苏教版数学高二苏教版必修5学案 等比数列的前n项和(一)

2．3.3 等比数列的前n 项和(一)
明目标、知重点 1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式的推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
1．等比数列前n 项和公式：
(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
a 1(1－q n
)1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)
na 1(q ＝1)
.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和公式的变式
若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1
q －1.
3．错位相减法
推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．
[情境导学]
国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约7亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导
思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？
答 所得数列为1,2,4,8，…，263.它是首项为1，公比为2的等比数列，通项公式为a n ＝2n －
1. 思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为怎样的一个数列的问题？ 答 转化为求通项为a n ＝2n
－1
的等比数列前64项的和．
思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？
答 不能用倒序相加法，因为对应各项相加后的和不相等． 思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?
答 设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n .
S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －
1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －
1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .
当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )
1－q
.
当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.
小结 (1)千粒麦子的质量约为40 g,1.84×1019粒麦子相当于7 000多亿 t ，而目前世界年度小麦产量约6亿 t ，所以国王是无法满足发明者要求的． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n 可以用a 1，q ，a n 表示为 S n
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
na 1
，q ＝1a 1
－a n
q
1－q ，q ≠1.
例1 在等比数列{a n }中，
(1)已知a 1＝－4，q ＝1
2，求S 10；
(2)已知a 1＝1，a k ＝243，q ＝3，求S k . 解 (1)根据等比数列的前n 项和公式，得
S 10＝－4[1－(1
2)10]
1－12＝－1 023
128.
(2)根据等比数列的前n 项和公式，得 S k ＝1－243×31－3
＝364.
反思与感悟 在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可求出其余两个量．
跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________. 答案 2 2n ＋
1－2
解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2. 因此S n ＝a 1(1－q n )
1－q
＝2n ＋1－2.
例2 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝63
2
，求a n .
解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝72，S 6＝63
2
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 1(1－q 3)1－q
＝7
2， ①a 1
(1－q 6
)1－q ＝632. ②
②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2. 可求得a 1＝1
2
，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.
反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 跟踪训练2 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .
解 设{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2
＝30，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，q ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝2，
q ＝3，
当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1， S n ＝3×(2n －1)；
当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1， S n ＝3n －1.
探究点二 错位相减法求和
思考 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列
{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n
2n }前n
项和？
答 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n
2
n ，
则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n
2
n ＋1，
两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n
2
n ＋1，
即12S n ＝12(1－12n )1－12
－n 2
n ＋1＝1－12n －n
2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n
2n ＝2－n ＋22n .
例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．
当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)
2.
当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，
∴(1－x )S n ＝
x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x .
综上可得，S n
＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
n (n ＋1)
2 (x ＝1)x (1－x n
)(1－x )2
－nx
n ＋1
1－x (x ≠1且x ≠0).
反思与感悟 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．
跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n －1
的前n 项和．
解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.
(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]
2＝n 2.
(3)当a ≠1且a ≠0时，
有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ② ①－②得
S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)
1－a
＝1－(2n －1)a n ＋2(a －a n )
1－a
，
又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )
(1－a )2
.
综上，S n
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1 (a ＝0)
n 2
(a ＝1)
1－(2n －1)a n
1－a ＋2(a －a n )
(1－a )2
(a ≠0且a ≠1).
1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n ＝________.
答案 ⎩⎪⎨⎪⎧
1－x n
1－x ，x ≠1n ， x ＝1
解析 当x ＝1时，S n ＝n ；当x ≠1时，S n ＝1－x n
1－x
.
2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4
a 2
＝______.
答案 152
解析 方法一 由等比数列的定义，
S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2
q
＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，
得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1(1－q 4)1－q
，a 2＝a 1q ，
∴S 4a 2＝1－q 4
(1－q )q ＝152
. 3．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是________． 答案 211
解析 ∵q 4＝a 5a 1＝1681＝(23)4，且q >0，∴q ＝2
3
，
∴S 5＝a 1－a 5q 1－q ＝81－16×2
3
1－23
＝211.
4．求数列1＋12，2＋14，3＋18，…，n ＋1
2n ，…的前n 项和．
解 S n ＝(1＋12)＋(2＋14)＋(3＋18)＋…＋(n ＋1
2
n )
＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(12＋14＋18＋…＋1
2
n )
＝n (n ＋1)2＋12(1－12n
)1－1
2
＝
n (n ＋1)2＋1－1
2
n . [呈重点、现规律]
1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．
2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．
3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．
一、基础过关
1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n ＝________.
答案 (－1)n －12
解析 S n ＝(－1)[1－(－1)n ]1－(－1)
＝(－1)n －1
2.
2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝________. 答案 84
解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3， 得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2.
∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84.
3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5
S 2＝________.
答案 －11
解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，
∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25
)
a 1(1－22)
＝－11.
4．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________.
答案 19
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2
＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝1
9.
5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3
解析 S 6＝4S 3⇒a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)
1－q ⇒q 3＝3.
∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3.
6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________. 答案 2n －1
解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－a 1＝2，
a 3
－a 2
＝22
，…a n
－a n －1
＝2
n －1
.
相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.
7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q . 解 当q ＝1时，S n ＝na 1，∴S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9≠2S 9； 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝2×a 1(1－q 9)1－q ，
得2－q 3－q 6＝2－2q 9，∴2q 9－q 6－q 3＝0， 解得q 3＝－12，或q 3＝1(舍去)，∴q ＝－34
2.
二、能力提升
8．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是________米．(结果保留到个位) 答案 300
解析 小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝⎛⎭⎫128＝29939
64
≈300(米)． 9．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－4
3，则{a n }的前10项和等于________．
答案 3(1－3
－10
)
解析 先根据等比数列的定义判断数列{a n }是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算．
由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－1
3，
故数列{a n }是公比q ＝－1
3
的等比数列．
又a 2＝－4
3
，可得a 1＝4.
所以S 10＝4⎣
⎡⎦⎤1－(－13)101－⎝⎛⎭
⎫－13＝3(1－3－10)．
10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．
答案 13
解析 由已知得4S 2＝S 1＋3S 3，
即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)．∴a 2＝3a 3，
∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝1
3
.
11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n . 解 设S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ； 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ·2n ＋1， ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1
＝(1－n )·2n ＋1－2， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.
12．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ， 由题意知：2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，
∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n . (2)b n ＝n ·2n ，
∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .①
2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1.② ①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝－2－(n －1)·2n ＋1. ∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1. 三、探究与拓展
13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n 2n －1的前n 项和．
解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝1，
d ＝－1
.
故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .
(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，
即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n
2n －
1，①
S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n
2n .② 所以，当n ＞1时，①－②得
S n
2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋1
2n －1)－2－n 2n
＝1－(1－1
2n －
1)－2－n 2n ＝n 2n .
所以S n ＝n
2n －
1.当n ＝1时也成立．
综上，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n
2n －1.。