圆周运动——临界问题

当v>v0，杆对球有向下的拉力。
mg
F1
此时最低点的速度为：
问：当v2的速度等于0时，杆对球的支持力为多少？
F支=mg
此时最低点的速度为：
结论：使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放置的管型轨道，其半径为R，管内有一质量为m的小球有做圆周运动，小球的直径刚好略小于管的内径。
四、圆周运动的周期性 利用圆周运动的周期性把另一种运动（例如匀速直线运动、平抛运动）联系起来。圆周运动是一个独立的运动，而另一个运动通常也是独立的，分别明确两个运动过程，注意用时间相等来联系。在这类问题中，要注意寻找两种运动之间的联系，往往是通过时间相等来建立联系的。同时，要注意圆周运动具有周期性，因此往往有多个答案。
例：长为L的细绳，一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，现给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好过最高点，则下列说法中正确的是：（ ） A.小球过最高点时速度为零 B.小球开始运动时绳对小球的拉力为m C.小球过最高点时绳对小的拉力mg D.小球过最高点时速度大小为
【答案】 2.9 rad/s≤ω≤6.5 rad/s
如图所示，匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向两个用细线相连的小物体A、B的质量均为m，它们到转轴的距离分别为rA=20cm，rB=30cm。A、B与圆盘间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，（g=10m/s2）求： （1）当细线上开始出现张力，圆盘的角速度； （2）当A开始滑动时，圆盘的角速度
思考：在最高点时，什么时候外管壁对小球有压力，什么时候内管壁对小球有支持力什么时候内外管壁都没有压力？小球在最低点的速度v至少多大时，才能使小球在管内做完整的圆周运动？
临界速度：
当v<v0，内壁对球有向上的支持力；
当v>v0，外壁对球有向下的压力。
使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度：
例题:轻杆长为2L，水平转轴装在中点O，两端分别固定着小球A和B。A球质量为m，B球质量为2m，在竖直平面内做圆周运动。 ⑴当杆绕O转动到某一速度时，A球在最高点，如图所示，此时杆A点恰不受力，求此时O轴的受力大小和方向； ⑵保持⑴问中的速度，当B球运动到最高点时，求O轴的受力大小和方向； ⑶在杆的转速逐渐变化的过程中， 能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。
一、匀速圆周运动中的极值问题
1、滑动与静止的临界问题
如图所示，用细绳一端系着的质量为M＝0.6 kg的物体A 静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m＝0.3 kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2 m，若A与转盘间的最大静摩擦力为Fm＝2 N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围(取g＝10 m/s2)．
mg
T
思考：当v=v0、 v>v0、v<v0时分别会发生什么现象？
当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点；
当v>v0，对绳子的有拉力，小球能够通过最高点。
思考：要使小球做完整的圆周运动，在最低点的速度有什么要求？
o
A
L
vA
B
vB
由机械能守恒可的：
当VB取得最小值时，即：
VA取得最小值即：
结论：要使小球做完整的圆周运动，在最低点的速度
表演“水流星” ，需要保证杯子在圆周运动最高点的线速度不得小于
即：
实例一：水流星
重力的效果——全部提供向心力
思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？
实例二：过山车
拓展：物体沿竖直内轨运动
有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r，质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动时，分析小球在最高点的速度应满足什么条件？
D
变型题2：在倾角为α=30°的光滑斜面上用细绳拴住一小球，另一端固定，其细线长为0.8m，现为了使一质量为0.2kg的小球做圆周运动，则小球在最高点的速度至少为多少？
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不会流下来，为什么？
对杯中水：
G
FN
FN = 0
水恰好不流出
圆周运动——临界问题
圆周运动
非匀速 圆周运动
匀速 圆周运动
角速度、周期、频率不变， 线速度、向心加速度、向心力的大小不变， 方向时刻改变；
合外力不指向圆心，与速度方向不垂直；
合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直， 且指向圆心。
合外力沿着半径方向的分量提供向心力，改变速度方向；沿着速度方向的分量，改变速度大小。
不可伸长的细绳长为L，拴着可看成质点的质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动。
o
A
L
vA
B
v0
试分析： 当小球在最高点B的速度为v0 时，绳的拉力与速度的关系？
v1
o
思考：小球过最高点的最小速度是多少
最高点：
v2
当v=v0，对绳子的拉力刚好为0 ，小球刚好能够通过（到）最高点、刚好能做完整的圆周运动；
资料整理
仅供参考,用药方面谨遵医嘱例1：如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一个小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，则小球的初速度v＝_________，圆盘转动的角速度ω＝_________。
例2：如图所示，小球Q在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q球转到图示位置时，有另一小球P在距圆周最高点为h处开始自由下落.要使两球在圆周最高点相碰，则Q球的角速度ω应满足什么条件？
解析：⑴A端恰好不受力，则
B球：
⑵杆对B球无作用力，对A球:
由牛顿第三定律，B球对O轴的拉力
，竖直向下。
由牛顿第三定律，A球对O轴的拉力
，竖直向下。
若B球在上端A球在下端，对B球：
对A球：
联系得:
若A球在上端，B球在下端，对A球：
对B球：
联系得
显然不成立，所以能出现O轴不受力的情况，此时
⑶在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。
特点：
性质：
变速运动；
非匀变速曲线运动；
条件：
向心力就是物体作圆周运动的合外力。
当速率增大时，合外力与速度方向的夹角为锐角；反之，为钝角。
物体做圆周运动时，题干中常常会出现 “最大”“最小”“刚好”“恰好” 等词语，该类问题即为圆周运动的临界 问题
例1、在山东卫视的《全运向前冲》节目中，有一个“大转盘”的关卡。如图所示，一圆盘正在绕一通过它中心O且垂直于盘面的竖直轴逆时针匀速转动，在圆盘上有一名质量为m的闯关者（可是为质点）到转轴的距离为d，已知闯关者与圆盘间的摩擦因素为μ，且闯关者与圆盘间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。为了使闯关者与圆盘保持相对静止，求圆盘的转动角速度的取值范围。
思考：小球过最高点的最小速度是多少
当v=v0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；
当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点。
当v>v0，对轨道有压力，小球能够通过最高点；
mg
FN
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：
A
v0
规律总结：无支持物
物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力；若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型
2、绳子中的临界问题
）
）
30°
45°
ω
C
A
B
L
例：如图所示，两绳子系一个质量为m=0.1kg的小球，上面绳子长L=2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°。问球的角速度满足什么条件，两绳子始终张紧？
2.4rad/s≤ω ≤3.16rad/s
3、脱离与不脱离的临界问题
）
37°
可看成质点的质量为m的小球随圆锥体一起做匀速圆周运动，细线长为L，求：
（1）若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动 （2）当角速度ω为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力 （3）本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图。若电机的质量为M，则ω多大时，电机可以“跳”起来此情况下，对地面的最大压力是多少
二、竖直平面内的圆周运动的临界问题——球绳模型
模型1 ：绳球模型
（1）当 时绳子的拉力；
（2）当 时绳子的拉力；
例：如图3-5所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块．电机启动后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动．则电机对地面的最大压力和最小压力之差为___.
试分析： （1）当小球在最低点A的速度为v2时，杆的受力与速度的关系怎样？
（2）当小球在最高点B的速度为v1时，杆的受力与速度的关系怎样？
A
B
F3
mg
F2
v2
v1
o
思考:在最高点时，何时杆表现为拉力？何时表现为支持力？试求其临界速度。
A
B
最高点：
拉力
支持力
临界速度：
当v<v0，杆对球有向上的支持力；
③不能过最高点的条件：V<V临界(实际上小球尚未到达最高点时就脱离了轨道)．
④使小球做完整的圆周运动，在轨道的最低点的速度应满足：
模型二：球杆模型： 小球在轻质杆或管状轨道弹力作用下的圆周运动，过最高点时杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力；（管状轨道的口径略大于小球的直径)
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球在竖直平面内做圆周运动。