河北省唐山一中2015届高三上学期期中考试文数学试题

唐山一中 2014—2015 学年度第一学期期中考试
高三年级数学试卷（文）
一、选择题 (每题 5 分，共60 分)
1.设会合A{ x | 2x 21}, B{ x |1x 0} ，则A I B 等于（）
A. { x | x1}
B.{ x |1x2}
C.{ x | 0x 1}
D.{ x | 0x1}
2.若复数 Z a3i (a R ，i是虚数单位）是纯虚数，则Z 的值为（）
12i
C. 3i2i
A.2
B.3 D.
3.以下说法正确的选项
是（）
A. 命题“x R 使得x22x30 ”的否认是：“x R, x 22x 3 0”
B. “a 1”是“f ( x) log a x(a0, a 1) 在 (0,) 上为增函数”的充要条件
C. “p q 为真命题”是“p q为真命题”的必需不充足条件
D. 命题 p：“x R, sin x cos x 2 ”，则p 是真命题
4．已知数列a n的前 n 项和为 S n，且知足 a n 22a n 1a n，a5 4 a3，则 S7＝() A． 7B． 12C． 14D． 21
5.一个长方体截去两个三棱锥,获得的几何体如图 1 所示 ,则该几何体的三视图为（）
A B C D
6.假如f (x)是二次函数 , 且 f ( x) 的图象张口向上,极点坐标为(1, 3),那么曲线
y f ( x) 上任一点的切线的倾斜角的取值范围是（）
A．(0, ]B．[
3, )C．(,
2
]D．[, )
32233 7.直线l：x my 2 与圆M： x22x y2 2 y0相切，则 m 的值为()
A.1 或－ 6
B.1 或－ 7
C.－1 或 7
1 D.1 或
7
8. 已知函数f ( x)a x 1 3 (a>0且a≠1)的图象过定点P,且点 P 在直线
14
()
mx ＋ny－ 1＝ 0(m>0，且 n>0)上，则m＋n的最小值是
A.12
B.16
C.25
D.24
x ≤ 1
9. 在拘束条件
x y m 2
≥ 0
下，若目标函数 z
2x y 的最大值不超出
4，则实数 m 的
x y 1≥ 0
取值范围（
）
A. ( 3,
3)
B.[0, 3]
C. [ 3,0]
D. [ 3,
3]
10. 已知
0 ，函数 f ( x)
sin( x
) 在 ( , ) 上单一递减 .则 的取值范围是 （
）
4
2
A.[ 1, 5
]
B.[1,3
]
C.(0, 1
]
D (0, 2]
2 4
2 4
2
11. 若 a, b,c
均为单位向量， a b
c xa
yb (x, y R)
，则
x y
的最大值是（
）
1 ，
2
A ．
2
B. 3
C ．
2
D.
1
12. 设点 P 在曲线 y
1
e x 上，点 Q 在曲线 y
ln(2 x) 上，则 PQ 最小值为（
）
2
A.1
ln2
B.
2(1 ln 2) C.1 ln2 D. 2(1 ln 2)
二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共
20 分)
13. 在
ABC 中，a, b,c 分别是内角 A, B, C 的对边，若 A
,b 1 ， ABC 的面积为 3 ，
3
2
则 a 的值为
.
14. 已知矩形 ABCD 中，AB=2，AD=1，E 、F 分别为
BC 、CD 的中点，则
( AE AF) BD
.
15. 把一个半径为
5
3
2
cm 的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的
3 倍，则
这个圆锥的高为
.
16. 函数 f (x) sin x ( x 0) 的图象与过原点的直线有且只有三个交点
, 设交点中横坐标
的最大值为
,则
(1
2
)sin 2 =
___.
三．解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分 10
分 ) 已 知 向 量 a
(1,sin x) ， b ＝ (cos(2x
), sin x) ， 函 数
1
cos2x .
3
f ( x) a b
2
(1) 求函数 f(x)的分析式及其单一递加区间； (2) 当 x ∈ 0,
时，求函数 f(x)的值域．
3
18.( 本小题满分 12 分 ) 已知数列 a n 知足 a 1 1, a n 1 1
1 此中 n N .
,
4a n
(1) 设 b n
2 ，求证：数列
b n 是等差数列，并求出
a n 的通项公式 a n ；
2a n
1
(2) 设 c n
4a n ，数列 c n c n 2 的前 n 项和为 T n , 能否存在正整数 m , 使得 T n 1 对
n 1
c m c m 1
于 n
N * 恒建立，若存在，求出 m 的最小值，若不存在，请说明原因 .
19.(本小题满分 12 分 )设函数 f (x) 2x 1
x 3
（1）求函数 y f (x) 的最小值；
（2）若 f ( x)
ax
a 7
a 的取值范围．
2
恒建立，务实数
2
ABC 和 BCE 是
20. (本小题满分 12 分 ) 如下图， 边长为 2 的正三角形，且平面
ABC 平面 BCE ，
AD 平面 ABC ， AD
2 3 .
（ 1）证明： DE BC ；
（ 2）求三棱锥 D
ABE 的体积 .
D
E
A
C
B
21. （本小题满分 12 分 ) 己知函数 f ( x)
x 3 ax 2
3x
1
是 f (x) 的极值点，求
f (x) 在 [1, a] 上的最大值；
（1）若 x
3
（2）在（ 1）的条件下，能否存在实数 b ，使得函数 g( x) bx 的图象与函数 f ( x) 的图象
恰有 3 个交点，若存在，恳求出实数b
的取值范围；若不存在，试说明原因.
22. ( 本小题满分 12 分) x D ,有 f (x)
F ( x) g( x) ，则称 F ( x) 为 f ( x) 与 g( x) 在 D 上
的 一个“分界函数”.
如
x 0,1 ,1 x
(1 x)e 2x
1
建立，则称
1 x
y
(1 x ) e
2 x
是 y
1 x 和 y
1 x 在 0,1 上的
一个“分界函数” 。

1
（1）求证： y
cosx 是 y 1
1
x 2
和 y
1
1
x 2 在 0,1 上的一个“分界函数” ；
2
4
（2）若 f ( x)
x 3
ax 1和 g( x)
(1 x)e 2 x 2x cos x 在
0,1
上必定存在一个“分界
2
函数”，确立数 a 的取范。

期中考试（文科）答案
一．选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，合计 60 分）
号123456789101112答案A C B C C B B C D A A B 二．填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，合计 20 分）
13．
9
15． 20cm16． 2 314.
2
1
f ( x)cos(2x)sin x2cos2x
17、解：（１）32⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
1
sin( 2x)
2
6
增区是k, k 2
Z) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..6 分(k
63
（２）2x
5
6
66
1sin(2x)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.8分
2 1
6
0 f ( x)
2
函数 f(x) 的 域是
18、解：（ 1） 明
1
,0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
..12 分
2
b n 1
b
n
2
2
2
2
4a n
2
2
2a n 1 1 2a n
1
1
2a n 1 2a n
1 2a n
2 1
1 1
4a n
所以数列
b n 是等差数列， a 1
1, b 1 2 ，所以
b n 2
(n 1) 2
2n ，
由 b n
2
得 a n
n 1 6 分
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2a n
1
2n
(2) c n
2 , c n
c
n 2
4 2 2 1
]
,
n
n n n n
2
所以 T n
1
1
1 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
10 分
2 1
n 1 n
2
2
依 意要使 T n
1
于 n
N * 恒建立，只要
m( m
1) 3,
c m
c
m 1
4
解得 m
3 或 m
4 ，所以 m 的最小
3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
x
4,( x
1 )
2
19.解：（Ⅰ） 由 意得 f ( x)3x 2,(
1
x 3) ，所以 f ( x) 在 (
,
1
) 上 减，
2
2
x
4,( x 3)
1
在(
,
)
上增 ， 所 以 x
1 ， y f ( x) 取 得 最 小， 此
2
f ( x)min
7 2
． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（注：画出函数
f ( x) 的 像，获得
f ( x) 的最小 也能够． ）
a 7
1 7
f ( x) 的 像 可 知
（ Ⅱ ） 由
g (x) ax
2
的像恒点(,
) 及 函 数 y
2
2 2
1 a 1 ．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
D
E
A
C
20
F ， ＡＦ，ＥＦ，ＢＤ
B
F
（ 1） 明：取 BC 的中点
∵△ＢＣＥ正三角形，∴ＥＦ ＢＣ，
又平面ＡＢＣ 平面ＢＣＥ，且交 ＢＣ，∴ＥＦ⊥平面ＡＢＣ
，又ＡＤ⊥平面ＡＢＣ∴ＡＤ∥ＥＦ，∴
D, A,F , E 共面，
又易知在正三角形ＡＢＣ中，ＡＦ⊥ＢＣ，
AF EF
F
∴ BC 平面 DAFE ，又 DE 平面 DAFE
故 DE
BC ；．．．．．．．．．．6 分
（2）由（ 1）知ＥＦ／／ＡＤ 所以有 V D ABE
V
E DAB
V F DAB
V
D ABF
所以 s ABF
1
BF * AF
3
，所以 V D ABF
1
S ABF * AD
1
2
2
3
即V
D ABE
1 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２分
21．解：（ 1） f ' (
1) 0 ，即 1 2 a 3
0, a 4,
f ( x) x 3
4x 2
3x 令
3
3
3
1
, x 2
f '( x) 3x 2
8x 3 0
x 1
3 ，
x 1
(1,3)3
3 (3,4)
4
f '( x)
_
0 +
f ( x)
-6
-18
-12
f (x) 在［ 1， 4］上最大
f (1) 6 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
（2）函数 g( x) bx 的 象与
f ( x) 象恰有 3 个交点，即 x 3 4x 2
3x bx 恰有 3 个不
等 根
x 3
4 x 2 3 bx 0 ，此中 x 0 是此中一个根
x 2
x
4x 3 b 0 ，有两个不等零的不等 根 .
∴
16 4(3 b)
0,
b
7 且 b
3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12 分
3 b 0
1
x 2 ， x
22.解： (1) h( x)
cos x 1
[0,1]
2
h ' ( x)
sin x x ， G ( x)
sin x x ， G ' ( x)
cos x 1 0
∴ G(x) 在 [0,1] 上是增函数，
G( x) G (0)
0 ，∴ h( x) 在 [0,1] 上是增函数 h( x) h(0)
0 ，∴ x
[0,1] ，
1 1 x
2 cos x .
1
2
( x) 1
x 2 cos x ， x [0,1]
4
'
(x)
x sin x ， H ( x)
x sin x ， H ' ( x) 1 cos x 0
2
2
2
∴ H ( x) 在 [0,1] 上是增函数，
H ( x) H (0)
0 ， (x) 在 [0,1] 上是增函数
( x)
(0) 0 ，∴ x
[0,1] ， cos x
1 1 x 2
4
上所述， x
[0,1] ， 1 1 x 2 cos x 1 1 x 2 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
2 4
(2)要使 f (x) ， g ( x) 必定存在“分界函数” ， x [0,1] ， f ( x)
g (x) 恒建立 .
由已知， (1
x) e 2 x 1 x, cos x 1 1 x 2
4
g( x)
f ( x)
(1 x)e
2 x
2x cos x
( x 3 ax 1)
2
1 x
1 2
)
x 3
ax 1)
( a
3) x
2x(1
x
(
2
4
∴ a 3 ， f ( x)
g( x) 在 [0,1] 上恒建立 .
下 a
3 ， f (x)
g( x) 在 [0,1] 上不恒建立 .
由已知 (1
x)
e 2 x
1 , cos x 1 1 x 2
1 x 2
g( x) f ( x)
(1 x)e 2 x 2x cos x
( x 3 ax 1) g( x) f (x)
(1 x)e 2 x
2x cosx ( x 32
cosx 1)
1
2x(1 1 x 2 ) ( x 3 ax 1) 2
1 3
1 x
1 2x(12
2 ) x cos x 1)
2 x 2 x ( 2
1
x 2 x 3 (a 3)x
1 x
2
x [ x 2 2x 2(a 3)]
2 1 x
x [ x 2 2x 2(a 3)]
2
( x)
x 2 2x 2( a 3) 必存在 x 0 (0,1) 使 ( x 0 ) 0
∴必存在 x 0
(0,1) 使 g( x 0 )
f ( x 0 ) ， a
3 ， f ( x)
g( x) 在 [0,1] 上不恒建立 .
上，
a 3 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分。