北京市朝阳区2018届高三上学期期末考试数学(文)试题含答案

北京市朝阳区2017—2018学年度第一学期期末质量检测
高三年级数学学科试卷（文史类) 2018．1
(考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题(共40分）和非选择题(共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给
出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1.
已知集合|(2)0
A x x x ，|ln 0
B
x x ，则A
B 是
A ． |0x
x B ．
|2x x
C ．
|1
2
x x
D ．
|02x x
2．已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =
A ．3
B ．
C ． 4
D ．10
3．某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件）,整理得下表:
试估计该商品日平均需求量为 A ．
16
B ．
16.2
C ． 16.6
D ． 16.8
4． “2
sin 2
α=
"是“cos2=0α”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5． 下列函数中，是奇函数且在(0,1)内是减函数的是
①3
()f x x =- ②1
()2
x
f x =（） ③()sin f x x =- ④()e
x x
f x =
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．③④ 6． 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为
A ． 43
B ．
4
C ．4
23
D ．42
7．阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明
过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （0k >且1k ≠)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点,A B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之比为2，当,,P A B 不共线时,PAB ∆面积
的最大值是 A ．
22
B ．
2
C ．
223
D ．
8．如图，PAD ∆为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ．若点M 为平面ABCD 内的一个动点,且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 及其内部的轨迹为
A ．椭圆的一部分
B ．双曲线的一部分
C ．一段圆弧
D ．一条线段
第二部分（非选择题 共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30
答题卡上．
9．执行如图所示的程序框图,输出S 的值为 ．
10．已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，抛物线2
8y
x =的焦点重合，一条渐近线方程为0x y +=,是 ．
11．已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=，则AB BC ⋅= ． 12．若变量
x ，y 满足约束条件40,
540,540,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
则22
x y +的最小值为
．
13．高斯说过,他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问
题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”:
P
A B
D
C
M
（1)左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积； （2）左图阴影区域面积用,,,a b c d 表示为 ; （3）右图中阴影区域的面积为
BAD ∠；
(4)则柯西不等式用字母,,,a b c d 可以表示为()
2
2222()()ac bd a b c d +≤++．
请简单表述由步骤（3)到步骤（4）的推导过
程： ．
14．如图，一位同学从1
P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和
90α-。

后退l （单位m)至点2
P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一
半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1
P ，2
P 三点在同一条水平线上，则塔CB
的高为
m ；旗杆BA 的高为 m 。

(用含有l 和α
的式子
表
示）
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15
．(本小题满分13分)
P 2
1B
C
b
b c
a
c c
b
C A
已知函数2
()(sin cos )
cos 2f x x x x =+-．
(Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；
(Ⅱ）求证:当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,()0f x ≥．
16．（本小题满分13分）
已知由实数构成的等比数列{}n
a 满足1
a
=2
，1
3
5a a
a ++=42
．
（Ⅰ)求数列{}n
a 的通项公式;
（Ⅱ）求2
462...n a
a a a ++++．
17．（本小题满分13分）
2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈,参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．
图1
选手乙的接发球技术统计表
表1
(Ⅰ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术？
（Ⅱ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从
表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少？
（Ⅲ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑
使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定?（结论不要求证明）
18．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱1
1
1
C B A ABC -中，底面ABC 为正三角形，侧棱1
AA ⊥底面
A 1
ABC ．已知D 是BC 的中点，12AB AA ==．
(Ⅰ）求证：平面1
AB D ⊥平面1
1
BB C C ;
（Ⅱ）求证：C A 1
∥平面D AB 1
；
（Ⅲ)求三棱锥1
1
A A
B D -的体积．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆22
22:1(0)5x y C b b b
+=>的一个焦点坐标为(2,0)．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
（Ⅱ)已知点(3,0)E ，过点(1,0)的直线l (与x 轴不重合)与椭圆C 交于,M N 两
点，直线ME 与直线5x =相交于点F ,试证明:直线FN 与x 轴平行．
20．（本小题满分13分）
已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R ．
（Ⅰ)求曲线()y f x =在点2
x π=处的切线的斜率；
(Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数)在区间()0,1内的根的个数，说明理由;
（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点,求a
的取值范围．
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测 高三年级数学试卷答案（文史类） 2018.1
一、选择题（40分）
二、填空题（30分）
三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分） 解：(Ⅰ）因为2
2()sin
cos sin 2f x x x x =++cos2x -
1sin 2cos 2)14
x x x π
=+-=-+。

所以函数)(x f 的最小正周期为
π.
…………………………7分
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知,)(x f )14x π
=
-+．
当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
时，2[,]4
44
x ππ3π-∈-，
sin(2)[4x π-∈，
)11]4
x π
-+∈。

当2,44
x ππ-=-即0x =时，)(x f 取得最小值0．
所以当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，
()0f x ≥.
…………………………13分
16。

（本小题满分13分）
解:(Ⅰ）由1135
=2
a a a a ⎧⎨++=42⎩可得242(1)42q q ++=。

由数列{}n
a 各项为实数,解得2
4q
=，2q =±.
所以数列
{}
n a 的通项公式为2n
n a =或
1(1)2n n n a -=-⋅.
…………………7分
（Ⅱ）当2n
n a =时，24624(14)4...=(41)143n n
n a a a a -++++=⋅--；
当1
(1)
2n n
n
a
-=-⋅时，2462(4)(14)4
...=(14)143
n n n a a a a -⋅-++++=⋅--。

(13)
分
17. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术.
………………2分
（Ⅱ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A ，
B ，正手拉球4次，分别记为a,b,c ，d.则从这六次拉球中任取两
次,共15种结果，分别是：
AB ， Aa ,Ab , Ac , Ad , Ba ， Bb ，Bc, Bd ， ab ，ac, ad, bc, bd,cd.
其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是：
AB ，Aa ，Ab ，Ac, Ad ， Ba, Bb ，Bc ， Bd 。

则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手
拉球的概率
93155
P =
=. ………………
…………10分 （
Ⅲ
）
正
手
技
术
更
稳
定。

…………………………13分 18. （本小题满分14分)
(Ⅰ）证明：由已知ABC ∆为正三角形，且D 是BC 的中点，
所以AD BC ⊥．
因为侧棱1
AA ⊥底面ABC ，1
1
//AA BB ，
所以1
BB ⊥底面ABC ．
又因为AD ⊂底面ABC ，所以1
BB AD ⊥.
而1
B B
BC B =，
所以AD ⊥平面1
1
BB C C ． 因为
AD ⊂
平面
1AB D
,所以平面1AB D ⊥
平面
11BB C C ． (5)
分
（Ⅱ）证明：连接1
A B ,设1
1A B
AB E =，连接DE ．
由已知得，四边形1
1
A AB
B 为正方形，则E 为1
A B 的中点. 因为D 是BC 的中点，
A
B 1
C 1
A 1
E
所以1
//DE AC ．
又因为DE ⊂平面D AB 1
，
1
AC ⊄平面D AB 1， 所
以
C
A 1∥平面
D AB 1．
…………………………10分
（Ⅲ）由(Ⅱ)可知C A 1
∥平面D AB 1
，
所以1
A 与C 到平面D A
B 1
的距离相等，
所以111A AB D
C AB
D V
V --=．
由题设及1
2AB AA ==,得12BB
=
，且2
ACD S ∆=
．
所以11111233C AB D
B ACD ACD V V S BB --∆==⨯⨯==
，
所
以三棱锥
11A AB D
-的
体
积
为
11A AB D V -=
． …………………………14分
19. (本小题满分14分）
解：(Ⅰ）由题意可知222,
5.
c a b =⎧⎨=⎩所以225,1a b ==.
所
以椭圆
C
的方程为
2
215
x y +=. …………………………3分
（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，此时MN x ⊥轴。

设(1,0)D ，直线5
x =与x 轴相交于点G ，易得点(3,0)E 是点(1,0)D 和点(5,0)G 的中点，又因为||||MD DN =，
所以||||FG DN =。

所以直线//FN x 轴.
②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，
1122(,),(,)M x y N x y .
因为点(3,0)E ，所以直线ME 的方程为1
1(3)3
y y x x =--。

令5x =,所以11
112(53)33
F
y y y
x x =
-=--. 由22
(1),
55
y k x x y =-⎧⎨
+=⎩消去y 得2
222(15)105(1)0k x k x k +-+-=。

显然0∆>恒成立。

所以22121222105(1)
,.5151
k k x x x x k k -+==++
因为1211211221112(3)2(1)(3)2(1)
333
F y y x y k x x k x y
y y x x x -------=-
==---
22
221212115(1)10[35]
[3()5]515133
k k k k x x x x k k x x --⨯+-++++==--
2222151651
0513
k k k k k x --++=⋅=+-, 所以2
F y
y =.
所以直线//FN x 轴。

综
上
所
述
，
所
以
直
线
//
FN x
轴. …………………………14分
20. （本小题满分13分）
解：(Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()2
2
k f '==-。

…………………………3分
(Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--。

当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数。

又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<，
所以有且只有一个0
(0,1)x ∈，使0()0g x =成立。

所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点，即方程()0f x '=在区
间()
0,1内
有
且
只
有
一
个
实
数
根。

…………………………7分 （Ⅲ）
若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点,由于
()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()
f x 在1
x 两侧异号。

因为当(0,1)x ∈时,函数()g x 为减函数，所以在()0
0,x 上,0
()()0g x g x >=，即
()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；
在0(,1)x 上，
0()()0g x g x <=,即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数。

则函数()f x 在0
x x =处取得极大值0
()f x 。

当0
()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0
x ，但
()f x 在0x 两侧同号,不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点
的要求.
由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >。

若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1
x ，且()f x 在1
x 两侧
异号，
则只需满足:
(0)0(1)0f f <⎧⎨≥⎩。

即0cos10a a <⎧⎨+≥⎩
,解得cos10a -≤<。

……………………13分。