北京市2012年中考数学二模试题分类 直线型的计算(教师版)

2012年市中考数学二模分类汇编——直线型计算
1．（石景山19）如图，梯形纸片ABCD 中，AD//BC ，∠B=30º．折叠纸片使BC 经过点A ，点B 落在点B ’处，EF 是折痕，且BE=EF=4，AF ∥CD ． （1）求∠BAF 的度数；
（2）当梯形的上底AD 多长时，线段DF 恰为该梯形
的高？ 解：
19. 解：（1）∵BE=EF ∴∠EFB=∠B ，由题意，△EF B '≌△BEF ∴∠EFB ’ =∠EFB=∠B=30° ∴
△
BFA
中，
︒=︒-︒-︒-︒=∠90303030180BAF ………………………2分
（2）联结DF ， ∵AD//BC ，AF ∥CD ∴
四
边
形
AFCD
是平行四边
形 ……………………………………3分 ∴∠C =∠AFB=60°
∴CD =AF =3230cos =︒EF ………………4分 若BC DF ⊥，则360cos =︒=CD FC
此时3=
AD ．…………………………5分
A B
D
E
C
B '
F
D
A 2.（西城区17） 如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是 A
B ，CD 的中点.(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形； (2)若∠A=60°，AB=2AD=4，求BD 的长.
17. (1)证明：如图2.
∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥CD 且AB=CD. ﹍﹍﹍﹍1分 ∵ 点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，
∴
CD DF AB AE 21,21==
.
∴ AE=DF.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2分 ∴
(2)解：过点D 作DG ⊥AB 于点G. ∵ AB=2AD=4，
∴ AD=2. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分
在Rt △AGD 中，∵90,60,AGD A ∠=︒∠=︒ AD=2， ∴.360sin ,160cos =︒⋅=
=︒⋅=AD DG AD AG ∴3BG AB AG =-=.
在Rt △DGB 中，∵90,3,DGB DG BG ∠=︒==
∴
.32932
2=+=+=BG DG DB ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分 3.（顺义19）如图，在矩形ABCD 中，E 是边CB 延长线上的点，且EB=AB ，DE 与AB 相交于点F ， AD=2，CD=1，求AE 及DF 的长．
图2
G
F
E
D
C
B
A
19．解：∵四边形ABCD 是矩形，且AD=2，CD=1， ∴BC=AD=2，AB=CD=1，∠ABC =∠C= 90°，AB ∥DC ． ∴EB=AB=1． …………………………………… 1分 在Rt △ABE
中，AE =
=．…… 2分
在Rt △DCE
中，
DE === 3分 ∵AB ∥DC ，
∴
1
2EF EB DF BC ==．…………………… 4分 设EF x =，则2DF x =．
∵EF DF DE +=
，∴2x x +=
．∴
x =
．
∴2DF x ==
．…………………………… 5分
4.（某某18）如图，四边形ABCD 是矩形，AB=3，BC=4，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点F 处，连接DF ，CF 与AD 相交于点
ACE 的面积.
18. 解：由题意，得4==BC FC ，3==AB AF ，21∠=∠， ∵AD∥BC， ∴31∠=∠. ∴32∠=∠.
∴CE AE =. ………………1分 ∴CE CF AE AD -=-，即FE DE =. 设x DE =，则x FE =，x CE -=4， 在Rt△CDE 中，2
2
2
CE CD DE =+.
即222)4(3x x -=+，………………………2分
解得
87=
x . 即87
=DE . …………………………3分
∴
825
=
-=DE AD AE . …………………………………4分
∴
167521=⋅=
∆CD AE S ACE . ………………………………5分
5.（东城20） 如图，在平行四边形ABCD 中，5AB =，8BC =，AE BC
⊥于点E ，53
cos =
B ，求tan CDE ∠的值．
3
2
1
E
A
20．解： 在△ABE 中，AE BC ⊥，5AB =，
53cos =
B
∴BE=3,AE=4. ∴EC=BC -BE=8-3=5. ∵平行四边形ABCD, ∴CD=AB=5.
∴△CED 为等腰三角形.……2分 ∴∠CDE=∠CED． ∵ AD//BC, ∴∠ADE=∠CED． ∴∠CDE=∠ADE．
在Rt△ADE 中,AE=4,AD=BC=8,
6.（房山19）如图1，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点
O ，E 是BD 延长线上的点，且ACE △是等边三角形．
⑴求证：四边形ABCD 是菱形；
⑵如图2，若2AED EAD ∠=∠，AC=6．求DE 的长．
O
B
E
A
C
D O
B
E
A
C
D
图1 图2 19．证明：⑴ 平行四边形ABCD
∴OA=OC---------------------------------------1分
ACE △是等边三角形
∴OE ⊥AC ∴BD ⊥AC
平行四边形ABCD
∴四边形ABCD 是菱形---------------------------------------2分 ⑵ ACE △是等边三角形，OE ⊥AC
∴∠AEO=AEC
∠21
=30°
2AED EAD ∠=∠
∴∠EAD=15°
∴∠ADB=45°---------------------------------------3分
四边形ABCD 是菱形
∴AD=DC , BD ⊥AC ∴∠CDB=∠ADB=45°
∠ADC=90°,∴ADC ∆是等腰直角三角形
∴OA=OC=OD=AC
21
=3，----------------------------------4分
ACE △是等边三角形,
图2
B
A
A
D
∠EAO=60°
在Rt ∆AOE 中,OE=OAtan60°=33
∴DE=OE-OD=333----------------------------------------5分 7.（丰台19）已知：如图，菱形ABCD 中，过AD 的中点E 作AC 的垂线EF ，交AB 于点M ，交CB 的延长线于点F ．如
果FB 的长是2，求菱形ABCD 的周长．
19．解：联结BD ． ∵在菱形ABCD 中，
∴AD ∥BC ，AC ⊥BD ．……1分 又∵EF ⊥AC ， ∴BD ∥EF ．
∴四边形EFBD 为平行四边形．……2分 ∴FB = ED =2．……3分 ∵E 是AD 的中点． ∴AD=2ED=4．……4分 ∴菱形ABCD 的周长为
4416⨯=．……5分
8.（平谷19）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠A=150°∠D=90°，AD=4，
AB=6，CD=34．求四边形ABCD 的周长．
M
F
E
B
C
D
A
19.解：连结AC 在Rt △ADC 中，
∵∠D=90°，AD=4，CD=34， ∴ AC=
22CD AD +=8，………………1分
3tan ==
∠AD DC
DAC .…………2分
∴∠DAC=60°.………………………………3分 ∵∠BAD=150°， ∴∠BAC=90°.
∴ BC=
102
2=+AB AC . ……………………………4分 ∴ 四边形ABCD
的周长20+……………….5分
9.（延庆） 已知：如图，在四边形ABCD 中，
60=∠C ，AD ⊥CD
135=∠DAB ,8=BC ，62=AB
求DC 的长．
17．解：如图，过B 作BE //AD 交CD 于E ,过A 作AF ⊥BE 于F …………1分
∴︒=∠=∠90ADC BEC ，︒=∠-︒=∠45180A ABE ,AF=DE ……2分
D
D
C
B
A B
Rt △BEC 中，
4218cos =⨯
=∠⋅=C BC CE ……………3分
Rt △ABF 中
3222
62sin =⨯
=∠⋅=ABF AB AF
……………4分
∴324+=DC ………………………5分
10.（门头沟19）已知：如图，四边形ABCD 中，BC=CD=DB ，∠ADB=90°，
sin ∠ABD=54，S △BCD=39. 求四边形ABCD 的周长.
19.解：过C 作CE ⊥BD 于E.
∵∠ADB=90°，sin ∠ABD=54
，
∴AD=4x,AB=5x. ………………………..1分 ∴DB=3x ∵BC=CD=DB ，
∴DE=x 23，∠CDB=60°………2分 ∴tan ∠CDB=DE CE
∴CE=x
23
3…………………3分
E
D
C
B
A
D
C
B
A
∵S△BCD=3
9,
∴
3
9
2
1
=
⋅
⋅CE
BD
∴ x=2.……………………….4分
∴AD=8,AB=10,CD=CB=6.
∴四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+CB=30………………………..5分
11.（昌平19）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4．过点A作AE⊥AB且AB=AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC=5，求四边形ABDE的周长．
19．解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，
∴∠1+∠B =∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠2．………………… 1分∵ EF⊥AC，∴∠4=∠5 =90°．
∴∠3=∠4．
∵ AB=AE，
∴△ABC≌△EAF．…… 2分
∴ BC=AF，AC=EF．
∵ BC=4，∴ AF=4．
∵ FC=5，∴ AC=EF=9．
E
F
D
A
B C
7
6
5
12
4
3
E
F
D
A
B C
在Rt△ABC
中，AB=
．…………… 3分
∴
．
∵ ED⊥BC，∴∠7=∠6 =∠5= 90°．
∴四边形EFCD是矩形．∴ CD=EF=9，ED=FC=5．………… 4分
∴四边形ABDE周长
… 5分
12.（海淀18）如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠CBD=90︒，BE//CD交AD 于E , 且EA=EB．若AB=5
4，DB=4, 求四边形ABCD的面积．
18．解: ∵∠ADB=∠CBD =90︒，
∴ D E∥CB.
∵BE∥CD，
∴四边形BEDC是平行四边形. ………1分
∴ BC=DE.
在Rt△A BD中，由勾股定理得
8
AD===
. ………2分
设DE x
=，则8
EA x
=-．
∴8
EB EA x
==-．
在Rt△BDE中，由勾股定理得222
DE BD EB
+=.
∴222
48
x x
+=-
（）．………………………3分
E
D
C
B
A
∴3x =．
∴3BC DE ==．…………………………4分
∴1116622.22ABD BDC ABCD S S S BD AD BD BC ∆∆=+=⋅+⋅=+=四边形… 5分
13.（密云20）如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD，CE AB ⊥于E ． 设CD ＝CB 34AD ＝9，AB ＝15．
求B ∠的余弦值及AC 的长．
20．（本小题满分5分）
解：如图，在AB 上截取AF AD =，连结CF-----------1分
∵AC 平分∠BAD ，∴12∠=∠．
又AC AC =，
∴△ADC ≌△AFC ．
∴ AF=AD=9，CF=CD=CB 34=．------------2分
∴△CBF 是等腰三角形．
又∵CE AB ⊥于E ，
∴ EF=EB=21BF=21
（AB －AF ）=3---------------3分
在Rt △BEC 中，33cos 343434BE B BC =
==． --------------4分
19题图
在Rt △BEC （或Rt △FEC ）中，由勾股定理得 CE=5．
在Rt △AEC 中，由勾股定理 得AC=13------------------5分
∴B ∠33434AC 的长为13．
14.（怀柔19）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=90︒，∠CAB=30︒, DE ⊥AC 于E ，且AE=CE ，若DE=5，EB=12. 求四边形ABCD 的面积和∠DAC 的正弦值.
19．解: ∵∠ABC=90︒，AE=CE ，EB=12，
∴ EB=AE=CE=12. ……………………1分
∴ AC=AE+CE=24.
∵在Rt△ABC 中，∠CAB=30︒,
∴ BC=12, cos30123AB AC =⋅︒=分
∵ DE AC ⊥， DE=5，
∴四边形ABCD 的面积=1122AB BC AC DE ⋅+⋅=72360.+………………3分
在Rt△ADE 中，由勾股定理得222212513AE DE +=+=．………4分
∴sin∠DAC=5
13．……………………………5分。