江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 文

江苏省启东市启东中学2015届高三数学下学期期初调研测试试卷 文
注 意 事 项
1．本试卷包含填空题（第1题～第14题，共14题）、解答题（第15题～第20题，共6题），总分160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上．
3．请认真核对监考员所粘贴的条形码上的姓名、考试证号是否与您本人的相符．
4．请用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔在答题卡纸的指定位置答题，在其它位置作答一律无效．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

1．已知集合A ＝{x|log2x≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝ ▲ ． 2．由命题“∃x ∈R ，x2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝ ▲ ．
3．底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为 ▲ m2.
4．圆x2＋y2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a = ▲ ． 5．已知△ABC 中，∠B ＝45°，AC ＝4，则△ABC 面积的最大值为 ▲ .
6．设常数a 使方程 a x x =+cos 3sin 在闭区间]2,0[π上恰有三个解321,,x x x ，则=++321x x x ▲ ．
7． 已知函数
⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2)1(2
2
3
x x x x
y ，若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数
k 的取值范围是 ▲ .
8．已知平面上四个互异的点A 、B 、C 、D 满足：()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，则ABC ∆ 的
形状是 ▲ ．
9．设y x ,均为正实数，且33
1
22x y +=++，则xy 的最小值为 ▲ ．
10．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α＋cos2β＝1. 类比到空间中的一个正确命题是：在长方
体ABCD-A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所
成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ ▲ _．
11．已知点(,4)P m 是椭圆22
221+=x y a b (0)>>a b 12,F F 是椭圆的两个焦点，若12∆PF F 的内切圆的半
1
F 2
F y
x
P
径为3
2，则此椭圆的离心率为 ▲ ．
12．若函数
)1ln(2ln )(+-=
x kx
x f 不存在零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．
13．函数x
e x x
f 2
)(=在区间)1,(+a a 上存在极值点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 14．设定义域为),0(+∞的单调函数)(x f ，对任意),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，
若0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，且
))(1,(*
0N a a a x ∈+∈，则实数a = ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答． 解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分为14分）已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b
2x ＋1＋a 是奇函数．
（1）求a ，b 的值；
（2）若对任意的t ∈R ，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k 的取值范围．
16．（本小题满分为14分）已知函数
)
50)(3
6
cos(
2)(≤≤+
=x x f ππ，点B A ,分别是函数
)(x f y =图象上的最高点和最低点．
（1）求点B A ,的坐标以及OB OA ⋅的值；
（2）设点B A ,分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，求
)
22
sin(
βα
-的值．
17．（本小题满分为14分）
如图1所示，在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，点E 在线段AC 上，CE ＝4.如图2所示，将△BCD 沿CD 折起，使得平面BCD ⊥平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点．
(1)求证：DE ⊥平面BCD ；
(2)在图2中，若EF ∥平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥B-DEG 的体积． 18．（本小题满分为16分）
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：
⎪⎩⎪⎨
⎧∈+-∈+-=]500,144[8000020021
)144,120[5040803122
3x x x x x x x y ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价
值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．
（1）当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 19．（本小题满分为16分）
设A ，B 分别为椭圆
22
221+=x y a b (0)>>a b 的左、右顶点，椭圆的长轴长为4，且
点
在该椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P 为直线4=x 上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：△MBP 为钝角三角形．
20．（本小题满分为16分）
已知函数
x a x x f ln 21)(2
+=
．
（1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值； （2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；
（3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在3
32)(x
x g =
的图象下方．
2015届高三寒假作业测试答案 数学（Ⅰ）试题
1．答案：4；由log2x≤2，得0<x≤4，即A ＝{x|0<x≤4}，而B ＝(－∞，a)，由于A ⊆B ，则a>4，即c ＝4；
2. 答案：1；由题意得命题“∀x ∈ R ，x2＋2x ＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.
3. 答案：33；由条件得斜高为
32)33(
12=+ (m)．从而全面积S ＝34×22＋3×12×2×23
＝
3 3 (m2)．
4. 答案：-4；圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，r2＝2－a ，则圆心(－1，1)到直线x ＋y
＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|
2
＝ 2.由22＋(2)2＝2－a ，得a ＝－4.
7. 答案：(0,1)，解析 画出分段函数f(x)的图象如图所示，结合图象
可以看出，若f(x)＝k 有两个不同的实根，也即函数y ＝f(x)的图象 与y ＝k 有两个不同的交点，k 的取值范围为(0,1). 8. 答案：等腰三角形；
AC AB DC AD DB AD CD BD AD +=+++=--)()(2，BC AC AB =-，
由
()()20AB AC AD BD CD -⋅--=，即)(AC AB BC +⊥，由四边形垂直平分可得ABC ∆的
是等腰三角形．
9.答案：16；法一；由331
22x y +=++化为xy y x xy 28≥+=-，因y x ,均为正实数，故
4≥xy ；法二：由于33
1
22x y
+=++和xy 都是对称式，故令x=y=4．
10.答案：2；设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，如图所示，所以AC1与下底 面所成角为∠C1AC ，记为α，所以cos2α＝AC2AC21＝a2＋b2a2＋b2＋c2，同理cos2 β＝a2＋c2a2＋b2＋c2，cos2γ＝b2＋c2a2＋b2＋c2，所以cos2α＋cos2β
＋cos2γ＝2.答案：cos2α＋cos2β＋c os2γ＝2
11. 答案：35；一方面12∆PF F 的面积为1(22)2a c r +⋅；另一方面12∆PF F 的面积为1
22⋅p y c
，11
(22)222+⋅=⋅p a c r y c ，∴()+⋅=⋅p a c r y c ，∴+=p y a c c r ，∴(1)+=p y a c r ，又4=p y ∴45
11332p y a c r =-=-=
，∴椭圆的离心率为
35==c e a . 12. 答案：)4,0(；由题意可知⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
+=>+>)
1ln(2ln 010x kx x kx ，解得1->x 且0≠x ，由对数的性质可得
2)1ln()1ln(2ln +=+=x x kx ，可得2)1(+=x kx )0,1(,21
)1(2≠->++=+=⇒x x x x x x k
由于
,21-<+
x x 或02121<++⇒≥+x x x x 或421
≥++x x ， 要使函数
)1ln(2ln )(+-=
x kx x f 不存在零点，只需k 取21
++x x 取值集合的补集，
即}40|{<≤k x ，当0=k 时，函数无意义，故k 的取值范围应为：)4,0(
13. 答案：)0,1()2,3(-⋃--；函数x e x x f 2)(=的导数为
)2(22+=+='x xe e x xe y x
x x ，令0='y ，则0=x 或2-=x ，当)0,2(-∈x 时)(x f 单调递减，当)2,(--∞∈x 和),0(+∞∈x 时)(x f 单调递增0∴和2是函数的极值点，因为函数x e x x f 2)(=在区间)1,(+a a 上存在极值
点，所以12+<-<a a 或2310-<<-⇒+<<a a a 或01<<-a ，
14. 答案：1；对任意的),0(+∞∈x ，都有6]log )([2=-x x f f ，又由)(x f 是定义在),0(+∞上的单调函数，则x x f 2log )(-为定值，设x x f t 2log )(-=，则x t x f 2log )(+=，又由
6)(=t f ，可得6log 2=+t t ，可解得4=t ，故
2ln 1
)(,log 4)(2x x f x x f =
'+=，又0x 是方程4)()(='-x f x f 的一个解，所以0x 是函数
2ln 1
log 4)()()(2x x x f x f x F -
=-'-=的零点，分
析易得
04ln 1
12ln 211)2(,02ln 1)1(>-=-=<-
=F F ，故函数)(x F 的零点介于)2,1(之间，故
1=a ，故答案为：1
二、解答题：
15. 解 (1)因为f(x)是奇函数，且定义域为R ，所以f(0)＝0，-------------------------2分 即
－1＋b
2＋a
＝0，解得b ＝1. ---------------------------------------------------------4分 从而有f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋a .又由f(1)＝－f(－1)知－2＋1
4＋a ＝－－12＋1
1＋a ，解得a ＝2----6分
经检验适合题意，∴a ＝2，b ＝1.-------------------------------------------------------7分 (2)由(1)知f(x)＝
－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋1
2x ＋1
.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f(x)是奇函数，
从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).-----10分 因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即对一切t ∈R 有3t2－2t －k>0.------------------------------------------------------------12分 从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－1
3---------------------------------------------------14分
16. 解：（1）∵
,21
)36cos(1673
6
3
50≤+≤-∴≤
+
≤
∴
≤≤ππππ
π
π
x x x --------3分
当,
33
6
π
π
π
=
+
x 即0=x 时，)(x f 取得最大值1，
当π
π
π
=+
3
6
x 即4=x 时，)(x f 取得最小值.2-
因此，所求的坐标为).2,4(),1,0(-B A --------------------------------------------------5分
则;2).2,4(),1,0(-=⋅∴-==OB OA OB OA ----------------------------------------7分（2）∵点
).2,4(),1,0(-B A 分别在角])2,0[,(,πβαβα∈的终边上，
则
,552cos ,55sin ,2
=-
==
ββπ
α-------------------------------------------------10分
则
,54
552)55(2cos sin 22sin -=⨯-
⨯==βββ
.531)552(
21cos 22cos 22=-⨯=-=ββ---------------------------------------------12分
.1027)5453(22)24
sin(
)22
sin(
=+=
-=-∴βπ
βα
--------------------------------------14分
18. 解 (1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S ，
则S ＝200x －⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-800002002
12x x ＝－12
x2＋400x －80 000＝－12
(x －400)2， 所以当x ∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.--------------------------3分
当x ＝300时，S 取得最大值-5 000，----------------------------------------------5分 所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损.-------------------------7分 (2)由题意可知二氧化碳的每吨处理成本为
⎪⎩⎪⎨
⎧∈-+∈+-=]
500,144[2008000021)144,120[504080312
x x x x x x x y -------------------------------------------9分
①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x2－80x ＋5 040＝1
3(x －120)2＋240，
所以当x ＝120时，y
x 取得最小值240.-------------------------------------------------12分 ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000
x －200≥2
12x×80 000
x －200＝200，
当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，y
x 取得最小值200.因为200<240，------15分 答：当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.----------16分
20. 解：（1）)(x f 的定义域是),0(+∞x x x x x x x x f )
1)(1(11)(2-+=
-=-='
当)1,0(∈x 时)(0)(x f x f ⇒<'在)1,0(上递减；-------------------------------2分 当),1(+∞∈x 时)(0)(x f x f ⇒>' 在),1(+∞上递增， )(x f ∴的极小值是
21
)1(=
f ，无极大值．------------------------------------------4分
（2）
01)(ln 21)(2>+='⇒+=
x x x f x x x f 恒成立对],1[e x ∈，
)(x f ∴在],1[e 上递增，------------------------------------------------------------------6分
.
21
)1()(,121)()(min 2max ==+==∴f x f e e f x f --------------------------------10分
（3）证明：令)1(32ln 21)()()(32≥-+=
-=x x x x x g x f x h
0)12)(1(1221)(2232≤++--=++-=-+='x x x x x x x x x x x h 在),1[+∞上恒成立， )(x h ∴在区间),1[+∞上递减，-----------------------------------------------------------12分 0613221)1()(<-=-=≤∴h x h -----------------------------------------------------------15分 ∴在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在
332)(x x g =的图象下方--------------16分。