2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2课件：1.3.2 函数的极值与导数 Word版含解析.pdf

(2)极大值点与极大值. 如上图,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点 的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0, 则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.
典例透析
求函数的极值
【例1】 求下列函数的极值:
(1)f(x)=x3-12x;
(2)f(x) = ln������ ;
������
(3)f(x)
=
5������ ������ 2+1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
;
(4)f(x)=cos x+ 1 ������(x∈(0,π)).
2
分析:求f(x)的定义域→求f'(x)→解方程f'(x)=0→列表分析→结论
-9-
2.如何求f(x)的极值? 剖析
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归纳总结极值点可以看成是函数单调递增区间与单调递减区间 的分界点.极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函 数值.极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数 值.
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题型一
题型二
题型三
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(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值也 可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也 不一定比极大值小.如图所示.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极 值点.
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(5)若函数在极值点处存在导数,则这点的导数为0,但导数为0的 点可能不是函数的极值点.也就是说,若f'(c)存在,则“f'(c)=0”是“f(x) 在x=c处取到极值”的必要条件,但不是充分条件.例如:函数f(x)=x3 在x=0处的导数为0,但在x=0处没有极值.
(6)若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数, 即在某区间内单调的函数没有极值.
(7)如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的分布是有规 律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极 小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且 有有限个极值点时,极大值点、极小值点是交替出现的.
A.有极大值,无极小值
B.有极小值,无极大值
C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值也有极小值
解析:y'=-2x-3x2,令y'=0,
得
x1=−
23,x2=0.当
x<−
2 3
时,y'<0;
当
−
2 3
<
������
<
0时,y'>0;当
x>0
时,y'<0.
故当
x=−
2 3
时,函数有极小值;当
x=0
时,函数有极大值.故选
() A.函数f(x)有1个极大值点、1个极小值点 B.函数f(x)有2个极大值点、2个极小值点 C.函数f(x)有3个极大值点、1个极小值点 D.函数f(x)有1个极大值点、3个极小值点 答案:A
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2.判断函数y=f(x)极值的方法 解方程f'(x)=0,当f'(x0)=0时: (1)如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值; (2)如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值. 归纳总结一般地,如果函数y=f(x)在某点处可导,那么“函数y=f(x) 在这一点处的导数为0”是“函数y=f(x)在这点取得极值”的必要不充 分条件.
1.3.2 函数的极值与导数
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1.结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分 条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超 过三次).
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1.极值点与极值 (1)极小值点与极小值. 如下图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点 的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0, 则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
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【做一做1-1】 下列说法不正确的是( ) A.函数y=x2有极小值 B.函数y=sin x有无数个极值 C.函数y=2x没有极值 D.x=0是函数y=x3的极值点 解析:由四个函数的图象容易判断D项不正确. 答案:D 【做一做1-2】 已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图,则
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(2,+∞) +
↗
从表中可以看出,当x=-2时,函数f(x)有极大值,
且f(-2)=(-2)3-12×(-2)=16. 当x=2时,函数f(x)有极小值,且f(2)=23-12×2=-16.
D.
答案:D
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1.如何正确理解极值? 剖析极大值与极小值统称为极值. 函数取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的 是函数值.关于极值需注意以下几点: (1)极值是一个局部概念.极值只是某个点的函数值与它附近点的 函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最 大或最小. (2)函数的极值不一定存在,若存在也不一定是唯一的,即一个函 数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个.
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【做一做2-1】 函数f(x)=xex的极值点为( )
A.0 B.1 C.-1 D.不存在
解析:f'(x)=ex(x+1),令f'(x)=ex(x+1)=0,
得x=-1,故函数f(x)的极值点为-1.
答案:C
【做一做2-2】 函数y=2-x2-x3的极值情况是( )
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题型二
题型三
解:(1)函数f(x)的定义域为R, f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2). 令f'(x)=0,得x=-2或x=2. 当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,-2) -2 (-2,2)
2
f'(x)
+
0
-
0
f(x)
↗
16 ↘