平面的三个推论的证明

平面的三个推论的证明
1. 平面内相交的两条直线必有交点。

证明：设有两条直线，分别为l1和l2。

若l1与l2没有交点，
则l1与l2平行。

而根据平行线的性质可知，l1和l2距离相等。

但是，由于平面是无限大的，所以l1和l2中必然存在一点P，使得P到l1
的距离小于l1到l2的距离，又P到l2的距离小于l1到l2的距离，
这就意味着P既在l1上，又在l2上，所以两条直线必定存在交点。

2. 平面内任意三点必不共线。

证明：设有三个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。

若这三点共线，则存在斜率k满足k=(y2-y1)/(x2-x1)=(y3-y1)/(x3-x1)，即
(k*(x2-x1)+y1)=y2，(k*(x3-x1)+y1)=y3。

由此得出B和C坐标在直
线y=k*(x-x1)+y1上，即B和C必定与A不重合，因此三点必不共线。

3. 平面内任意一对向量必能表示为另外两个向量的线性组合。

证明：设有两个向量A(x1,y1)和B(x2,y2)。

则任意一个非零向
量都可以表示为它们的线性组合C=a*A+b*B（a,b为实数）。

现在需要
证明的是，对于任意的A和B，总能找到使得线性组合C的两个系数
a,b全都不为0的向量D。

不妨设A和B不共线，则C可以表示成两个
线性无关向量D和E的线性组合，即C=c*D+d*E（c,d为实数）。

由此可以得出，D和E必须要在同一条直线上，因为如果不在同
一条直线上，那么C就可以表示为三个不共线向量的线性组合，这与A 和B不共线的条件矛盾。

设D为A，那么E可以表示为B和D的线性组合E=a*B+b*D（a,b为实数），此时可以将C表示为线性组合D和E，
即C=c*D+(ca+db)*B，其中ca+db≠0。

因此，对于任意的A和B，总能找到一个向量D和实数c、d使得线性组合C=a*A+b*B可以表示为
C=c*D+d*E（c,d为实数）的形式，且c和d不全为0。