四边形常见辅助线练习题AB

四边形常见题型辅助线作法（1）
1、 构造矩形、菱形、全等形、建立直角坐标系等。

2、 有线段中点时,再构造中点;有特殊角时，构造Rt 、等边三角形.
3、 有梯形，就做高或平移对角线。

题型一求线段相等
1。

已知：如图，正方形ABCD 中，∠ACE=30°，ED ∥AC ；求证：AE=AF
2 已知，如图：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 与MN 互相垂直平分,E 、F 、M 、N 分别为AD 、BC 、BD 、AC 的中点.求证：AB=CD.
3.如图，在正方形ABCD 中，∠EAF=45°,AH ⊥EF,垂足为H ，求证：AH=AB 。

4、已知：如图，正方形ABCD 中,E 、F 分别是CD 、DA 的中点，BE 与CF 交于P 点。

求证：AP=AB 。

5、已知：如图,梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD=BC ，对角线AC 、BD 交于点O,∠COD=60°，若CD=3，AB=8，求梯形ABCD 的高．
题型二 求角相等
6. 如图，在⊿ABC 中，AD 平分∠BAC,交BC 于点D ，过C 作AD 的垂线，交AD 的延长线于点E ，F 为BC 的中点，连结EF,求证:∠FED=∠BAD.
7，已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点,四边形OCDE 是平行四边形,求证:OE 与AD 互相平分
题型三 求线段或角的倍分关系
8、如图，过矩形ABCD 对角线AC 的中点O 作EF ⊥AC 分别交AB 、DC 于E 、F ，点G 为AE 的中点,若∠AOG=30°，
求证：OG=31
DC 。

9、如图，过正方形ABCD 的顶点B 作BE ∥AC,且AE=AC ，又CF ∥AE 。

求证：∠BCF=21
∠AEB 。

四边形常见题型辅助线作法(2）
N
M
F
E
D
C
B
A
H
F
E
D
C
B
A
D
F
E C
B
A
B
A
D
E
O
C
B
C
D O
A
P
题型四 求线段的和或差
1.如图，已知：正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，AF 平分∠EAD 。

求证：AE=DF+BE 。

2，在△ABC 中，E 、F 为AB 上两点，AE=BF ，ED//AC ，FG//AC 交BC 分别为D ，G ，求证：ED+FG=AC 。

3.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ﹥AD ）,E 、F 分别是对角线BD 、AC 的中点.求证：EF=1
2（BC —AD ）
4。

如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，过顶点D 作DN ⊥BC ，点N 为垂足，求证：DN=1
2（AD+BC ）.
题型五 探究题
5、如图,过正方形ABCD 对角线BD 上一点P,作PE ⊥BC 于E ，作PF ⊥CD 于F,连结AP 、EF 。

(1)试说明AP=EF 的道理；（2）猜想AP 与EF 有怎样的位置关系，并说明理由。

6、如图,有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样速度向B 、C 、D 、A 各点移动。

（1）试判断四边形PQEF 是正方形，并证明； (2）PE 是否总过某一定点，并说明理由；
（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时，其面积最小？最大？各是多少？
7、如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BC 、AC 上，且CD=CE,连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF 。

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示,并加以证明; （2）判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由； （3)若AB=6，BD=2DC ，求四边形ABEF 的面积。

辅助线做法（1）答案
1、 连接AC 过E 作EG 垂直于AC 于G ，证AC=AE,得角AEC=角AFE=75度，既得AE=AF
2、 分别连接E 、M 、F 、N ，则EMFN 是菱形，得ME=MF=1/2AB=1/2CD ，所以AB=CD
3、 将三角形ADF 绕点A 顺时针旋转90度,使AD 与AB 重合，得三角形ABC,则三角形ADF 全等于三角形ABC ，
即可得AH=AB
F
E
D
C
B
A
G D
F
A
C
B
E
F
E
C
B
D A
N
D
C
B
A
4、 延长CF 、BA 交于点M ，证三角形AMF 全等于三角形DCF,得AM=CD=AB ，再得PA 是直角三角形BPM 斜边上的中
线，即可得AP=AB.
5、 过点C 作CE ∥DB ，交AB 的延长线于点E ，过点C 作CH ⊥AE 于点H,CH =11
2
3 6、 延长AB 、CE 交于G 点，则得E 为GC 中点,从而得到FE 平行于AG,即可得∠FED=∠BAD 。

7、连接OD 、AE 则四边形AEDO 是平行四边形，所以OE 与AD 互相平分
8、连接OB ，可得OG=AG=GE=EB=31AB=31
DC 。

9、解：过A 作AG ⊥BE 于G ，AC ，BD 交于O ，则AGBO 是正方形，
AG=AO=
=
，又AG ⊥GE ，所以，∠AEG=30°．
∠CFB=∠AEG=30°，∠FBC=∠FBA+∠ABC=135°, ∠
BCF=180°—∠CFB —∠FBC=15°， ∠BCF=∠AEB ． 辅助线(2)答案
1、 证明：延长
CB 到G,使GB=DF ，连接AG （如图)，证△ADF ≌△ABG ，
再证EA=EG 即得AE —BE=DF ．
2、过E 作EP ∥BC 交AC 于p,证△AEP ≌△BFG 即可
3、解答：证明：方法一： 如图所示，连接AE 并延长，交BC 于点G 。

证△AED ≌△GEB 。

∴BG=AD,AE=EG.再证FE 是△AGC 的为中位线即得EF=1/2（BC-AD ）.
方法二:如图所示，设CE 、DA 延长线相交于G 。

易得△GED ≌△CEB 。

再证E ，F 分别为CG,CA 中点，∴EF=1/2GA=1/2（GD —AD ）=1/2(BC —AD)，即EF=1/2(BC-AD ）.
4、过D 作DF ∥AC 交BC 的延长线于F ，易得平行四边形ACFD 和等腰直角三角形BDF ，从而DN=1/2(AD+BC)
5、（1）AP=EF 理由如下:连接PC ，证△APB ≌△CPB 得AP=CP 即得AP=EF
(2）AP ⊥EF 理由如下：延长AP 交EF 于点H,由(1）的结论及Rt △两锐角互余即 得AP ⊥EF 6、:解：（1)证△AFP ≌△BPQ ≌△CQE ≌△DEF 。

得FP=PQ=QE=EF,即得四边形PQEF 为正方形; (2)连接PE 交AC 于O ，连接PC 、AE ，证四边形APCE 为平行四边形.即得PE 总过AC 的中点; (3）正方形ABCD 与正方形PQEF 的对角线交点是重合的， 当OP ⊥AB 时，四边形PQEF 面积最小，为原正方形面积的一半,
当P
与顶点B 重合时，面积最大,其最大面积等于正方形ABCD 的面积。

7、（1)答:△BDE ≌△FEC,△BCE ≌△FDC ，△ABE ≌△ACF; (2）四边形ABDF 是平行四边形，
(3）过A 作AH ⊥BC,求出AH 即可求面积.。