三角格及满二叉树上的σ全一问题

三角格及满二叉树上的σ全一问题
细胞自动机是一种离散动力系统,它包含了由细胞单元的状态构成的配制以及作用在配制上的传递规则。

其数学刻画如下:假设在一个无向图的每个顶点上安装有一个指示灯和一个按钮。

如果在该图中按下一个按钮,则它的所有相邻点上的灯将由暗到亮,反之亦然。

开始时,所有灯都是暗的,问题是:是否有可能按下一系列的按钮使得最终所有的灯都亮了?该问题被称为σ全一问题,特别地,若图的每一个点都有一个自环,则它也被称为σ⁺全一问题,起源于Sutner引入的棋盘上的全一问题,后被Peled称为点灯问题。

近年来σ⁺全一问题已经被广泛的研究,见文
Sutner[30,31],Barua和Ramakrishnan[2]以及Dodis和Winkler[13]。

用线性代数的理论,Sutner证明σ⁺全一问题的解对任何图总是存在的,并给出了n×n的格子图上解的一些计数结果。

Erikisson等给出了解存在性的图论证明。

进而,Chen和Gu给出了一个精巧的图论算法来找到一般图上的解。

与σ⁺全一问题不同,σ全一问题在很多图上都无解（例如
C₃和P₅）。

近期,Chang和Qian在文[40]中给出了四角格与六角格上的σ全一问题无解的一个充要条件。

本文分别给出了以三角形、菱形（四边形）和六边形为边界的三角格及满二叉树上的σ全一问题无解的充要条件。