必修五解三角形专题复习教案

合集下载

高中数学必修五解三角形教案

高中数学必修五解三角形教案高中数学必修五解三角形教案篇一：高中数学必修5解三角形知识总结及练习解三角形一、知识点：1、正弦定理：在C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，R 为C的外接圆的半径，则有abc2R．（两类正弦定理解三角形的问题：1、已知sin?sin?sinC两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.）2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC；②sin??等式中）③a:b:c?sin?:sin?:sinC；abc，sin??，sinC?；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的2R2R2Ra?b?cabc．sin??sin??sinCsin?sin?sinC1113、三角形面积公式：SC?bcsin??absinC?acsin? 222④?a2?b2?c2?2bccosA?2224．余弦定理：?b?a?c?2accos(本文来自：教师联盟网:高中数学必修五解三角形教案)B 或?c2?b2?a2?2bacosC??b2?c2?a2?cosA?2bc?a2?c2?b2? ?cosB?2ac?? b2?a2?c2?cosC?2ab?（两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.）2225、设a、b、c是C的角?、?、C的对边，则：①若a?b?c，则C?90?为222222直角三角形；②若a?b?c，则C?90?为锐角三角形；③若a?b?c，则C?90?为钝角三角形．6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.7．解题中利用?ABC中A?B?C??，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC, sinA?BCA?BCA?BC?cos,cos?sin,tan?cot 222222二、知识演练1、ΔABC中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°2、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形3．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )．A．90°B．120°C．130°D．150°2224．在△ABC 中，a?b?c?bc ，则A等于（）A．60°B．45°C．120°D．30°5．在△ABC中，A为锐角，lgb-lgc=lgsinA=－lg2, 则△ABC为（）A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形b6、锐角?ABC中，B=2A，则a的取值范围是（）A（-2，2）B（0，2）C（2，2）D2,）7.在?ABC中．sinA?sinB?sinC?sinBsinC．则A的取值范围是222 ?A．（0，6]B．[ 6，?）C．（0，3]D．[ 3，?）?8.在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45，若△ABC有两解，则x的取值范围是_______________9. ?ABC中，B?60?,AC，则AB+2BC的最大值为_________．10．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝123，bc＝48，b-c＝2，求a11.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA?2，AB?AC?3．（I）求?ABC的面积；（II）若b?c?6，求a的值．12、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足S?2a?b2?c2)。

高中数学第一章解三角形教案新人教版必修5B

解三角形复习课教案（一）教学目标：（1）运用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（3）培养学生分析问题、解决问题，自主探究的能力。

（二）教学重点与难点：重点：（1）正弦定理与余弦定理的应用。

（2）题目的条件满足什么形式时适合用正弦、余弦定理解决问题。

难点：（1）利用正弦定理求解过程中一解、二解的情况。

（2）从实际问题抽象出数学问题。

（三）教学过程：观察引入：？让学生观察思考：在△ABC 中，请给出适当的条件，并根据你给出的条件可以得到什么结论？（培养学生自主探究和学习的能力）根据学生所答，教师归纳总结正弦定理，余弦定理公式：（正弦定理）正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。

Cab b a c B ca a c bAbc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+= （余弦定理）余弦定理可解以下两种类型的三角形：BR C c B b A a 2sin sin sin ===　（1）已知三边；（2）已知两边及夹角.（四）例题精讲：让学生自主探究，分析问题，解决问题。

（可用正、余弦2种方法解决，注意解的个数）例2 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西300，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？（角度精确到10）根据题目要求把实际问题转化成解三角形问题，对应的边长和角度可从已知条件中获得。

（五）课堂练习：1.△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )A 有一个解B 有两个解C 无解D 不能确定2.ABC 中，8b =，c =，ABC S =，则A ∠等于（）A 30B 60C 30或150D 60或1203.△ABC 中，若60A =，a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于（）145,,.ABC a b B A C c ︒∆===例在中，已知求和A 2B 1 24.ABC中，:1:2A B=，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，则cos A=（）A 13B12C34D 05.果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 由增加的长度决定参考答案：1．C 2。

必修五解三角形教案

必修五解三角形教案教案标题：必修五解三角形教案教案目标：1. 确保学生理解和掌握三角形的基本概念和性质。

2. 培养学生解决三角形相关问题的能力。

3. 提高学生的逻辑思维和推理能力。

教案步骤：第一步：引入三角形的概念（15分钟）1. 引导学生回顾平面几何的基本概念，如点、线、角等。

2. 引入三角形的概念，解释三角形的定义和特点。

3. 通过示意图和实例，让学生理解三角形的构成要素：三条边和三个角。

第二步：介绍三角形的分类（20分钟）1. 介绍根据边长和角度的关系，将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

2. 解释每种三角形的定义和性质，如等边三角形的三边相等、等腰三角形的两边相等等。

3. 通过实例和练习，让学生区分不同种类的三角形，并理解它们之间的关系。

第三步：探究三角形的角度性质（25分钟）1. 引导学生思考三角形内角之和的问题，并让学生猜测三角形内角之和的大小。

2. 引导学生通过实验和推理，发现三角形内角之和恒为180度的规律。

3. 给予学生足够的练习，巩固和应用三角形内角之和的概念。

第四步：解决三角形的问题（30分钟）1. 给学生提供一些实际问题，要求他们应用所学的知识解决。

2. 引导学生分析问题，确定解题思路，并运用所学的三角形性质解决问题。

3. 鼓励学生在解题过程中提出自己的解决方法，并进行讨论和分享。

第五步：总结与拓展（10分钟）1. 总结本节课所学的内容，强调三角形的基本概念和性质。

2. 提醒学生在实际生活中运用三角形的知识，如测量高楼的高度、计算航行船只的位置等。

3. 鼓励学生进一步拓展学习，了解更多与三角形相关的知识和应用。

教学评估：1. 在课堂中通过观察学生的参与和回答问题的表现，评估他们对三角形概念和性质的理解程度。

2. 布置练习题，检验学生对三角形解题方法的掌握和应用能力。

3. 鼓励学生在课后自主学习和探究，通过小测验或作业评估他们的学习成果。

教学资源：1. 幻灯片或黑板，用于呈现概念和示意图。

人教版数学必修五第一章：解三角形复习教案设计

数学辅导教案学生姓名性别年级高一学科数学授课教师上课时间年月日第（）次课共（）次课课时：2课时教学课题人教版高一数学必修五解三角形复习教案教学目标1.能够应用正、余弦定理解三角形；2.利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；3.在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．教学重点与难点重点：利用正弦定理余弦定理解三角形难点：边角关系的转化，三角恒等变换的运用。

【知识梳理】一、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ．二、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；[来源 ④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．三、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．四、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．五、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．六、在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解【典型例题】考点1 求解斜三角形中的基本元素：是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．【例1】（1）在∆ABC 中，已知︒=30A ，︒=75B ，42.9a cm =，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知23=a ，62=+c ，060=B ，求b 及A ；【变式1】⑴在ABC ∆中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = . ⑵在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于__________.⑶在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知6π=A ，1=a ，3=b ，则=B .【例2】 ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBC ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBD ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB【变式2】在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值．【变式3】在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且510sin ,sin 510A B == （I ）求A B +的值；（II ）若21a b -=-，求a b c 、、的值。

高中数学必修5新教学案：第一章解三角形小结与复习

第一章解三角形小结和复习(学案)【知识归类】1．正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注意：（1）R 表示△ABC 外接圆的半径；（2）正弦定理可以变形成各种形式来使用；（3）使用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（4）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，具体后面例题再进一步分析.2.余弦定理：在△ABC 中，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=变形为：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 注意：（1）使用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用；3.△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===. 4.三角形形状的判定方法常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.5.解三角形的使用可大体上把它分成以下三类：（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【题型归类】题型一：正弦定理的使用例1 （1）在△ABC 中， A=030，B=045，a=6,求c ；（2）在△ABC 中，A=030，b=4，a=3,则cosB ；（3）在ΔABC 中，B=030，b=350,c=150,求a. 题型二：余弦定理的使用例2（1）在△ABC 中， a=2，B=060，c=4,求b ；（2）在△ABC 中， a=7，b=3，c=5, 求最大角和sinC ；（3）在△ABC 中， a=3，b=2，045=B ,求c.题型三：判定下列三角形的形状例3（1）在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，判断△ABC 的形状；（2）在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，判断△ABC 的形状；（3）在△ABC 中，若c a b B +==2,600，试判断△ABC 的形状. 变式练习：设12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围？题型四：三角形的面积例4 （1）在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积；（2）在△ABC 中，,32,300==AB B 面积,3=S 求;AC(3) 在△ABC 中，边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，,600=C 求边C 的长. 题型五：三角形恒等式例5 在ABC ∆中，求证AB A c b B c a sin sin cos cos =--. 例6 如图，港口A 北偏东030方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为nmile 31，该轮船从B 处沿正西方向航行nmile 20后到D 处，测得CD 为nmile 21，问此时轮船离港口A 还有多远？【思想方法】1.数学思想：函数和方程、转化和化归、分类讨论的数学思想.2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化和化归的方法、建模法等.【自主检测】一．选择题1．在△ABC 中，若3:2sin :sin =B A ，则边=a b :（）.（A ）492:3：或（B ）32：（C ） 49：（D ）23：.2．在△ABC 中，已知A=30°，a=8，b=38则三角形的面积为（）．（A ）332 （B ）16 （C ）332或16 （D ）332或316．3在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a,b,c 且bc a c b c b a 3))((=-+++，则A 等于（）．（A ）6π （B ）3π （C ）4π （D ）32π 4.在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则∙的值为（）．（A ）19（B ）-14 （C ）-18 （D ）-19 5.若cC b B a A cos cos sin ==，则△ABC 的形状为（）. （A ）等边三角形（B ）等腰直角三角形（C ）有一个角为30°的直角三角形（D ）有一个角为30°的等腰三角形.6. 在直角三角形中，A 、B 为两锐角，则B A sin sin 中（）（A ）有最大值21和最小值0 （B ）有最大值21和无最小值（C ）无最大值也无最小值（D ）有最大值1，但无最小值.二、真空题： 7.在△ABC 中，若B=30°，AB=32，AC=2，则△ABC 的面积为 .8. 已知三角形的三边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为 .9.若以2，3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是 .10.△ABC 中，若AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 .三、解答题：11.已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边，且0322,0222=+-+=---c b a c b a a ，求这个三角形的最大内角.12.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且21)cos(=+B A . 求（1）角C 的度数；（2）AB 的长；（3）△ABC 的面积. 第一章解三角形小结和复习(教案)【知识归类】1．正弦定理：在△ABC 中，R Cc B b A a 2sin sin sin === 注意：（1）R 表示△ABC 外接圆的半径；（2）正弦定理可以变形成各种形式来使用；（3）使用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．（4）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，具体后面例题再进一步分析.2.余弦定理：在△ABC 中，A bc c b a cos 2222-+=，B ac c a b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+= 变形为：bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，abc b a C 2cos 222-+= 注意：（1）使用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；（3）正、余弦定理可以结合使用；3.△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 21sin 21sin 21===. 4.三角形形状的判定方法常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.5.解三角形的使用可大体上把它分成以下三类：（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；（3）角度问题；（4）面积问题.【题型归类】题型一：正弦定理的使用例1 （1）在△ABC 中， A=030，B=045，a=6,求c ；（2）在△ABC 中，A=030，b=4，a=3,则cosB ；（3）在ΔABC 中，B=030，b=350,c=150,求a. 【审题要津】这里已知两角和一边或两边和一对角，适合正弦定理解决的类型.解：（1）0000030,4518003045105.A B C ==∴=--=由正弦定理得006sin1053.sin sin sin 30c a c C A =∴== （2）由正弦定理得0sin sin 4sin 302sin .33B A B b a =∴==又由三角函数同角基本关系得cos B ==(3) 由正弦定理得0sinsin sin c b C C B =∴== 0000150,60C C <<∴=或0120.C =当060C =时，0018090,A B C a =--=∴==当0120C =时，0018030,A B C a =--=∴==故a =a =【方法总结】当已知两边和一对角，求其它时，可能有无解、一解或两解，注意讨论.题型二：余弦定理的使用例2（1）在△ABC 中， a=2，B=060，c=4,求b ；（2）在△ABC 中， a=7，b=3，c=5, 求最大角和sinC ；（3）在△ABC 中， a=3，b=2，045=B ,求c.【审题要津】这里已知两边和夹角或三边求其它，适合余弦定理解决的类型；当已知两边和一对角，求其它时也可使用余弦定理.解：（1）由余弦定理得22202cos 416224cos6012b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=（2）a c b A >>∴∠为最大角. 由余弦定理得22201cos ,120,22b c a A A bc +-==-∴=又由正弦定理得sin 5sin 7c A C a ===（3）由余弦定理得222202cos 32cos 452b a c ac B c c =+-=+-⨯=，解得c =或c = 【方法总结】正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，注意难易方法的选择.题型三：判定下列三角形的形状例3（1）在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，判断△ABC 的形状；（2）在△ABC 中，已知bc a A ==2,21cos ，判断△ABC 的形状；（3）在△ABC 中，若c a b B +==2,600，试判断△ABC 的形状. 【审题要津】这里已知边和角判断△ABC 的形状，正确选择正、余弦定理进行解决.解：（1）由正弦定理得222222a b c R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，222222,0.a b c a b c ∴+<∴+-<由余弦定理得222cos 02a b c C C ab+-=<∴∠，故△ABC 为钝角三角形. （2）060,21cos =∴=A A , 又.2122cos ,,21cos 222222=-+=-+=∴==bc bc c b bc a c b A bc a A ().,02c b c b =∴=-∴ 故△ABC 为等边三角形.（3）解法1由正弦定理得.sin sin sin 2C A B +=,120,120,60000C A C A B -==+∴= ().sin 120sin 60sin 200C C +-=∴ 展开得.1cos 21sin 23=+C C .609030,1)30sin(0000=∴=+∴=+∴C C C ,600=∴A 故△ABC 为等边三角形.解法2由余弦定理得2222cos .b a c ac B =+- ,60cos 22,2,6002220ac c a c a c a b B -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴+== 整理得()20,.a c a c b -=∴==故△ABC 为等边三角形.【方法总结】常用两种途径：（1）由正余弦定理将边转化为角；（2）由正余弦定理将角转化为边；注：化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和和差的三角公式等综合结合起来.变式练习：设12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边，求实数a 的取值范围？解：12,,12-+a a a 为钝角三角形的三边，⎪⎩⎪⎨⎧>->>+∴0120012a a a 解得,21>a 此时12+a 最大，∴要使12,,12-+a a a 是三角形的三边，还需,1212+>+-a a a得.2>a设最长边12+a 所对的角为θ，则()()0128cos <--=a a a a θ，解得,218>>a 故a 的取值范围为.28>>a题型四：三角形的面积例4 （1）在△ABC 中，已知87cos ,6,0222===--A a c bc b ，求△ABC 的面积；（2）在△ABC 中，,32,300==AB B 面积,3=S 求;AC (3) 在△ABC 中，边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，,600=C 求边C 的长.【审题要津】这里已知边和角求△ABC 的面积或变形使用面积公式求解.解：（1）bcc b A 2687,87cos 22-+=∴= . ()().42,02222==∴=+-=--∴c b c b c b c bc b.215,815871sin ,87cos 2=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴=∆ABC S A A (2) ,32,300==AB B ,3=S.2,30sin 3221sin 2130==∴⨯⨯⨯===∴AC a a B ac S (3) 边b a ,的长是方程0252=+-x x 的两个根，.2,5==+∴ab b a().19,192122cos 2,6022220=∴=⨯--+=-+=∴=c ab ab b a C ab b a c C 【方法总结】根据三角形的面积A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===知关键在于两邻边的乘积和夹角的正弦值的积，结合条件直接使用或整体求解.题型五：三角形恒等式例5 在ABC ∆中，求证AB A c b B c a sin sin cos cos =--. 【审题要津】由左边看出含有角和边，可由余弦定理将角的余弦值转化为边的比值，再由正弦定理化变为角的正弦；左边中分子、分母的边是齐次式可由正弦定理将边转化为角求的.证明：解法1 化角为边得：左边()()====-+--+-=A B A R B R a b bca cbc b b c a c a sin sin sin 2sin 22222222右边. 故原等式成立.解法2化边为角得：左边AC C A B C C B A C B B C A cos sin )sin(cos sin )sin(cos sin sin cos sin sin -+-+=∙-∙-= ==AB sin sin 右边. 故原等式成立.【方法总结】解决此类题时，既要用到三角形有关的恒等式，又要用到任意角的三角函数的恒等式；证明时注意分析等式两边的形式是边还是角，便于从正余弦定理转化证得.题型六：使用题例6 如图，港口A 北偏东030方向的C 处有一观测站，港口正东方向的B 处有一轮船，测得BC 为nmile 31，该轮船从B 处沿正西方向航行nmile 20后到D 处，测得CD 为nmile 21，问此时轮船离港口A 还有多远？【审题要津】要求AD 的长，在ACD ∆中，只要求出ACD ∠即可，可由正弦定理求解；要求ACD ∠，可在CDB ∆中，由余弦定理求解CDB ∠.解：易知060=∠A ，设,,βα=∠=∠CDB ACD 在BCD ∆中，由余弦定理得：,712cos 222-=∙-+=BD CD BC BD CD β .734)71(1sin 2=--=∴β.143560sin cos 60cos sin )60sin(sin 000=-=-=∴βββα 在ACD ∆中，由正弦定理得：,sin sin αAD A CD =).(15sin sin nmile ACD AD ==∴α 故此时轮船离港口A 还有.15nmile 【方法总结】正余弦定理在实际使用中很广泛，常见题有：距离、高度、角度等问题；解决时，首先要认真分析题意，找出各量间的关系，根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形模型（数学建模），然后利用正余弦定理求解，最后将结果转化为实际问题.【思想方法】1.数学思想：函数和方程、转化和化归、分类讨论的数学思想.2.数学方法: 数学计算方法、公式法、转化和化归的方法、建模法等.【自主检测题】一．选择题：1．在△ABC 中，若3:2sin :sin =B A ，则边=a b :（ D ）.（A ）492:3：或（B ）32：（C ） 49：（D ）23：.2．在△ABC 中，已知A=30°，a=8，b=38则三角形的面积为（D ）（A ）332 （B ）16 （C ）332或16 （D ）332或3163．在△ABC 中，A 、B 、C 所对边分别为a,b,c 且bc a c b c b a 3))((=-+++，则A 等于（ B ）（A ）6π （B ）3π （C ）4π （D ）32π 4.在△ABC 中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则BC AB ∙的值为（ D ）（A ）19（B ）-14 （C ）-18 （D ）-19 5.若cC b B a A cos cos sin ==，则△ABC 的形状为（ B ）. （A ）等边三角形（B ）等腰直角三角形（C ）有一个角为30°的直角三角形（D ）有一个角为30°的等腰三角形.6. 在直角三角形中，A 、B 为两锐角，则B A sin sin 中（ B ）（A ）有最大值21和最小值0 （B ）有最大值21和无最小值（C ）无最大值也无最小值（D ）有最大值1，但无最小值.二、真空题：7.在△ABC 中，若B=30°，AB=32，AC=2，则△ABC 的面积为 8. 已知三角形的三边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为4315 . 9.若以2，3，x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围是()13,5 . 10.△ABC 中，若AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 ⎥⎦⎤ ⎝⎛6,0π . 三、解答题：11.已知c b a ,,是ABC ∆中角C B A ,,的对边，且0322,0222=+-+=---c b a c b a a ，求这个三角形的最大内角.解：0322,0222=+-+=---c b a c b a a ，.0)32(22=++---∴b a b a a ()()()().341,1341324122+=+-=--=∴a c a a a a b .032,02>--∴>a a b ,.3>∴a ().03.21<+-=-∴a c b .c b <∴又()(),01341>--=-a a a c .a c >∴故是△ABC 中最大的边. 由余弦定理得.212))((2cos 2222-=-++=-+=ab c b c b a ab c b a C 0120=∴C12.在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且21)cos(=+B A . 求（1）角C 的度数；（2）AB 的长；（3）△ABC 的面积.（1）C=120°（2）AB=10（3）23=∆ABC S。

高中数学必修五第一章：解三角形复习课教案.docx

课题：解三角形复习课第课时总序第个教案课型：复习课教学目标：编写时时间：年月日执行时间：年月日批（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、注余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（ 2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

教学重点：运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题。

教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

教学用具：三角板，直尺，投影教学方法：引导 ——讨论 ——归纳教学过程：一 . 本章知识结构正弦定理解三角形应用举例余弦定理二 . 回顾与思考1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a bcsin Asin Bsin C正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

2. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即a 2b 2c 2 2bc cos Ab 2 a 2c 2 2ac cos B c 22b 22cosCaab余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

三 . 综合应用例 1、在 ABC 中 ,求分别满足下列条件的三角形形状：① B=60° ,b 2=ac ；② b 2tanA=a 2tanB ； ③ sinC=sin Asin B④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A － B).cos A cos B分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状 . ①由余弦定理cos60a 2c 2 b 2 a 2 c 2 b 21 a2 c 2ac ac(ac) 2 0 ，2ac 2ac 2a c .由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形.②由b 2 tan A a 2 tan B b2 sin Acos Aa 2 sin B sin B cos A b2sin 2Bsin A cos A sin B cosB,sin 2A sin 2B, cos B sin Acos B a 2sin 2A∴ A=B 或 A+B=90°，∴△ ABC 为等腰△或 Rt△ .③sin C sin Asin B ，由正弦定理：cos A cos Bc(cos A cos B)a b, 再由余弦定理：c a 2b2 c 2c a 2c2 b 2a b2bc2ac(a b)(c2 a 2 b 2 )0, c2 a 2 b 2 ,ABC 为Rt.④ 由条件变形为sin( A B)a2b2sin(A B)a2b2sin( A B)sin( A B) a 2,sin A cos B sin 2Asin 2 A sin 2 B, A或A B90.sin( A B)sin( A B)b2cos Asin B sin2B B∴△ ABC 是等腰△或Rt△ .点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的关系，从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用 . 如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看.例 2、已知ABC 三个内角A、B、 C 满足 A+C=2B,11=－2, 求+cosCcos A cos Bcos A2C的值.A 或 C.分析：A C2B,B60 ,A C120再代入三角式解得解：A C2B,180B2B,B60 .A C120.∴由已知条件化为：11 2 2.cos(120A)cos A22cos(120A)cos Acos Acos(120A C,则 A60, C60.代入上式得：cos(60) A), 设2cos(60)2 2 cos(60) cos(60) .化简整理得4 2 cos2 2 cos320( 2cos2)( 22 cos3)0,cos2,即 cos AC2.222注：本题有多种解法 . 即可以从上式中消去B、C 求出 cosA，也可以象本例的解法.还可以用和、差化积的公式，同学们可以试一试.例 3、海岛O 上有一座海拨轮船在岛北60°东 C 处 ,俯角俯角 60° .1000 米的山 ,山顶上设有一个观察站A,上午30° ,11 时 10 分 , 又测得该船在岛的北11 时 ,测得一60°西 B 处,①这船的速度每小时多少千米？②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点 E 离岛多少千米？分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉解：①如图：所示. OB=OA.tan 303(千米 )， OC 3 （千米）3则BC OB 2OC 22OB OC cos12013（千米）3船速 v 1310239 （千米/小时）360②由余弦定理得：cos OBC OB 2BC 2OC 25 13, sin EBO sin OBC2OB BC261(5 13)2339, cos EBO5 13, sin OEB sin[180 ( EBO30 )]262626sin(EBO30 )sin EBO cos30cos EBO sin 3013 .13再由正弦定理，得OE=1.5（千米），BE 39(千米 ),BE5 （分钟）. 6v答：船的速度为239 千米/小时；如果船的航速不变，它 5 分钟到达岛的正西方向，此时所在点 E 离岛 1.5 千米 .四 . 课堂练习教材 24 页复习参考题五 . 布置课后作业教学后记：。

高一数学必修5系列教案：1.解三角形复习课

趁机复习古典概型和几何概型。（答案分别为 2/5 和 1/2 ，学生多在数字的取舍和开闭区间
当中迷糊）
【归纳小结一】 ( 注：学生导学案中有这些文字，主要留意学生能否点处当中的关键地方
)
1．一般的解三角形的问题可归纳为“知三求其它”的问题，做题中注意结合画图和正余弦
定理的使用条件可较快的得出解题思路。
B． 135o或 45o
C． 45o
D． 30o
选题原因：还是考察画图，大边对大脚基本可直接出答案。
（4）已知 ABC 中，若 a 2 ab b2 c2 0 , 则角 C 的大小是（
）
A．
3
2
B
．
3
C．
6
5
D
．
6
选题原因：纯粹边之间的关系，考虑余弦定理的变形使用。
（5）在Δ ABC中，已知 a＝ 7， b＝ 10， c＝ 6，则三角形的形状为
2．已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理；解三角形
时可能有一解、两解和无解三种情况）．
【达标测评】让学生分析今年试题考察的知识点及隐含的“陷阱”
（1）（2015 广东文）设△ ABC 的内角 , , C 的对边分别为 a ，b ，c ．若 a 2 ，c 2 3 ，
cos A
正弦定理
C
b
a
SAS（全等）
c
A
B
求对角求第三边
正弦定理余弦定理
A+2S
A
C
求对角（注意讨论边角关
正弦定理
系）
b
a
SSA（？）
c B
求余边（设 X，解方程）
余弦定理

高中数学第二章《解三角形》教案北师大版必修5

北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》全部教案一、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3、情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。

教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。

思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ A 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。

能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.探析新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。

如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==C a B (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

高中数学解三角形教案

高中数学解三角形教案
一、教学目标：
1. 了解三角形的定义和性质；
2. 掌握解三角形的方法；
3. 能够运用解三角形的知识解决实际问题。

二、教学重点：
1. 三角形的定义和性质；
2. 解三角形的方法。

三、教学内容：
1. 三角形的定义和性质
2. 解三角形的方法
3. 实例分析
四、教学步骤：
1. 师生互动导入：通过实际例子引入三角形的定义和性质，例如让学生观察周围的物体，
找到其中的三角形并进行分类，引导学生讨论三角形的定义和性质。

2. 教学讲解：讲解三角形的定义和性质，包括三角形的内角和为180度、三边之和大于第三边等性质，引导学生理解三角形的基本概念。

3. 解三角形的方法：介绍解三角形的方法，包括余角、角平分线、作图等方法，讲解每种
方法的应用场景和步骤。

4. 实例分析：通过实际例子进行分析和讨论，引导学生运用解三角形的方法解决实际问题，加深对知识的理解和应用能力。

五、教学评价：
教师可通过课堂练习、作业和小测验等方式进行教学评价，检验学生对三角形的理解和解
题能力。

六、拓展延伸：
师生可通过课外探究、实验等方式拓展三角形的相关知识，激发学生的学习兴趣，提高学
生的综合能力。

七、教学反思：
教师应及时总结本节课的教学效果，结合学生的表现和反馈，不断优化教学方法，提高教学质量。

高中数学必修5解三角形教案

第 2 章解三角形2.1.1正弦定理教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 .教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数 .教学过程：一、复习准备：1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形 . 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理二、讲授新课：1. 教学正弦定理的推导：①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A=acsin B=b csin C=1 即 c=ab c sin A sin Bsin C.② 能否推广到斜三角形？（先研究锐角三角形，再探究钝角三角形）当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD ，根据三角函数的定义，有 CDa sin Bb sin A ,则ab sin A sin B. 同理，ac sin Asin C（思考如何作高？），从而ab c sin Asin Bsin C.③ * 其它证法：证明一：（等积法）在任意斜 △ ABC 当中 S △ ABC = 11 1ab s in C acsin B bc sin A . 2 2 2 Ca两边同除以 1 2 abc 即得：a sin A =b sin B = csin C. bAO cDBaa 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠ D ，∴2CD Rsin AsinD，同理 b sin B =2 R ，c sin C＝2R. 1证明三：（向量法）过 A 作单位向量j 垂直于AC ，由AC + CB = AB 边同乘以单位向量j 得⋯..④正弦定理的文字语言、符号语言，及基本应用：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值.2.1.2教学例题：①出示例1：在ABC 中，已知0A 45 ，B 60 ，a 42 cm ，解三角形.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两角一边②出示例2：0ABC中，c 6, A 45 ,a 2,求b和B,C .分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范格式→小结：已知两边及一边对角③练习：0ABC中，b 3,B 60 ,c 1,求a和A,C .在ABC 中，已知 a 10 cm ，b 14 cm，0A 40 ，解三角形（角度精确到1 ，边长精确到 1 cm）④讨论：已知两边和其中一边的对角解三角形时，如何判断解的数量？2.1.3小结：正弦定理的探索过程；正弦定理的两类应用；已知两边及一边对角的讨论.三、巩固练习：3.已知ABC 中，A=60 °， a 3 ，求a b csin A sinB sinC.4.作业：教材P5 练习1 (2) ，2 题.22.1.4余弦定理（一）教学要求：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点：向量方法证明余弦定理.教学过程：一、复习准备：5.提问：正弦定理的文字语言？符号语言？基本应用？6.练习：在△A BC 中，已知 c 10 ，A=45 ，C =30 ，解此三角形. →变式7.讨论：已知两边及夹角，如何求出此角的对边？二、讲授新课：2.教学余弦定理的推导：①如图在ABC 中，AB、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .Cba ∵AC AB BC ，∴AC AC ( AB BC) ( AB BC) 2 2AB 2AB BC BC A Bc2 2AB 2| AB| | BC |cos(180 B) BC 2 2 cos 2c ac B a . 即 2 2 2 2 cosb c a ac B ，→②试证： 2 2 2 2 cosa b c bc A ，2 2 2 2 cosc a b ab C .③提出余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.用符号语言表示 2 2 2 2 cosa b c bc A ，⋯等；→基本应用：已知两边及夹角④讨论：已知三边，如何求三角？→余弦定理的推论：cos A2 2 2b c a2bc，⋯等.⑤思考：勾股定理与余弦定理之间的关系？3.教学例题：①出示例1：在ABC 中，已知 a 2 3 ，c 6 2 ，0B 60 ，求 b 及A.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→示范求 b→讨论：如何求A？（两种方法）（答案： b 2 2 ，0A 60 ）→小结：已知两边及夹角3②在ABC 中，已知 a 13 c m ，b 8cm ，c 16cm ，解三角形.分析已知条件→讨论如何利用边角关系→分三组练习→小结：已知两角一边2.1.5练习：①在ΔABC 中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B 和 C.②在ΔABC 中，已知a＝2，b＝3，C＝82°，解这个三角形.2.1.6小结：余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边及它们的夹角，求第三边.三、巩固练习：0 ）8.在ABC 中，若 2 2 2a b c bc，求角 A. （答案：A=1209.三角形ABC 中，A＝120 °，b＝3，c＝5，解三角形.→变式：求sin BsinC；sin B＋sinC .10.作业：教材P8 练习1、2（1）题.42.1.7 .3 正弦定理和余弦定理（练习）教学要求：进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程：一、复习准备：11.写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.12.讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：4.教学三角形的解的讨论：①出示例1：在△ABC 中，已知下列条件，解三角形.，a＝25，b＝50 2 ；(ii ) A＝，a＝25 2 ，b＝50 2 ；(i ) A＝6 6(iii ) A＝6 ，a＝50 63，b＝50 2 ；(iiii ) A＝6，a＝50，b＝50 2 .分两组练习→讨论：解的个数情况为何会发生变化？②用如下图示分析解的情况. （A 为锐角时）已知边a,b 和 AC CC CAb b ab baaaaAAAH B B1 H HB2a ba<CH=bsinACH=bsinA<a<ba=CH=bsinA仅有一个解无解有两个解仅有一个解B②练习：在△ABC 中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.(i ) A＝23，a＝25，b＝50 2 ；(ii ) A＝23，a＝25，b＝10 2例1.根据下列条件，判断解三角形的情况(1) a＝20，b＝28，A＝120 °.无解(2) a＝28，b＝20，A＝45°；一解(3) c＝54，b＝39，C＝115°；一解(4) b＝11，a＝20，B＝30°；两解5.教学正弦定理与余弦定理的活用：5①出示例2：在△ABC 中，已知sin A∶sinB∶sin C=6 ∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知条件可以如何转化？→引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.②出示例3：在ΔABC 中，已知a＝7，b＝10，c＝6，判断三角形的类型. 分析：由三角形的什么知识可以判别？→求最大角余弦，由符号进行判断结论：活用余弦定理，得到：2 2 2a b c A是直角ABC是直角三角形2 2 2a b c A是钝角ABC是钝角三角形2 2 2a b c A ABC是锐角三角形是锐角③出示例4：已知△ABC 中， b cos C c cosB，试判断△ABC 的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角？→再思考：又如何将角化为边？2.1.8小结：三角形解的情况的讨论；判断三角形类型；边角关系如何互化.三、巩固练习：13.已知a、b 为△ABC 的边，A、B 分别是a、b 的对角，且s in A 2sin B 3，求a bb的值14.在△ABC 中，sin A:sin B:sin C＝4:5:6 ，则c osA :cosB :cos C＝.15.作业：62.1.9三角形中的几何计算一、设疑自探正弦定理、余弦定理是两个重要的定理，在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高二数学教学案
班级姓名使用时间年月日编号审批人课题解三角形专题总结与复习
编制人李伟审核人
桑园
学习目标掌握正、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题；熟练运用正、余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

重点难点
重点：正、余弦定理的内容.
难点：运用正、余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
“研讨理解”阶段
一、目标导学：
学生认真学习“目标导学”，明确本节课的学习内容及要求。

（大约1分钟）二、文本自学： 1.基础知识
解斜三角形时可用的定理和公式
适用类型
备注
余弦定理⎪⎩
⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ba a b c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222
22222
类型①②有解时只有
一个
正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === 类型③有解时只有一
个，类型④可有两解、一解或无解
三角形面积公式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=C ab B ac A bc S sin 2
1sin 2
1
sin 21
2．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
3．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：
sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-
的三角形的最大角与最小角之和。

∠=∠
B。