高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算

文字描述 Nhomakorabea加法
两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的和
减法
两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的差
数乘
实数与向量的积的坐标等于用这 个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐 标公式
一个向量的坐标等于表示此向量 的有向线段的终点的坐标减去始 点的坐标
符号表示
a+b=(x1+x2,y1+y2)
a-b=(x1-x2,y1-y2)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:确定出终点的坐标,即可确定向量������������的坐标. 解:设点 A(x,y), 则 x=|OA|cos 60°=2√3,y=|OA|sin 60°=6, 即 A(2√3,6),故������������=(2√3,6).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
探究二
变式训练1
探究三
思维辨析
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
学习目标
思维脉络
1.理解平面向量的正交 分解及坐标表示的意义. 2.理解向量加法、减法、 数乘的坐标运算法则,能
熟练进行向量的坐标运
算. 3.能借助向量的坐标,用 已知向量表示其他向量.
1.平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个 单位向量i,j作为基底. (2)坐标:对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使得 a=xi+yj,我们把有序实数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中 x叫做向量a在x轴上的坐标,y叫做向量a在y轴上的坐标. (3)坐标表示:a=(x,y)就叫做向量的坐标表示. (4)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
在平面直角坐标系中,|a|=4,且 a 如图所示,则 a 的坐标为 ( ) A.(2√3,2) B.(2,-2√3) C.(-2,2√3) D.(2√3,-2)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解析:设 a=(x,y),则 x=|a|cos 30°=4×√3=2√3,
2
y=-|a|sin 30°=-4×1=-2.
λa=(λx1,λy1) 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 ������������=(x2-x1,y2-y1)
做一做 3 已知 a=(2,1),b=(3,-2),则 3a-2b 的坐标是( )
A.(0,-7) B.(0,7)
C.(-1,3) D.(12,-1)
解析:3a-2b=3(2,1)-2(3,-2)=(6,3)-(6,-4)=(0,7).
答案:B
做一做 4 已知 A(3,1),B(2,-1),则������������的坐标是( )
A.(-2,-1) B.(2,1)
C.(1,2) D.(-1,-2)
解析:������������=(3,1)-(2,-1)=(1,2).
答案:C
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×
∴������������ =(7,5)-(4,6)=(3,-1);
������������ =(1,8)-(4,6)=(-3,2).
∴������������ + ������������=(3,-1)+(-3,2)=(0,1),
������������ − ������������=(3,-1)-(-3,2)=(6,-3),
2������������
+
1 2
������������ =2(3,-1)+12(-3,2)=
9 2
,-1
.
(2)a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6);
a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2);
3a-4b=3(1,2)-4(-3,4)=(15,-10).
探究一
探究二
探究三
思维辨析
做一做 2 已知������������=(2,-3),则点 A 的坐标为( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-3,2) D.(3,-2) 解析:������������的起点为原点 O,则������������的坐标与终点 A 的坐标相同. 答案:B
4.平面向量的坐标运算 设向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表:
(1)向量的坐标即此向量终点的坐标.( ) (2)位置不同的向量其坐标可能相同.( ) (3)一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的始点坐标.( ) (4)相等的向量坐标一定相同.( )
答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一利用正交分解求向量的坐标
【例 1】 已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限,|OA|=4√3,线段 OA 与 x 轴正方向的夹角为 60°,求向量������������的坐标.
2
故 a=(2√3,-2).
答案:D
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二平面向量的坐标运算
【例 2】 (1)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求������������, ������������, ������������ + ������������, ������������ − ������������,2������������ + 1 ������������;
2
(2)已知 a=(1,2),b=(-3,4),求向量 a+b,a-b,3a-4b 的坐标.
分析:(1)先计算出������������, ������������的坐标,再进行向量的线性运算; (2)直接利用向量的坐标运算.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)∵A(4,6),B(7,5),C(1,8),
做一做1 在平面直角坐标系中,i,j分别是与x,y轴正方向相同的单
位向量,且a=-3i+4j,则a的坐标为
.
答案:(-3,4)
3.向量与坐标的关系
设������������=xi+yj,则向量������������的坐标(x,y)就是终点 A 的坐标;反过来,终点 A
的坐标(x,y)也就是向量������������ 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一 个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示,即以原点为起点的向 量与实数对是一一对应的.