人教版七年级初一数学下学期第六章 实数单元测试综合卷学能测试试卷

人教版七年级初一数学下学期第六章 实数单元测试综合卷学能测试试卷
一、选择题
1．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p×q （p ，q 都是正整数，且p≤q ），如果p×q 在n 的所有分解中两个因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的黄金分解，并规定：F(n)=p q ，例如：18可以分解为1×18；2×9；3×6这三种，这时F(18)=3162
=，现给出下列关于F(n)的说法：①F(2) =12
；② F(24)=38；③F(27)=3；④若n 是一个完全平方数，则F(n)=1，其中说法正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个 2．设[x]表示最接近x 的整数（x≠n+0.5，n 为整数），则
（ ）
A ．132
B ．146
C ．161
D ．666 3．表面积为12dm 2的正方体的棱长为（ ）
A dm
B ．dm
C ．1dm
D ．2dm 4．下列说法错误的是（ ）
A ．a 2与（﹣a ）2相等
B 互为相反数
C D ．|a|与|﹣a|互为相反数
5．下列各数-(-3),0,2
21(-)--2--42π，
，，中,负数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，……，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22019的末位数字是（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．6 7．下列各数中，比-2小的数是（ ）
A ．-1
B ．
C ．0
D ．1
8． ） A ．2和3之间 B ．3和4之间 C ．4和5之间
D ．5和6之间 9．下列各式中,正确的是( )
A 34
B 34;
C 38
D 34 10．下列各数中，介于6和7之间的数是( )
A B C D 二、填空题
11．一个数的平方为16，这个数是 ．
12．a 的整数部分，b 的立方根为-2，则a+b 的值为________．
13．m 的平方根是n +1和n ﹣5；那么m +n ＝_____．
14．高斯函数[]x ，也称为取整函数，即[]x 表示不超过x 的最大整数.
例如：[]2.32=，[]
1.52-=-.
则下列结论： ①[][]
2.112-+=-；
②[][]0x x +-=；
③若[]13x +=，则x 的取值范围是23x ≤<；
④当11x -≤<时，[][]11x x ++-+的值为0、1、2. 其中正确的结论有_____（写出所有正确结论的序号）.
15．若23(2)0y x -+-=，则y x -的平方根_________．
16．一个数的立方等于它本身，这个数是__．
17．定义新运算a ☆b ＝3a ﹣2b ，则（﹣2）☆1＝_____．
18．已知实数x 的两个平方根分别为2a +1和3-4a ，实数y 的立方根为-a ，则2x y +的值为______．
19．若x ＜0，则323x x +等于____________．
20．如图，直径为1个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点'O ，则点'O 对应的数是_______．
三、解答题
21．下列等式：
111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434
=-⨯，将以上三个等式两边分别相加得： 1111111113111223342233444
++=-+-+-=-=⨯⨯⨯． （1）观察发现：1n(1)n =+__________1111122334n(1)
n ++++=⨯⨯⨯+ ． （2）初步应用：利用（1）的结论，解决以下问题“①把
112拆成两个分子为1的正的真分数之差，即112= ；②把112拆成两个分子为1的正的真分数之和，即112
= ；
（ 3 ）定义“⊗”是一种新的运算，若1
112126⊗=+，11113261220
⊗=++，111114*********
⊗=+++，求193⊗的值．
22．对于实数a ，我们规定：用符号为a 的根整
数，例如：3=，=3．
(1)仿照以上方法计算：=______；=_____．
(2)若1=，写出满足题意的x 的整数值______．
如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次
3=→=1，这时候结果为1． (3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．
23．观察下列等式：111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434
=-⨯ ， 将以上三个等式两边分别相加得：
11111111112233422334++=-+-+-⨯⨯⨯=13144-= （1）猜想并写出：1n(n 1)
+ = ． （2）直接写出下列各式的计算结果： ①
1111 (12233420152016)
++++⨯⨯⨯⨯= ； ②1111...122334(1)n n ++++⨯⨯⨯⨯+= ； （3）探究并计算：
1111 (24466820142016)
++++⨯⨯⨯⨯． 24．定义☆运算：
观察下列运算：
☆两数进行☆运算时，同号 ，异号 ．
特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算, ．
（2）计算：（﹣11）☆ [0☆（﹣12）]＝ ．
（3）若2×（﹣2☆a ）﹣1＝8，求a 的值．
25．观察下列各式，回答问题
21131222-
=⨯， 21241333-
=⨯ 21351444
-=⨯ …．
按上述规律填空：
（1）211100-＝ × ，2
112005-＝ × ， （2）计算：21(1)2-⨯21(1)...3-⨯21(1)2004-⨯2
1(1)2005-＝ ． 26．已知A 、B 在数轴上对应的数分别用a 、b 表示，且2110|2|02ab a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭
，点P 是数轴上的一个动点．
（1）求出A 、B 之间的距离；
（2）若P 到点A 和点B 的距离相等，求出此时点P 所对应的数；
（3）数轴上一点C 距A 点c 满足||ac ac =-．当P 点满足2PB PC =时，求P 点对应的数．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
将2，24，27，n 分解为两个正整数的积的形式，再找到相差最少的两个数，让较小的数除以较大的数进行排除即可．
【详解】
解：∵2=1×2，
∴F （2）=12
，故①正确； ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，且4和6的差绝对值最小 ∴F （24）=
42=63，故②是错误的； ∵27=1×27=3×9，且3和9的绝对值差最小
∴F（27）=31
=
93
，故③错误；
∵n是一个完全平方数，
∴n能分解成两个相等的数的积，则F（n）=1，故④是正确的.
正确的共有2个．
故答案为B．
【点睛】
本题考查有理数的混合运算与信息获取能力，解决本题的关键是弄清题意、理解黄金分解的定义．
2．B
解析：B
【解析】
分析：先计算出1.52，2.52，3.52，4.52，5.52，即可得出中有2个1，4个2，6个3，8个4，10个5，6个6，从而可得出答案．
详解：1.52=2.25，可得出有2个1；
2.52=6.25，可得出有4个2；
3.52=12.25，可得出有6个3；
4.52=20.25，可得出有8个4；
5.52=30.25，可得出有10个5；
则剩余6个数全为6.
故=1×2+2×4+3×6+4×8+5×10+6×6=146.
故选：B.
点睛本题考查了估算无理数的大小.
3．A
解析：A
【分析】
根据正方体的表面积公式：S＝6a2，解答即可．
【详解】
解：根据正方体的表面积公式：S＝6a2，
可得：6a2＝12，
解得：a．
dm．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用，解题的关键是根据公式进行计算．
4．D
解析：D
【分析】
利用平方运算，立方根的化简和绝对值的意义，逐项判断得结论．
【详解】
∵（﹣a ）2＝a 2，
∴选项A 说法正确；
a ＝a ，
互为相反数，故选项B 说法正确；
互为相反数，故选项C 说法正确；
∵|a|＝|﹣a|，
∴选项D 说法错误．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了绝对值的意义，平方运算及立方根的化简．掌握立方根的化简和绝对值的意义是解决本题的关键．
5．C
解析：C
【分析】
根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值的性质分别化简，再根据正负数的定义进行判断即可得解
【详解】
解：-(-3)=3；211()24-=
；224-=-；44--=-； 所以2-2-4π--，
，是负数，共3个。

故选：以C.
【点睛】
本题考查了正数和负数，主要利用了相反数的定义，绝对值的性质以及有理数的乘方，是基础题，熟记概念并准确化简是解题的关键．
6．C
解析：C
【分析】
观察已知等式，发现末位数字以2，4，8，6进行循环，每4个数一个循环的和位数为0，只要把原式的数的个数除以4得出余数即可求解.
【详解】
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，……
∴末位数字以2，4，8，6循环
∵2019÷4=504…3，
∴21+22+23+24+…+22019的末位数字与（2+4+8+6）×504+2+4+8的末位数字相同为4
故选：C.
【点睛】
本题考查了尾数特征，弄清题中的数字循环规律是解本题的关键.
7．B
解析：B
【分析】
根据正数大于零，零大于一切负数，两个负数比大小，绝对值越大负数反而小，可得答案
【详解】
解：1＞0＞-1，|＞|-2|＞-1 ，
∴-2＜-1，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了实数大小比较，利用负数的绝对值越大负数反而小是解题关键．
8．D
解析：D
【分析】
用平方法进行比较，看27在哪两个整数平方之间即可.
【详解】
∵252527=＜，263627=＞
∴5＜6
故选：D
【点睛】
本题考查比较二次根式的大小，常见方法有2种：
（1）将数字平方，转化为不含二次根号的数字比较；
（2）将数字都转化到二次根式中，然后进行比较.
9．A
解析：A
【解析】
=±34 ，所以可知A 选项正确；故选A. 10．A
解析：A
【分析】
求出每个根式的范围，再判断即可．
【详解】
解：A 、67，故本选项正确；
B 、78，故本选项错误；
C 、7＜58＜8，故本选项错误；
D 、3＜339＜4，故本选项错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出每个根式的范围．
二、填空题
11．【详解】
解：这个数是
解析：
【详解】
解：2(4)16,±=∴这个数是4±
12．-5
【解析】
∵32<10<42,
∴的整数部分a=3,
∵b 的立方根为-2,
∴b=-8,
∴a+b=-8+3=-5.
故答案是：-5.
解析：-5
【解析】
∵32<10<42,
10a=3,
∵b 的立方根为-2,
∴b=-8,
∴a+b=-8+3=-5.
故答案是：-5.
13．11
【分析】
直接利用平方根的定义得出n 的值，进而求出m 的值，即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，
n+1+n ﹣5＝0，
解得n ＝2，
∴m ＝（2+1）2＝9，
∴m+n＝9+2＝11．
故答
解析：11
【分析】
直接利用平方根的定义得出n的值，进而求出m的值，即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，
n+1+n﹣5＝0，
解得n＝2，
∴m＝（2+1）2＝9，
∴m+n＝9+2＝11．
故答案为11．
【点睛】
此题主要考查了平方根，正确利用平方根的定义得出n的值是解题关键．
14．①③.
【分析】
根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】
由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；
②中，当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，[x]
解析：①③.
【分析】
根据[x]表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】
由题意可知[-2.1]=-3,[1]=1,-3+1=-2，故①正确；
②中，当x取小数时，显然不成立，例如x取2.6，[x]+[-x]=2-3=-1,故②错误；
③中，若[x+1]=3,则x+1要满足x+1≥3,且x+1<4,解得x≥2,且x<3,故③正确；
④中，当-1≤x<1时，在取值范围内验证此式的值为1,2.故④错误；
所以正确的结论是①③.
15．【分析】
根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可. 【详解】
解：，且，
∴y-3=0，x-2=0，
．
．
的平方根是．
故答案为：.
【点睛】
此题考查算术平
解析：±1
【分析】
根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.
【详解】
解：23(2)0y x -+-=20,(2)0x -≥，
∴y-3=0，x-2=0，
3,2y x ∴==．
1y x ∴-=．
y x ∴-的平方根是±1．
故答案为：±1.
【点睛】
此题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x 与y 的值是解题的关键.
16．0或±1．
【分析】
根据立方的定义计算即可．
【详解】
解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，
∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．
故答案为：0或±1．
【点睛】
本题考查了乘方的
解析：0或±1．
【分析】
根据立方的定义计算即可．
【详解】
解：∵（﹣1）3＝﹣1，13＝1，03＝0，
∴一个数的立方等于它本身，这个数是0或±1．
故答案为：0或±1．
【点睛】
本题考查了乘方的定义，熟练掌握立方的定义是解题关键，注意本题要分类讨论，不要漏数．
17．﹣8
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8， 故答案为−8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，
解析：﹣8
【分析】
原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
【详解】
解：根据题中的新定义得：（﹣2）☆1＝3×（−2）−2×1＝−6−2＝−8，
故答案为−8.
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
18．3
【分析】
利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值，即可确定的值．
【详解】
解：根据题意的2a+1+3-4a=0，
解得a=2，
∴，
，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了平方根和立方根，熟
解析：3
【分析】
利用平方根、立方根的定义求出x 与y 的值．
【详解】
解：根据题意的2a+1+3-4a=0，
解得a=2，
∴25,8x y ==-，
∴=
，
故答案为：3．
【点睛】 本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关的定义是解题的关键．
19．0
分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．
【详解】
解：∵x＜0，
∴，
故答案为：0．
【点睛】
本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是
解析：0
【分析】
分别利用平方根和立方根直接计算即可得到答案．
【详解】
解：∵x ＜0，
0x x =-+=，
故答案为：0．
【点睛】
本题只要考查了平方根和立方很的性质；平方根的被开方数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开方的数的符号相同；解题的关键是正确判断符号．
20．【分析】
点对应的数为该半圆的周长．
【详解】
解：半圆周长为直径半圆弧周长
即
故答案为：．
【点睛】
本题考查数轴上的点与实数的关系．明确的长即为半圆周长是解答的关键． 解析：12π
+
【分析】
点O '对应的数为该半圆的周长．
【详解】
解：半圆周长为直径+半圆弧周长 即12π
+ 故答案为：12π
+．
本题考查数轴上的点与实数的关系．明确OO '的长即为半圆周长是解答的关键．
三、解答题
21．（1）
111n n -+；1n n +；（2）①1341-；②112424+；（ 3 ）14
． 【分析】
（1）利用材料中的“拆项法”解答即可； （2）①先变形为
111234=⨯，再利用（1）中的规律解题；②先变形为121224
=，再逆用分数的加法法则即可分解； （3）按照定义“⊗”法则表示出
193
⊗，再利用（1）中的规律解题即可． 【详解】 解：（1）观察发现：()11n n =+111
n n -+， 1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+ ＝11111111223341n n -
+-+-+⋯+-+ ＝111n -
+ ＝1
n n +； 故答案是：
111n n -+；1n n +. （2）初步应用： ①111234=⨯=1134-； ②121112242424
==+； 故答案是：1134-；112424+. （ 3 ）由定义可知：
193⊗＝11111111112203042567290110132
++++++++ =455111111611311412
-+-+-+⋯+-
=1
32
1
1 -
=1 4 .
故1
9
3
⊗的值为
1
4
．
【点睛】
考查了有理数运算中的规律型问题：数字的变化规律，有理数的混合运算．本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
22．（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255
【分析】
（1
（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；
（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；
（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,
∴5
＜6，
∴
]=[2]=2，]=5，
故答案为2，5；
（2）∵1
2=1，22=4，且]＝1，
∴x=1，2，3，
故答案为1，2，3；
（3
）第一次：，
第二次：，
第三次：，
故答案为3；
（4）最大的正整数是255，
理由是：∵，，]=1，
∴对255只需进行3次操作后变为1，
∵
，，]=2，]=1，
∴对256只需进行4次操作后变为1，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，
故答案为255．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．
23．（1）
111n n -+；（2）①20152016；②1n n +；（3）10074032. 【分析】
（1）观察所给的算式可得：分子为1，分母为两个相邻整数的分数可化为这两个整数的倒数之差，由此即可解答；（2）根据所得的规律把各分数进行转化，再进行分数的加减运算即可解答；（3）先提取
14，类比（2）的运算方法解答即可． 【详解】
（1）()11n n + =111
n n -+； （2）①
1111...12233420152016++++⨯⨯⨯⨯=11111122334-+-+-+…+1120152016-=112016-=20152016
； ②()1111...1223341n n ++++⨯⨯⨯⨯+=11111122334-+-+-+…+111n n -+=111n -+=1
n n +； （3）1111 (24466820142016)
++++⨯⨯⨯⨯ =14（1111 (12233410071008)
++++⨯⨯⨯⨯）， =
14（11111122334-+-+-+…+1110071008
-）， =14（111008
-）， =14×10071008 =10074032
. 【点睛】
本题考查了有理数的运算，根据题意找出规律是解决问题的关键.
24．（1）得正，再把绝对值相加；得负，再把绝对值相加；等于这个数的绝对值；（2）-23；（3）a=-
52
【分析】
（1）通过观察表中各算式，然后从两数的符号关系或是否有0出发归纳出☆运算的法则；
（2）根据（1）归纳的☆运算的法则进行计算，注意先算括号内的，再与括号外的计算； （3）根据（1）归纳出的运算法则对a 的取值进行分类讨论即可得到答案．
【详解】
(1)由表中各算式，可以得到：同号得正，再把绝对值相加； 异号得负，再把绝对值相加；特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算,结果等于这个数的绝对值； （2）由（1）归纳的☆运算的法则可得：
原式=（﹣11）☆|-12|=（﹣11）☆12= -（|（﹣11）|+|12|）= -23；
（3）①当a=0时，左边=()22012213⨯--=⨯-=☆，右边=8，两边不相等，∴a≠0； ②当a>0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×[-（2+a ）]﹣1＝8,可解得132
a =-（舍去）， ③当a<0时，2×（﹣2☆a）﹣1＝2×（|﹣2|+|a|）﹣1＝8，可解得a=52-
， 综上所述：a=-
52． 【点睛】
本题考查新定义的实数运算，通过观察实例归纳出运算规律是解题关键．
25．（1）
99101100100⨯，2004200620052005⨯；（2）10032005
. 【分析】 (1)观察已知等式可知等式右边为两个分数的积,其分母相等且与等式左边分母的底数相等，分子一个比分母小1,一个比分母大1,由此填空
(2)根据(1)发现的规律将每个括号部分分解为两个分数的积再寻找约分规律.
【详解】
解：（1）211100-＝99101100100⨯，2112005-＝2004200620052005⨯． （2）2112⎛⎫-
⨯ ⎪⎝⎭ 211...3⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 2112004⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 2112005⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝
1322⨯ ×2433⨯ ×…×2003200520042004⨯×2004200620052005⨯ ＝
12×20062005． ＝10032005
．． 【点睛】
本题考查的是有理数的运算能力,关键是根据已知等式由特殊到一般得出分数的拆分规律和约分规律.
26．（1）12；（2）-4；（3）2--或14-【分析】
（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a 、b 的值，根据两点间的距离，可得答案；
（2）根据A 和B 所对应的数，可得AB 中点所表示的数，即为点P 所表示的数； （3）根据题意可以得到c 的值，然后利用分类讨论的方法即可求得点P 对应的数.
【详解】
解：（1）∵2110|2|02ab a ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭
， ∴
11002
ab +=，20a -=， 解得：a=2，b=-10， ∴A 、B 之间的距离为：2-（-10）=12；
（2）∵P 到A 和B 的距离相等，
∴此时点P 所对应的数为：()
21042+-=-；
（3）∵|ac|=-ac ，a=2＞0，
∴c ＜0，又|AC|=
∴c=2-BC=12-
∵2PB PC =，
①P 在BC 之间时，点P 表示(2101223-+⨯-=--
②P 在C 点右边时，点P 表示(1021214-+⨯-=-
∴点P 表示的数为：2--或14-
【点睛】
本题主要考查数轴上的点与绝对值的关系和平方与绝对值的非负性，另外此题有一个易错点，第（3）题中，要注意距离与数轴上的点的区别．。