高中数学 第二章 函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.3 待定系数法教学素材 新人教B版必修1

2.2.3 待定系数法教学
教学建议
1.待定系数法解题的关键是依据已知条件,正确地列出含有未定系数的等式.运用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些特定的系数,转化为方程组来解决.要判断一个问题是否可用待定系数法求解,主要看这个数学问题是否具有某种确定的数学表
达形式.例如,一次函数y=kx+b(k≠0)、二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的性质都与它们的系数
有关,故在研究含有字母系数的问题时,常常要用到待定系数法.
在这里主要通过一次函数、二次函数求解析式的练习,广泛开展讨论加以体会、总结,逐步形成完整的知识结构.
2.待定系数法的理论依据是多项式恒等原理：如果多项式f(x)与g(x)恒等〔即f(x)≡g(x)〕,则对于任意一个a 值有f(a)≡g(a);两个化成标准形式的多项式中各同类项的系数对应相等.
如f(x)=ax 2+bx+c,g(x)=(a+b)x 2+(a-1)x,若f(x)≡g(x),则有
⎩⎨⎧==g(0)f(0)g(1)f(1)或⎪⎩
⎪⎨⎧==+=0.c 1,-a b b,a a 3.使用待定系数法解题的基本步骤:
第一步,设出含有待定系数的解析式.
第二步,根据恒等条件,列出含待定系数的方程或方程组(有时用赋值法,有时用对应项系数相等法,大多用后一种方法).
第三步,解方程或方程组或消去待定系数从而使问题获解.
备用习题
1.已知函数f(x)=ax 2+bx+c 的图象经过点(-1,3)和(1,1),若0<c<1,则实数a 的取值范围是
( )
A.［2,3］
B.［1,3］
C.(1,2)
D.(1,3)
解析：⇒⎩
⎨⎧=++=+1c b a 3c b -a a+c=2⇒c=2-a. ∵0<c<1,∴0<2-a<1.
∴1<a<2.故选C.
答案：C
2.已知a>0,a-b+c<0,其中a,b,c 均是实数,则一定有( )
A.b 2-4ac>0
B.b 2-4a c≤0
C.b 2-4ac<0
D.b 2-4ac≥0
解析：令f(x)=ax 2-bx+c.
又a-b+c<0,则f(1)=a-b+c<0,且a>0,于是
f(x)=ax 2-bx+c 与x 轴有两交点,所以
Δ=b 2-4ac>0,故选A.
答案：A
3.阅读下面文字后解答问题.
有这样一道题目:“已知二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(0,a)、
B(1,-2),_______,
求证:这个二次函数图象的对称轴是直线x=2.”
请你根据已有的信息,在原题中的横线上添加一个适当的条件,把原题补充完整.
解析：根据条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+∙+∙=∙+∙.22,211,0022a
b c b a a b a
解之,得⎪⎩
⎪⎨⎧===1.c -4,b 1,a
∴二次函数为y=x 2-4x+1.
根据求出的二次函数解析式再任意写出一个要求补充的条件即可.例如c=1或b=-4;经过点(-1,6)或(4,1)或(2,-3)等等即可.
说明:本题是一个条件开放题,所填答案不唯一,只需写出一个符合题意的答案即可,实际上先求出二次函数的解析式后,再去寻求条件就容易多了.
4.已知函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0且bc≠0),
(1)若｜f(0)｜=｜f(1)｜=｜f(-1)｜=1,试求f(x)的解析式;
(2)令g(x)=2ax+b,若g(1)=0,又f(x)的图象在x 轴上截得的弦的长度为l,且0<l≤2,试确定c-b 的符号.
解析：(1)由已知｜f(1)｜=｜f(-1)｜,
有｜a+b+c ｜=｜a-b+c ｜,(a+b+c)2=(a-b+c)2.
可得4b(a+c)=0.
∵bc≠0,∴b≠0.
∴a+c=0.
又由a>0,有c<0,
∵｜c ｜=1,于是c=-1,则a=1,｜b ｜=1.
∴f(x)=x 2±x -1.
(2)g(x)=2ax+b,由g(1)=0,
有2a+b=0,由于a>0,于是b<0.
设方程f(x)=0的两根为x 1、x 2,
∴x 1+x 2=a b -=2,x 1·x 2=a
c , 则｜x 1-x 2｜=212214)(x x x x ∙-+=.44a c ∙
- 由已知0<｜x 1-x 2｜≤2,∴0≤
a c <1. 又a>0，bc≠0,
∴c>0.∴c -b>0.。