不会引
入较大的误差。

CCM传递函数
以下先讨论得出一般DCTC变换器在CCM模式下的传递函数表达式，然后根据
BuckHBoost具体电路形式，推导其传递函数。

一、求平均变量
为滤除变换器各变量中的高频开关纹波，使各变量中的直流分量与交流小信号分量间的关系突显出来，采取对变量在一个开关周期内求平均值的方法，并以状态方程的形式建立各平均变量间的关系，称为平均变量状态方程。

如前所述，对于工作在CCM模式下的DCTC变换器，其在开关周期内有两种工作状态。

针对每种工作状态，为电路建立线性状态方程如下：
工作状态1：0 dTs xt Aixt Biut
工作状态2：dT s Ts xt A?xt Bzut
其中，x(t)为状态向量，u®为输入向量，Al、2为状态矩阵，
A
为开关元件的作用，工作状态发生了变化，使电路结构也相应地变化，所以
有不同的形式。

为消除开关纹波的影响，需要对状态变量在一个开关周期内求平均，并为平均状态变量建立状态方(3. 1) (3. 2)
1、2为输入矩阵。

由
A 1A?>
B 1B2 具
B B
程。

定义平均状态向量.) —
'> ltn
同理，也可定义平均输入向量u t n，「且Ts进一步备至h均状态冋量对时间的导数为：
但上式为非线性方程，还需在静态工作点附近将其线性化。

三、线性化
分析式()可知，等号右侧的非线性项均为小信号的乘积项。

而如上所述，当变换器满 足小信号假设时，小信号乘积项的幅值必远远小于等号右侧其余各项的幅值，因此可在 方程中将这些乘积项略去，且不会给分析引入较大的误差，以达到将非线性的小信号方程 线性化的目的。

因此可得线性化的小信号状态方程为：
xtAxt ButAi A2X Bi B2U dt (3H
综上，式()即为用状态空间平均法为CCM 模式下DCTC 变换器建立的交流小信号模 型。

为求得变换器的动态小信号特性，现对其作拉氏变换，并设各状态变量的初始值均为 零，因此可得:
SX S
A
A x s Bus
a
Ai
A2 X Bl B2U d s
A
(3. 16) 其中， x ssl A
I 为单位矩阵。

r
B u s si A
1
\ A 2X B 1 B 2U d s
(3. 17)
因此:
G XU s
八
a si A 1 B
x a
d s 0
(3. 18)
U S
式O 即为一般DCTC 变换器CCM 模式下的传递函数表达式，现只需对 BuckHBoost
电路进行具体分析，求出矩阵 A 、B 代入即可。

BuckHBoost 电路:
其中，it 为电感电流，V t 为电容电压或输出电压,
如前分析，可知CCM 模式下电感电压V L t 、电容电流i t 在两种工作状态下的表 达式分别为： 工作状态1：
V L t
dit
L
Vg t
0 dTs
i t dt dv t C ----- V t (3. 20)
将上式写成状态方程形式，则有：
dt R
i t 0 0
it 丄
亠
L ,v s
t (3. 21 )
v t
将式O 与式()相对应，可得：
RC v t
Ai
Q
o
0 B
1 1 (3. 22)
1
L I
RC
令状态向量、输入向量分别为:
it V t
U t Vg t
(3. 19)
Vg t
为输入电压。

工作状态2：
dTs Ts V L t i t
同
理，将上式写成状态方程形式，则有：
1
it 0
L
V t J亠
C RC 将式()与式()相对应，可得：
1
A L
2丄1
c RC
因此:
D
0T
A DAi DA?D1
L RC
将A、B值代入式()中，并根据X、t U的t定义，可
得:
is
------- d s 0
V s
dit
L dt
C dv t
dt
V t
it
R
(3. 23)
it o
Vg t(3. 24)
V t0
B2 °
c ( 3. 25)
D
B D B i D B 2L ( 3. 26)
s
D1
D
T
1
D
IT
1
s
L2
D1
s
04-L-S S2
c RC LC RC LC
(3. 27) Vg S
因此:
r VS
A
D1
C J vg S d s0L LC 2
Vg s D 1 D 2R "D 2S
(3. 28)
式()即为BuckHBoost电路在C C M模式卜输出与输入间的传递函数表达式。

若写为
一般形式：
G vg s G go-
1
W°(3. 29)
G go w o
电压方向相反。

DCM 传递函数
同CCM 模式一样，以下先讨论得出一般DC4)C 变换器在DCM 模式下的传递函数表达 式，然后根据
Buck^oost 具体电路形式，推导其传递函数。

一、求平均变量
如前所述，对于工作在DCM 模式下的DCTC 变换器，其在开关周期内有三种工作状态。

式，其增加了一个未知量
d2t,而d3t 可根据 d2t 求得，因此需增加两个辅助分析
条件，其一为电感平均电流，其二为电感平均电压。

首先分析电感平均电流，这里的电感平均电流指其在瞬时值不为零的时间内，即
0 d d T 期间内的平均值。

根据低频假设与小纹波假设，可近似认为电感电压在
1
2 s
1 s
0 dT
与
1 s
d T
! 2 s 时间段内分别维持恒定，分别用
L , d I T 2
、与 L,d2 匚
V
V
表示,
d d T
L, dm v 与
V L • d m
表达为：
L
L
t d 1 d 2 Ts
1
1
(it
4
------- i d 亠
di
j 2y sI MiTs diTs
V L ,d 订：diTs
d 1 d 2Ts
t
di d 2 Ts 2 L
2L
(3. 35
通过分析变换器在开关周期中的工作状态 I,总可以将V
表达为输入平均电压
工作状态1:
0 diTs
X t A ix t B iu t (3. 30) 工作状态2： diTs ；di d2 Ts X t
A2 x t
Bzu t
(3. 31) 工作状态3：
di d 2 Ts Ts
X t A3X t B311 t
(3. 32)
针对每种工作状态，为电路建立线性状态方程如下: d
11 Ts
X
X t 「T
1 tdlTz y
一 Ai\ x
Bi\u 丁
Ts t
:AZ
dA d A
1 1
2 2
为便于表达，定义
B1(u t
)Ts diTsA 1 d 1
di d2 T
A2(X
t d 1T S
T 2 B2 (U
t T s
A3( X ,?T di d2T =
B 3( u )T S d X\t T 5 / B2\u tjr= & d B d B 1 2 2
X B3(U t )T = 1
A 3( d
2
di
d 2T S
1 d
1
d 2Ts
2
d A. x
23\ /Tr
1
d 3 1 d 1 d 2
d A d A d A x t
1 1
2 2
3 3
B3 \U t
(3. 33)
dB dB ,.u t. 2
2 3 3\
式()即为DCM 模式下DCHDC 变换器平均变量状态方程的一般形式。

但相比
(xt
k T 5
(3. 34)
CCM 模
对于DCTC 变换器，f 为 的表达式中，可得：
V L,diT= f Vg t k, t T )
)〈I 、
Vg t T=与 V t T=的线性函数。

(3. 36)
将上式代入到电感平均电流
L, diT s
〈vt»与输出半均电丿土(t) 的凶数，即：
1 r
fit 卜____ V L, diT s diTs dil\ f 严t 卜申七
2L 2L '''
现在分析电感平均电压，这里指其在一个开关周期内的平均值。

因为变换器工作在DCM 模式下，因此电感电流在每个周期的起始时刻和终止时刻都等于零，即，
根据伏秒平衡，必然有:
(3. 38 ) ()代入到式()中可得:
小信号分量之和, 如式() ,同时：
d 1 t D 1 di t
■
d 2 t D 2 d 2 t
M A
ch t D 3 d 3 t 1 di t d 2 t 1 D 1 D 2 di t d 2 t
M 八A
(3. 42 )
即： D 3 1 D 1 D 2 d 3 t di t d2 t
(3.43) 在上式中，等号两边的直流分量、交流分量对应相等，因此可得:
八A
AX BU0
A A
(3.44)
(3. 37 )
iO iTs 0
L t/T.T
di di t Tr
VL
W L
t d 1 d 2 T：丄
VL
(3. 39)
d
d 2 L——
dt
d〈it》
d2 L dt
di d 2 Ts
在
V L
t d 1 d 2 T
d 丄
T t
S
di dzT.
i d
di d2T
谢收巧十進的兼件.
Ts
(3.40 )
d(it
dt
式()、()即为状态空间平均法中为确定
T5
式O和辅助方程式()()共同组成了分析DCM
二、分离扰动
首先处理式()所示状态方程。

与CCM模式一样,
(3. 41) 而增加的辅助分析条件。

因此状态方程2
d t 变换器的平均变量方程组。

将平均变量分解为直流分量与交流
将式()、()代入到式()中, 可得:
Di di Ai D A2 d 3 A3
D1 di B1 B2 D 3 ch B3
x t Axt But A1As X Bi Bs U di A2 A 3 X B 2 B 3U d 2
A A d x t A A d x t
B B d u t B B d u t(3.45)
1 3 1
2
3 21 3 1 2 3 2
1 1 2
2 3 3 1 1 2 2
3 3
ADA DA DA
B D B D B D B
( 3.46)
其次处理式()所示的辅助条件。

为便于将结果中的直流项、一阶交流项与高阶交流
项分离开来，采取对
a
(it * I it g di( v g Q T J V t )
到变换器的直流工作点和稳态时的D2值。

式
()()()组成了变换器在DCM 模式下的交 流分量方程组，但方程组中除式()外均为非线性方程，还需将各非线性方程线性化。

三、 线性化
对式()()作线性化处理。

当变换器满足小信号假设时，只需将式()中的小信号乘
积项略去，即可得到变换器在DCM 模式下的线性交流小信号状态方程， 且不会引入较大的 误差，则线性小信号状态方程为：
M
A A
八
A
xt Axt ButAi
As X Bl BsU di A2 As X B2 B 3U d 2
( 3. 52)
对于式O ,其中的一阶交流项为线性项，当变换器满足小信号假设时，可以忽略式 中的高阶非线性交流项，
得到线性化的电感电流小信号方程为：
.
•
* gdi,Vg,V • g D ,〈v t 〉，V - g D ,V , $ t )
it di
v g t
\ s } Ts v t \ g ) Ts di
Vg t T =
V t T s
( 3. 53)
式()()()即组成了变换器在
DCM 模式下的线性交流分量方程组，根据式()
()
()可以建立变换器的DCM 小信号等效电路并分析变换器的DCM 低频动态特性。

其中,
级数展开的方法分离变量，可得:
i g gD b v g ,v
di 4——
di
+高阶非线性交流项
在上式中，等号两边的直流分量、
g D 1/Vg t )T 2 ,V
g D i,Vg,/v t
Vg t ------------------- i ---------- L --------- V t
〈Vg
(3.47)
it di
交流分量对应相等，因此可得:
I g D i,V g ,V D T fV g ,V
2L
g D 打 Vg
(3.48)
(3. 49 )
di
+高阶非线性交流项
最后处理式()所示的辅助条件。

Vg t Tr
dMt T.dT
di
dt
dt dt (3. 50)
而直流项
dt
d it
(3. 51)
综上，式()
()组成了变换器在
dt
DCM 模式下的直流分量方程组，求解方程组可以得。