江苏省苏北四市2020届高三上学期第一次质量检测(期末)数学试题 Word版含解析

徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测
数学Ⅰ
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
． 1.已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =U _____. 答案：{12}x x -<<
解：由题意直接求解即可得A B =U {12}x x -<<
2.已知复数z 满足24z =-，且z 的虚部小于0，则z =_____. 答案：2i -
解: 24z =-,则2z i =±，又因为z 的虚部小于0，则2z i =- 3.若一组数据7,,6,8,8x 的平均数为7，则该组数据的方差是_____. 答案：45
解：7++6+8+875
x = 解得6x =，
222222
(77)(67)(67)(87)(87)455
S -+-+-+-+-==
4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_____. 答案：20
5.函数2()log 2f x x =-的定义域为_____. 答案：[4,+)∞ 解：由题意得：2
log 2x x >⎧⎨
≥⎩，解得4x ≥，所以函数的定义域为[4,+)∞
6.某学校高三年级有,A B 两个自习教室，甲、乙、丙3名学生各自随机选择其中一个教室自习，则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______. 答案：12
解：2
2
222222212
..A P A A A ==
7.若关于x 的不等式230x mx -+<的解集是(1,3)，则实数m 的值为______.
答案：4
解：由题意得：22130
3330m m ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩
，解得4m =
8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2
213x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线
22y px =上，则实数p 的值为______.
答案：14
解：由题意得：双曲线右准线与渐近线的交点为3
3
(,)2±
，
代入22y px =得：14p = 9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，298a a +=，55S =-，则15S 的值为_____. 答案：135
解：298a a +=，55S =-，则388a a +=，355a =-，解得：31a =-，89a = 因为158********S a ==⨯=
10.已知函数3sin 2y x =的图象与函数cos2y x =的图象相邻的三个交点分别是
,,A B C ，则ABC ∆的面积为_____.
答案：
3
π 11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:48120M x y x y +--+=，圆N 与圆M 外切与点(0,)m ，且过点(0,2)-，则圆N 的标准方程为______. 答案：22(2)8x y ++=
12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称，当(0,1]
x ∈
时，()ax f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若(2020ln 2)8f -=，则实数a 的值为_____. 答案：3
解：由题意得：4T = ，ln 2(2020ln 2)(ln 2)(ln 2)28a a f f f e -=-=-===，解得：3a =
13.如图，在ABC ∆中，,D E 是BC 上的两个三等分点，2AB AD AC AE ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，则
cos ADE ∠的最小值为____.
答案：47
解：323(2)2(2)AB AD AC AE AB AB AC AC AB AC ⋅=⋅⇒⋅+=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
22222424c AB AC b AB AC c b =⋅+⇒⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r
2
2
2222
()(2)2cos |||2|
442AB AC AB AC c b AB AC ADE AB AC AB AC c b AB AC b c AB AC
-⋅+--⋅∠==-⋅+++⋅⋅+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u
r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2
222247
(45)(3)b c b c b =
≥--+
14.设函数3()||f x x ax b =--，[1,1]x ∈-，其中,a b R ∈.若()f x M ≤恒成立，则当M 取得最小值时，a b +的值为______. 答案：34
方法一：(1)|1|111()||282111()||282M f a b M f a b M f a b ⎧
⎪≥=--⎪
⎪
≥=--⎨⎪
⎪≥-=-+-⎪⎩
所以111111362(1)()3()2|1|||3||2282822
M f f f a b a b a b ≥+-+≥--+-+-+--≥ 当且仅当0b =，34
a =时，上述等号成立，所以M 取最小值时，34
a b +=.
方法二：由对称性可知，M 最小时，0b =，且3min ()1x ax a -=-(,(0,1))a x ∈ 所以3+1(1)x a x ≥+，即2min 3
(1)4a x x =-+=，则34
a b +=
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. （本小题满分14分）
如图，在三棱锥P ABC -中，AP AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .
（1）求证：BC ∥平面AMN ； （2）求证：平面AMN ⊥平面PBC .
解：（1）在PBC △中，因为M ，N 分别为棱PB ，PC 的中点，
所以MN // BC ． ………………………………3分 又MN ⊂平面AMN ，BC ⊄平面AMN ，
所以BC //平面AMN ．…………………………6分 （2）在PAB △中，因为AP AB =，M 为棱PB 的中点，
所以AM PB ⊥．………………………………8分
又因为平面P AB ⊥平面PBC ，平面P AB I 平面PBC PB =，AM ⊂平面P AB ， 所以AM ⊥平面PBC ．…………………………………………………………12分 又AM ⊂平面AMN ，所以平面AMN ⊥平面PBC ． …………………………14分
16. （本小题满分14分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且cos A =. （1）若5a =
，c =b 的值； （2）若4
B π
=
，求tan2C 的值.
解：（1）在ABC △中，由余弦定理2222cos b c bc A a +-=得，
220225b +-⨯=，即2450b b --=， …………………………4分 解得5b =或1b =-（舍），所以5b =． ………………………………………6分 （2
）由cos A =
及0A <<π
得，sin A ===，…8分
所以cos cos(())cos()sin )42C A B A A A π=π-+=-+=--=
又因为0C <<π
，所以sin C ===
，
从而sin tan 3cos C C C ===，………………………………………………12分
所以222tan 233
tan 21tan 134
C C C ⨯===-
--．………………………………………14分
17. （本小题满分14分）
如图，在圆锥SO 中，底面半径R 为3，母线长l 为5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面圆的圆心为1O ，半径为r ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥1OO ，记圆锥1OO 的体积为V . （1）将V 表示成r 的函数； （2）求V 得最大值.
解：
（1）在SAO △中，2222534SO SA AO =-=-=， …………………………2分 由1SNO △∽SAO △可知，
1SO r SO R =，所以14
3
SO r =，……………………4分 所以1443OO r =-，所以223144
()π(4)π(3),03339
V r r r r r r =-=-<<．…7分
（2）由（1）得234
()π(3),039V r r r r =-<<，
所以24
()π(63)9
V r r r '=-，令()0V r '=，得2r =，………………………9分
当(0,2)r ∈时，()0V r '>，所以()V r 在(0,2)上单调递增； 当(2,3)r ∈时，()0V r '<，所以()V r 在(2,3)上单调递减．
所以当2r =时，()V r 取得最大值16π
(2)9
V =．
答：小圆锥的体积V 的最大值为16π
9
．………………………………………14分
18. （本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22 2
2
:1
x y
C
a b
+=(0)
a b
>>的右顶点为A,过点A 作直线l与圆222
:
O x y b
+=相切，与椭圆C交于另一点P，与右准线交于点Q.设直线l的斜率为k.
（1）用k表示椭圆C的离心率；
（2）若0
OP OQ
⋅=
u u u r u u u r
,求椭圆C的离心率.
（1）直线l的方程为)
(a
x
k
y-
=，即0
=
-
-ak
y
kx，
因为直线l与圆2
2
2b
y
x
O=
+
：相切，所以b
k
ak
=
+
-
1
2
，故
2
2
2
2
b
a
b
k
-
=．所以椭圆C的离心率
2
22
1
1
1
b
e
a k
=-=
+
4分（2）设椭圆C的焦距为2c，则右准线方程为2a
x
c
=，
由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
-
=
c
a
x
a
x
k
y
2
)
(
得
c
ac
a
k
a
c
a
k
y
-
=
-
=
2
2
)
(，所以)
)
(
,
(
2
2
c
ac
a
k
c
a
Q
-
，…6分
由
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
-
=
=
+
)
(
1
2
2
2
2
a
x
k
y
b
y
a
x
得0
2
)
(2
2
2
4
2
3
2
2
2
2=
-
+
-
+b
a
k
a
x
k
a
x
k
a
b，
解得
2
2
2
2
2
3
k
a
b
ab
k
a
x p
+
-
=，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
32
)
(
k
a
b
k
ab
a
k
a
b
ab
k
a
k
y p
+
-
=
-
+
-
=，
所以)
2-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
k
a
b
k
ab
k
a
b
ab
k
a
P
+
+
-
，
（，……………………………………………10分因为0
=
⋅，所以0
2
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
=
+
-
⋅
-
+
+
-
⋅
k
a
b
k
ab
c
ac
a
k
k
a
b
ab
k
a
c
a
，
即)
(
2
)
(2
2
2
2
2c
a
k
b
b
k
a
a-
=
-，………………………………………………12分
由（1）知，
2
2
2
2
b
a
b
k
-
=，所以
2
2
4
2
2
2
2
2)
(
2
)
(
b
a
c
a
b
b
b
a
b
a
a
-
-
=
-
-
，
所以c
a
a2
2-
=，即c
a2
=，所以
2
1
=
a
c
，故椭圆C的离心率为
2
1
．……16分
19. （本小题满分16分） 已知函数1()()ln f x a x x
=-()a R ∈.
（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，求a 的值； （2）若()f x 的导函数'()f x 存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当2a =时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式()f x λ≥恒成立？若存在， 求出λ的最大值；若不存在，说明理由.
解：（1）()
2111()ln f x x a x x x
'=+-，
因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=，
所以(1)11f a '=-=-，得0a =．……………………………………………2分
（2）因为21ln ()ax x f x x
-+'=存在两个不相等的零点． 所以()1ln g x ax x =-+存在两个不相等的零点，则1()g x a x
'=+．
①当0a ≥时，()0g x '>，所以()g x 单调递增，至多有一个零点．……4分
②当0a <时，因为当1(0)x a
∈-，时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1(+)x a
∈-∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以1x a =-时，max 11()()ln()2g x g a a
=-=--． …………………………6分
因为()g x 存在两个零点，所以1ln()20a
-->，解得2e 0a --<<．………7分
因为2e 0a --<<，所以21e 1a
->>．
因为(1)10g a =-<，所以()g x 在1(0)a
-，上存在一个零点． …………8分 因为2e 0a --<<，所以211()a a
->-．
因为22111[()]ln()1g a a a
-=-+-，设1t a =-，则22ln 1(e )y t t t =-->，
因为20t y t
-'=<，所以22ln 1(e )y t t t =-->单调递减，
所以()
2222ln e e 13e 0y <--=-<，所以22111[()]ln()10g a a a
-=-+-<，
所以()g x 在1()a
-+∞，上存在一个零点． 综上可知，实数a 的取值范围为2(e ,0)--．…………………………………10分
（3）当2a =时，1()(2)ln f x x x =-，()
22
11121ln ()ln 2x x f x x x x x x
-+'=+-=， 设()21ln g x x x =-+，则1()20g x x
'=+>．所以()g x 单调递增，
且11()ln 022g =<，(1)10g =>，所以存在01(1)2
x ∈，
使得0()0g x =，……12分 因为当0(0)x x ∈，
时，()0g x <，即()0f x '<，所以()f x 单调递减； 当0(+)x x ∈∞，
时，()0g x >，即()0f x '>，所以()f x 单调递增，
所以0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，
此时()0000000
111()(2)ln (2)12(4)4f x x x x x x x =-=--=-++，……………14分
因为01(1)2
x ∈，，所以0()(10)f x ∈-，， 因为()f x λ≥，且λ为整数，所以1λ-≤，即λ的最大值为1-．………16分
20. （本小题满分16分）
已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n N ∈,都有11n n a ka +=-(0)k ≠，数列{1}n a -是公比不为1的等比数列. （1）求实数k 的值； （2）设4,1,n n
n n b a n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数
为偶数，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使
得
221
m
m S S -恰好为数列{}n b 中的项. 解：（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--，
因为{1}n a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，
即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或4
3
k =，…2分 当43k =
时，14
3(3)3
n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；
当2k =时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n a -的公比11
21n n a q a +-==-，
所以实数k 的值为2． …………………………………………………………4分
（2）由（1）知12n n a -=，所以4n n n n b n - , ⎧⎪
=⎨2, ⎪⎩
为奇数,为偶数,
则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+L
2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++L L
144
(4)3
m m m +-=-+，……………………………………………………6分
则212244
(4)3m m m m S S b m m --=-=-+，
因为22+1324m
m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->，
且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，
设2210,m t m S
b t S -=>∈*N ，…………………………………………………………8分 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，
①当2121
=m m S b S -时，144(4)3344
(4)3
m m
m m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤， 即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3，
验证
624135787
,3,323S S S S S S ===
得，当2m =时，413
S b S =成立．…………………12分 ②当t 为偶数时，
1
22
21
4
4
(4)331443124(4)134m m
m
m m
m m S S m m m m +---+==+--+--++， 设231244m m m m c -+-=，则211
94221
4m m m m m c c ++-+-=，
由①知3m >，当4m =时，5453
04
c c --=<；
当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<L ，所以m c 的最小值为519
1024
c -=， 所以2213
0151911024m m S S -<
<+<-+，令22214m m S b S -==，则2
314312414m
m m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解．
综上，正整数m 的值2．………………………………………………………16分
徐州市2019-2020学年度高三年级第一次质量检测
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包含A 、B 、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内
作答.若多做，则按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—2：矩阵与变换] （本小题满分10分）
已知矩阵2M t ⎡=⎢⎣ 31⎤
⎥⎦
的一个特征值为4，求矩阵M 的逆矩阵1M -.
解：矩阵M 的特征多项式为2
3
()(2)(1)31
f t t λλλλλ--=
=-----．…………2分 因为矩阵M 的一个特征值为4，所以(4)630f t =-=，所以2t =．…………5分
所以2321⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦M ，所以11313213221324422112132213222--⎡
⎤⎡⎤
-⎢
⎥⎢⎥⨯-⨯⨯-⨯==⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢
⎥⨯-⨯⨯-⨯⎣⎦
⎣⎦M ．……10分
B ．[选修4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )12ρθθ+=，曲线C
的参数方程为2sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（θ为参数，R θ∈）.在曲线C 上点M ,使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.
解：由:cos sin 120l ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=，
所以l 的直角坐标方程为120x y +-=． ………………………………………2分
在曲线C
上取点()
2sin M ϕϕ，，则点M 到l 的距离
124sin 3d ϕπ
-+==，…………6分 当6
ϕ
π=时，d 取最小值8分
此时点M 的坐标为()3,1．………………………………………………………10分 C ．[选修4—5：不等式选讲] （本小题满分10分）
已知正数,,x y z 满足1x y z ++=，求
111
+
222x y y z z x
++++的最小值. 解：因为x y z ，，都为正数，且1x y z ++=，
所以由柯西不等式得，1113()222x y y z z x
+++++
111()[(2)(2)(2)]222x y y z z x x y y z z x
=++⋅+++++++
+………………5分
29=≥， 当且仅当13
x y z ===时等号成立，
所以111222x y y z z x
+++++的最小值为3．…………………………………10分
第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文
（第
22题）
B
A
C
x
y
z
B 1 A 1
C 1 字说明、证明过程或演算步骤．
22.（本小题满分10分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，
1160BB C ∠=o ，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .
（1）求直线1AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值； （2）求二面角1B AC C --的余弦值.
解：（1）因为四边形11AA B B 为正方形，所以1AB BB ⊥，
因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B I 平面111BB C C BB =，
AB ⊂平面11AA B B ，所以AB ⊥平面11BB C C . ……………………………2分
以点B 为坐标原点，分别以BA ,1BB 所在的直线
为x ,y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.
不妨设正方形11AA B B 的边长为2，
则()2 0 0A ，
，，()10 2 0B ，，． 在菱形11BB C C 中，因为1160BB C ∠=︒，
所以1(0 1 3)C ，
，，所以1( 2 1 3)AC =-u u u u r
，，． 因为平面11AA B B 的法向量为()0 0 1=，
，n ， 设直线1AC 与平面11AA B B 所成角为α，
则1|3|
6sin |cos ,|221AC α=<>==⨯u u u u r n ，
即直线1AC 与平面11AA B B 6
．………………………6分
（2）由（1）可知，(0 1 3C -，，，所以()10 2 0CC =u u u u r
，
，． 设平面1ACC 的一个法向量为()1111 x y z =，
，n ， 因为11110,
0,AC CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r
u u u u r
n n 即()(()()111111 2 1 30 0 2 00x y z x y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，
，，，， 取13x =，10y =，11z =，即13 0 1⎫=⎪⎭
，，n ． 设平面1ABC 的一个法向量为()2222 x y z =，
，n ， 因为()2 0 0BA =u u u r ，，，(10 1 3BC =u u u u r
，，，
所以()()(
)(2222
22 2 0 00 0 1 0x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩，
，，，，，，
，取()20 1=-，n ．…………8分 设二面角1B AC C --的平面角为θ，
则121212 cos cos θ⋅=-<>=-==⋅，
n n n n n n
所以二面角1B AC C --
．…………………………………10分
23.（本小题满分10分）
已知n 为给定的正整数，设20122
()3
n n n x a a x a x a x +=++++L ，x R ∈. （1）若4n =，求0a ，1a 的值；
（2）若1
3x =，求0
()n
k k k n k a x =-∑的值.
解：（1）因为4n =，所以0404216C ()=381a =，13
14
232C ()=327
a =．……………………2分 （2）当13x =时，21C ()()33
k k n k k
k n a x -=，
又因为1
1!(1)!C C !()!(1)!()!
k k n n n n k k n n k n k k n k ---===---，………………………4分
当1n =时，01
10
22()C ()33n
k k k n k a x =-==∑； …………………………………5分 当2n ≥时，00
21()()C ()()33n n
k
k n k k k n k k n k a x n k -==-=-∑∑ 012121C ()()C ()()3333n n
k n k k k n k k n n k k n k --===-∑∑111
2121()C ()
()3333n n k n k k
n k n n ---==+-∑ 1111121C ()()333n k n k k n k n n ----==-∑1121()333n n n -=-+2
3n =，
当1n =时，也符合．
所以0()n
k k k n k a x =-∑的值为23
n ．………………………………………………10分。