安徽省六安市第一中学、合肥八中、阜阳一中三校2020届高三10月联考理数参考答案

sin A sin C
a
13
19．（1）证明：四边形 ABCD 是矩形
CD BC
平面 PBC 平面 ABCD ，平面 PBC 平面 ABCD BC , CD 平面 ABCD
CD 平面 PBC CD PB
又 PB PD,CD PD D,CD、PD 平面 PCD
BD d 64
15
8． f (x) 2(sin 2x 3 cos 2x 1 ) 2sin(2x ) ，沿 x 轴向左平移 个单位，
2
2
6
6
得 g(x)

2sin[2(x
)]
2sin(2x )

2cos
3, A (0, )，A
;
…………5 分
3
（2） S 1 bc sin A 3 3 ， b 3, A 得： c 4
2
3
故由余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A 得 a 13
从而由正弦定理： a c 得： sin C c sin A 2 39 . …………12 分

b

0
时，方程
b

x
ln
x
有两解
x1,
x2
且
x1

(0,
1), e
x2

(1 e
,1)
，所以

1 e

b

0
.
解法二：
y

b x

ln
x,
y'


x b x2
3
33
当 b 0 时， y' 0 ，函数在 (0,1) 单调递减，所以在 (0,1) 至多一个零点，不合题意；
当 b 1时， y' 0 ，函数在 (0,1) 单调递增，所以在 (0,1) 至多一个零点，不合题意；
an
a1
∴ 1 3 2(n 1) 2n 1 an
an

1 2n
1
，
n

N
…………5
分
（2）由（1）知，
an

an1

(2n
1 1) (2n

3)

1 2
[
1 2n
1

1 2n
] 3
原式 1 [(1 1) (1 1 ) ( 1 1 )]
23 5 5 7
2,3)
则 cos n, m
nn mm
6 sin n, m 6
30 . 6
二面角B PA E的正弦值为 30 . 6
…………12 分
20．解：（1）当 a 1时，f (g (x)) 2 x2 2x(2 x 3),
令t x2 2x, y 2t ,x 2,3,t 1,8 ,
2(sin x 1 )2 9 m .令 t sin x 由 x (0, ) 得 t (0,1] ，令 h(t) 2(t 1 )2 9 m ，
48
48
t (0,1] ，当 0 m 1时，函数 h(t) 在 (0, ) 上图像与直线 y m 只有 1 个交点 h(1) 0 .又
13．
b

(2,1)
c

( x,2)
,
b
//
c

2
(2)

x

0
x 4 .
14． 2 (| x 1| x2 sin x)dx 2
1 (1 x)dx
2
1
(x
2
1)dx

(x

1 2
x2)
|12
(1 2
x2

x)
|12

5
15． BD 4 BD d
g(x) g(2 x) 0 ，∴ g(x) 关于 (1,0) 对称， h(x) f (x 1) g(x) 恰有 2019 个零点，
∴ x1 x2 x2019 2019 ，选 C
sin2 2sin cos 12 ，故选 A 13
4． DN 2NB DN 2 DB ， DB AB AD 3
DN 2 ( AB AD) ，故选 C 3
5． a1、a2、a5 成等比数列 a22 a1a5 ， (a1 d )2 a1(a1 4d ) ， d (2a1 d ) 0
12．函数 f (x) 1 sin 2x cos x mx .得函数 f '(x) cos 2x sin x m ， 1 2 sin 2 x sin x m 2
2n 1 2n 3
1 [1 1 ] 1 n 9 ， n N ………………10 分 2 3 2n 3 7
18．（1）在 ABC 中，由正弦定理得： 3 sin C cos A sin Asin C 0 sin C 0

3 cos A sin A 0, tan A
又d
0
2a1 d
0，d
2 ， S5

5a1

54 2
d
5 10 2
25 ，故选 D
t sin x 故对任意 t (0,1] ，对应的 x 值有两个不同的，所以当 0 m 1 时， f (x) 在 (0, ) 上
6． p : x R, x2 2x sin 1 0 ， (2sin )2 4 0 ， 1 sin 1 ， p 为真；
63
33
9 ． ∵ PA 平 面 ABCD ， 底 面 ABCD 为 矩 形 ， ∴PC 为 外 接 球 直 径 ， ∴ R 3 ， 2
V 4 R3 4 27 9 . 故选 B
3
3 82
10． f (x) ax 2a 1 ax2 2ax 1 ，记 (x) ax2 2ax 1 ，∵ f (x) 在 (1,3) 上不单调，
24
22
4
所以实数 a 的取值范围是 (, 1 2 2 ] 4
…………12 分
21．解法一：
（1）
y

f
(x) 2x

2 x

b ln x x
在 (0,1) 内有两个不同零点 x1, x2
b x ln x, x (0,1) ，令(x) x ln x, x (0,1) ， ' (x) 1 ln x 得：
当 1 b 0 时， x (0, b), y ' 0, 函数单调递增， x (b,1), y' 0, 函数单调递减，
d

2
4 d 64 60
d
1 8 15
当且仅当 d 16 15 取等号.
1
11
16．由
1 1
x x

0即1
x
1；又
f
(x)

f
(x)

ln 1 1
x x

ln 1 1
x x

ln1
0
（2）设 BC 中点为 O , 连接PO,OE
即： f (x) f (x) f (x) 为奇函数， f (x) f ( 1 y) 0，f (x) f ( 1 y) f (1 y) ，
PO 面ABCD,以O为坐标原点，OC的方向为x轴正方向，OC 为单位长，建立直角坐标系O xyz

x

1 2
y
又
1112xy11 ，由线性规划得知；
x
y
3

(1,1)
.
17．（1）由 1 1 2 知{ 1 }等差数列，公差为 2，首项 1 3
an1 an

(2,
a
,
0), 由题得PE

EA

0
，解得a

2
2
2
2



BA (0, 2 2, 0), PA (1, 2 2,1), EA (2, 2, 0)
设
n

(
x,
y,
z)
是平面
PAB
的法向量，则
n n

PA BA
2019-2020 学年第一学期高三年级 10 月份联考 数学试题参考答案
1~5 BCACD
5~10 DADBC 11~12 CA
13． 4
14． 5
15．16 15
16． (1,1)
选项 C 错.
当
x

[
, 2 ] ， 2x [
, 4
] ，∴ 2cos 2x [2,1].
故选 D
q : x (0, ),sin x x ， q 为假. p (q) 为真，故选 D 2
7．
f
(x)

ex ex

1 1
cos(
x)

1 1
ex ex
cos
x


f
(x) ，
x (0, 2
)，
f
(x)

ex ex

1 1
cos
x

0
，故选
A
有两个极值点.
PB 平面 PCD
…………5 分
由（1）知 PB 平面 PCD ，故 PB PC PO 1 BC 1,设AB a , 2
可得 P(0, 0,1), E(1, a , 0), A(1, a, 0), B(1, 0, 0)
所以
PE

(1,
a
,
2 1),
EA

0 即 x 0 2
2 2y

2y 0

z

0
得n=(1,0,
1)
设 m (x, y, z) 是平面 PAE 的法向量,
则
m m

PA EA

0即x 0 2
2 x
2y z 0 得m =(1, 2y 0
2
2
3．角 的终边上有一点 A(3,2) ，sin 2 2 13 ， cos 3 3 13
13 13
13 13
当 a 0 时不满足；当 a 0 时，(x) 对称轴为 x 1，(1)(3) 0 ，∴ a 1 或 a 1， 3
故选 C 11． f (x) f (x) ，∴ f (x) 是奇函数关于 (0,0) 对称 f (x 1) 关于 (1,0) 对称，
66
2
42
选项 A 错. g( ) 2cos 0 ，∴图像关于 ( ,0) 对称，选项 B 错. g(x) 是偶函数.
4
2
4
tan(
)
tan 1 tan
tan tan
64 d
1 64 d
60
d 60
d

d

4 64 60
x (0, 1), '(x) 0,(x) 单调递减； x (1 ,1), '(x) 0,(x) 单调递增
e
e
(x) 在 x 1 取得极小值 1 ， ln x x 1 （易证）
e
e
x1nx x(x 1) x 0时 x1nx 0.
所以当

1 e
而 h(x) 最小值为 2 ，所以这种情况不可能. 2
当 a 0 时，则 b 0, g(x)在(,b)上单调递减且没有最小值， f (x) 在[b, ) 上单调递增，最小值为 2b ，
所以 h(x) 最小值为 2b 2 ，解得 b 1 （满足题意），
2
2
所以 g(b) g( 1) 1 a f ( 1) 2 , 解得 a 1 2 2
2
22
而 y 2t 是增函数， 1 y 256,函数的值域是[1 ，256] . …………6 分
2
2
（2）当 a 0 时，则 b 0, g(x)在(, a)上单调递减，在(a,b) 上单调递增,
所以 g(x) 的最小值为 g(a) a2 0 ， f (x) 在[b, ) 上单调递增，最小值为 2b 20 1，
x
x
1．
2 1
i

(1
i)2

（2 1 i) 1 i2

(1
2i

i2
)

1
i
1
2i
1

1
3i
， 共轭复数为1
3i
，故选
B
2． 1 x 0 (x 1)x 0或x 1 A {x | 0 x 1} x
y lg(2x 1) 2x 1 0 B {x | x 1} ， A B （1 ，1] ，故选 C
PB PC, PO BC, 又面PBC 面ABCD, 且面PBC 面ABCD=BC ，
2
2
2


又当
1
x
1,
f
'(x)

1 1 x

1 1
x

(x
2 1)( x
1)

0
,
f
( x)在x
(1,1) 单调递减，

PO 面ABCD,以O为坐标原点，OC的方向为x 轴正方向，OC 为单位长，建立直角坐标系O xyz