山东省临沂市2020年八年级第二学期期末教学质量检测数学试题含解析

山东省临沂市2020年八年级第二学期期末教学质量检测数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）
A ．AB=DE
B ．AC=DF
C ．∠A=∠
D D ．BF=EC
2．某校八年级有452名学生，为了了解这452名学生的课外阅读情况，从中抽取50名学生进行统计．在这个问题中，样本是（ ）
A ．452名学生
B ．抽取的50名学生
C ．452名学生的课外阅读情况
D ．抽取的50名学生的课外阅读情况
3．在平面直角坐标系中，点P （﹣3，4）关于y 轴对称点的坐标为（ ）
A ．（﹣3，4）
B ．（3，4）
C ．（3，﹣4）
D ．（﹣3，﹣4） 423a +a 的取值范围是( )
A ．a≥32-
B ．a≤32-
C ．a>32-
D ．a<32
- 5．下列式子是分式的是（ ） A ．32x B ．20x y + C ．x 2y D ．1π 6．下列运算正确的是( )
A 23x x x =
B ．333=1
C ．2525+=
D ．(x n x m n x =-7．点M 的坐标是（3，﹣4），则点M 到x 轴和y 轴和原点的距离分别是（ ）
A ．4，3，5
B ．3，4，5
C ．3，5，4
D ．4，5，3
8．在Rt ABC 中，斜边10BC =，则22(AB AC += )
A ．10
B ．20
C ．50
D ．100
9．已知一次函数y ＝kx ﹣b （k≠0）图象如图所示，则kx ﹣1＜b 的解集为（ ）
A ．x ＞2
B ．x ＜2
C ．x ＞0
D ．x ＜0
10．矩形ABCD 中AB=10，BC=8，E 为AD 边上一点，沿CE 将△CDE 对折，点D 正好落在AB 边上的F 点．则AE 的长是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题
11．若反比例函数y ＝k x
的图象经过点（2，﹣3），则k ＝_____． 12．小刚从家到学校的路程为2km ，其中一段是lkm 的平路，一段是lkm 的上坡路．已知小刚在上坡、平路和下坡的骑车速度分别为akm/h ，2akm/h ，3akm/h ，则小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多_____h ．
13．如图①，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →D →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ．图②是点F 运动时，△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值是__
14．四边形ABCD 为菱形，该菱形的周长为16，面积为8，则∠ABC 为_____度．
15．如图，在平行四边形ABCD 中DB CD =，AE BD ⊥于点E ，若64C ∠=︒，则DAE ∠的度数为________．
16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：______，使四边形ABCD为平行四边形（不添加任何辅助线）．
17．一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4 min内只进水不出水，在随后的8 min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为________________
三、解答题
18．某项工程由甲乙两队分别单独完成，则甲队用时是乙队的1.5倍：若甲乙两队合作，则需12天完成，请问：
（1）甲，乙两队单独完成各需多少天；
（2）若施工方案是甲队先单独施工x天，剩下工程甲乙两队合作完成，若甲队施工费用为每天1.5万元，乙队施工费为每天3.5万元求施工总费用y（万元）关于施工时间x（天）的函数关系式
（3）在（2）的方案下，若施工期定为15~18天内完成（含15和18天），如何安排施工方案使费用最少，最少费用为多少万元？
19．（6分）如图，点P是正方形ABCD的边BC上的任意一点，连接AP，作DE⊥AP，垂足是E，BF⊥AP，垂足是F.求证：DE＝BF＋EF.
20．（6分）如图，反比例函数y＝k
x
（k＞0）的图象与一次函数y＝
3
4
x的图象交于A、B两点（点A在
第一象限）．
（1）当点A 的横坐标为4时．
①求k 的值；
②根据反比例函数的图象，直接写出当﹣4＜x ＜2（x≠0）时，y 的取值范围；
（2）点C 为y 轴正半轴上一点，∠ACB ＝90°，且△ACB 的面积为10，求k 的值．
21．（6分）阅读理解：
定义：有三个内角相等的四边形叫“和谐四边形”.
(1)在“和谐四边形”ABCD 中，若135B ∠=︒，则A ∠= ；
(2)如图，折叠平行四边形纸片DEBF ，使顶点E ，F 分别落在边BE ，BF 上的点A ，C 处，折痕分别为DG ，DH .
求证：四边形ABCD 是“和谐四边形”.
22．（8分）如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且CE=BF.连结DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG=DE ，连结FG 、FC
（1）请判断:FG 与CE 的数量关系是 ________，位置关系是________ 。

（2）如图2，若点E 、F 分别是边CB 、BA 延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;
（3）如图3，若点E 、F 分别是边BC 、AB 延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断。

23．（8分）如图，将ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的D 处，折痕交CD 边于点E ，连接BE .
（1）求证：四边形BCED '是平行四边形；
（2）若BE 平分ABC ∠，求证：222AB AE BE =+.
24．（10分）如图矩形ABCD 中,AB=12,BC=8,E 、F 分别为AB 、CD 的中点,点P 、Q 从A ．C 同时出发,在边AD 、CB 上以每秒1个单位向D 、B 运动,运动时间为t(0<t<8).
(1)如图1，连接PE 、EQ 、QF 、PF ，求证：无论t 在0<t<8内取任何值，四边形PEQF 总为平行四边形；
(2)如图2，连接PQ 交CE 于G ，若PG=4QG ，求t 的值；
(3)在运动过程中，是否存在某时刻使得PQ ⊥CE 于G?若存在，请求出t 的值：若不存在，请说明理由
25．（10分）下面是小明化简221112111x x x x x x x
-+-÷⋅-+-+的过程 解：221112111x x x x x x x -+-÷⋅-+-+＝221(1)21
x x x -÷--+ ① ＝2
(1)(1)(1)x x x --+- ② ＝﹣11
x x +- ③ （1）小明的解答是否正确？如有错误，错在第几步？ （2）求当x ＝
23时原代数式的值．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．C
【解析】
试题分析：解：选项A 、添加AB=DE 可用AAS 进行判定，故本选项错误；
选项B 、添加AC=DF 可用AAS 进行判定，故本选项错误；
选项C 、添加∠A=∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项正确；
选项D 、添加BF=EC 可得出BC=EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项错误．
故选C．
考点：全等三角形的判定．
2．D
【解析】
【分析】
根据样本是总体中所抽取的一部分个体，可得答案．
【详解】
解：为了了解这452名学生的课外阅读情况，从中抽取50名学生进行统计，在这个问题中，样本是从中抽取的50名学生的课外阅读情况．
故选：D．
【点睛】
本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
3．B
【解析】
【分析】
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【详解】
解：点P（﹣3，4）关于y轴对称点的坐标为（3，4）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．A
【解析】
【分析】
直接利用二次根式有意义则2a+3≥0，进而得出答案．
【详解】
在实数范围内有意义，则2a+3≥0，
解得：
3
a
2≥-．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
5．B
【解析】
【分析】
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】
解：3
2
x
，x2y，
1
π
均为整式，
20
x y
+
是分式，
故选：B 【点睛】
本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以1
π
不是分式，是整式．
6．D
【解析】
【分析】根据二次根式加减法则进行分析.同类二次根式才可合并.
【详解】
A. ≠, 不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
B.
C. 2+≠，不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；
D. (m n
=-.故本选项正确.
故选：D
【点睛】本题考核知识点：二次根式的加减.解题关键点：合并同类二次根式. 7．A
【解析】
【分析】
直接利用点M的坐标，结合勾股定理得出答案．
【详解】
解：∵点M的坐标是（3，﹣4），
∴点M到x轴的距离为：4，到y轴的距离为：3，
1．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了点的坐标，正确理解横纵坐标的意义是解题关键．
8．D
【解析】
【分析】
根据勾股定理计算即可.
【详解】
∠=，
在Rt ABC中，A90
222
AB AC BC100
∴+==，
故选：D．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是记住在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
9．C
【解析】
【分析】
将kx-1＜b转换为kx-b＜1，再根据函数图像求解.
【详解】
由kx-1＜b得到：kx-b＜1．
∵从图象可知：直线与y轴交点的坐标为（2，1），
∴不等式kx-b＜1的解集是x＞2，
∴kx-1＜b的解集为x＞2．
故选C．
【点睛】
本题考查的是一次函数的图像，熟练掌握函数图像是解题的关键.
10．A
【解析】
【分析】
由矩形的性质和折叠的性质可得CF=DC=10，DE=EF，由勾股定理可求BF的长，即可得AF=4，在Rt△AEF 中，由勾股定理即可求得AE的长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=10，BC=AD=8，∠A=∠D=∠B=90°，
∵折叠，
∴CD=CF=10，EF=DE，
在Rt△BCF中，，
∴AF=AB-BF=10-6=4，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
∴AE2+16=(8-AE)2，
∴AE=3，
故选A．
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．二、填空题
11．-1
【解析】
【分析】
把点A（2，﹣3）代入y＝k
x
求得k的值即可．
【详解】
∵反比例函数y＝k
x
的图象经过点（2，﹣3），
∴﹣3＝k
2
，
解得，k＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法求得一次函数解析式是解题的关键．
12．
2 3a
【解析】
【分析】
本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程、速度所用时间不变．题中的等量关系是：从家到学校的路程为2千米；去时上坡时间+平路时间=从家到学校的总时间；回时下坡时间+平路时间=从学校回家花费的时间，据此可列式求解.
【详解】
小刚骑车从家到学校比从学校回家花费的时间多：(112a a + )-（11+32a a ）=112a a +-11-32a a =h ， 故答案为：
23a
【点睛】 本题考查列代数式，解答本题的关键读懂题意，找出合适的数量关系. 13．52
【解析】
【分析】
过点D 作DE ⊥BC 于点E ，通过分析图象，点F 从点A 到D 用a s ，此时，△FBC 的面积为a ，依此可求菱形的高DE ；再由图象可知，BD=5，在Rt △DBE 中应用勾股定理求BE 的值，进而在Rt △DEC 应用勾股定理求a 的值.
【详解】
过点D 作DE ⊥BC 于点E.
由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为a s ，△FBC 的面积为a cm 2．
∴AD=a ，
∴12
DE·AD=a ， ∴DE=2.
当点F 从D 到B 5，
∴5Rt △DBE 中，
()2222
=5-2=1BD BE -. ∵ABCD 是菱形，
∴EC=a-1，DC=a ，
Rt △DEC 中，a 2=22+(a-1)
2， 解得a=52
.
【点睛】
此题考查菱形的性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系；14．30或150
【解析】
如图1所示：当∠A为钝角,过A作AE⊥BC,
∵菱形ABCD的周长为l6，∴AB=4，∵面积为8，∴AE=2，∴∠ABE=30°，
∴∠ABC=60°，
当∠A为锐角时，如图2，过D作DE⊥AB，
∵菱形ABCD的周长为l6，∴AD=4，∵面积为8，∴DE=2，
∴∠A=30°，∴∠ABC=150°，故答案为30或150.
15．26°
【解析】
【分析】
=可得△DBC为等腰三角形，则有∠DBC=∠C=64°，再根据平行四边形的对边互相平行，可根据DB CD
得∠ADB=∠DBC=64°，最后再根据内角和定理来求得∠DAE的度数．
【详解】
=，∠C=64°，
解：∵DB CD
∴∠DBC=∠C=64°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=64°，
⊥，
又∵AE BD
∴∠DAE=90°−64°=26°．
故答案为：26°．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形和等腰三角形的性质，熟练掌握是解题的关键．
16．AD=BC．
【解析】
【分析】
直接利用平行四边形的判定方法直接得出答案．
【详解】
当AD ∥BC ，AD=BC 时，四边形ABCD 为平行四边形．
故答案是AD=BC （答案不唯一）．
17．154
L 【解析】
【分析】
由前4分钟的进水量求得每分钟的进水量，后8分钟的进水量求得每分钟的出水量．
【详解】
前4分钟的每分钟的进水量为20÷4＝5，
每分钟的出水量为5－(30－20)÷8＝
154
． 故答案为154L ． 【点睛】
从图象中获取信息，首先要明确两坐标轴的实际意义，抓住交点，起点，终点等关键点，明确函数图象的变化趋势，变化快慢的实际意义．
三、解答题
18．（1）甲、乙两队单独完成分别需30天，20天；（2）y=0.5x+60;（3）甲队先施工10天，再甲乙合作8天，费用最低为55万元
【解析】
【分析】
（1）设乙队单独完成需a 天，则甲队单独完成需1.5a 天，根据题意列出方程即可求解；
（2）设甲乙合作完成余下部分所需时间为w 天，根据题意得到w 与x 的关系，根据题意即可写出y 与x 的关系式；
（3）根据施工期定为15~18天内完成得到x 的取值范围，再根据一次函数的性质求出y 的最小值.
【详解】
（1）设乙队单独完成需a 天，则甲队单独完成需1.5a 天， 根据题意列：111211.5a a ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭
， 解得，a=20，经检验：a=20是所列方程的根，且符合题意，所以1.5a=30，
答：甲、乙两队单独完成分别需30天，20天；
（2）设甲乙合作完成余下部分所需时间为w 天， 依题意得1303020
x w w ++=，
解得，w=
2
5
-x+12
∴y=1.5x+（1.5+3.5）（
2
5
-x+12）=-0.5x+60；
（3）由题可得15≤x
2
5
-x+12≤18，
解得5≤x≤10，
∵y=-0.5x+60中k<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=10时，y最小=-0.5×10+60=55，
此时，甲队先施工10天，再甲乙合作8天，费用最低为55万元.
【点睛】
此题主要考查分式方程的应用和解法，一次函数的性质等知识，正确的列出分式方程、求出费用与时间之间的函数关系式是解决问题的关键．
19．见解析
【解析】
【分析】由正方形性质和垂直定义，根据AAS证明△ABF≌△DAE，得BF=AE．DE=AF，
可得结论.
【详解】解：∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵DE⊥AG，∴∠DEG=∠AED=90°∴∠ADE＋∠DAE=90°
又∵∠BAF＋∠DAE=∠BAD=90°，∴∠ADE=BAF．
∵BF∥DE，∴∠AFB=∠DEG=∠AED．
在△ABF与△DAE中，
AD=AB，
∴△ABF≌△DAE(AAS)．
∴BF=AE．DE=AF，
∵AF=AE＋EF，
∴DE=BF＋EF．
【点睛】本题考核知识点：正方形性质.解题关键点：证三角形全等得对应线段相等.
20．（1）①k＝12；②y的取值范围是y＜﹣3或y＞6；（2）k＝6.
【解析】
【分析】
（1）①先求得点A的坐标，再把点A的坐标代入y＝k
x
（k＞0）即可求得k值；②求得当x＝﹣4和x
＝2时y 的值，结合图像，再利用反比例函数的性质即可求得y 的取值范围；（2）设点A 为（a ，
34a ），根据勾股定理求得OA ＝54a ，根据函数的对称性及直角三角形斜边的性质可得OA ＝OB ＝OC ＝54a ，根据
三角形的面积公式求得a ＝A 为（，代入即可求得k 值. 【详解】
（1）①将x ＝4代入y ＝
34x 得，y ＝3， ∴点A （4，3），
∵反比例函数y ＝k x （k ＞0）的图象与一次函数y ＝34
x 的图象交于A 点， ∴3＝4
k ，∴k ＝12； ②∵x ＝﹣4时，y ＝
124-＝﹣3，x ＝2时，y ＝6， ∴由反比例函数的性质可知，当﹣4＜x ＜2（x ≠0）时，
y 的取值范围是y ＜﹣3或y ＞6；
（2）设点A 为（a ，34
a ），
则OA ＝54a ， ∵点C 为y 轴正半轴上一点，∠ACB ＝90°，且△ACB 的面积为10，
∴OA ＝OB ＝OC ＝54
a ， ∴S △ACB ＝BOC AOC S S ∆∆+ =
1122OC a OC a ⨯⨯+⨯⨯=15224a a ⨯⨯＝10，
解得，a ＝
∴点A 为（，2
），
∴
2， 解得，k ＝6.
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式是解决问题的关键．
21．（1）75︒；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据四边形的内角和是360°，即可得到结论；
（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E＝∠F，且∠E＋∠EBF＝180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB＝∠DCB＝∠ABC即可．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是“和谐四边形”，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，
∵∠B＝135°，
∴∠A＝∠D＝∠C＝1
3
（360°−135°）＝75°，
故答案为：75°；
（2）证明：∵四边形DEBF为平行四边形，
∴∠E＝∠F，且∠E＋∠EBF＝180°．
∵DE＝DA，DF＝DC，
∴∠E＝∠DAE＝∠F＝∠DCF，
∵∠DAE＋∠DAB＝180°，∠DCF＋∠DCB＝180°，∠E＋∠EBF＝180°，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ABC，
∴四边形ABCD是“和谐四边形”．
【点睛】
本题主要考查了翻折变换−折叠问题，四边形的内角和是360°，平行四边形的性质等，解题的关键是理解和谐四边形的定义．
22．（1）FG=CE，FG∥CE；（2）详见解析；（3）成立，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=CE，FG∥CE；
（2）构造辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形GHBF是矩形后，利用等量代换即可求出FG=CE，FG∥CE；
（3）证明△CBF≌△DCE，即可证明四边形CEGF是平行四边形，即可得出结论．
【详解】
（1）FG=CE，FG∥CE；理由如下：
过点G作GH⊥CB的延长线于点H，如图1所示：
则GH ∥BF ，∠GHE=90°，
∵EG ⊥DE ，
∴∠GEH+∠DEC=90°，
∵∠GEH+∠HGE=90°，
∴∠DEC=∠HGE ，
在△HGE 与△CED 中，
GHE DCE HGE DEC
EG DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，
∴△HGE ≌△CED （AAS ），
∴GH=CE ，HE=CD ，
∵CE=BF ，
∴GH=BF ，
∵GH ∥BF ，
∴四边形GHBF 是矩形，
∴GF=BH ，FG ∥CH
∴FG ∥CE ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴CD=BC ，
∴HE=BC ，
∴HE+EB=BC+EB ，
∴BH=EC ，
∴FG=EC ；
（2）FG=CE ，FG ∥CE 仍然成立；理由如下：
过点G 作GH ⊥CB 的延长线于点H ，如图2所示：
∵EG ⊥DE ，
∴∠GEH+∠DEC=90°，
∵∠GEH+∠HGE=90°，
∴∠DEC=∠HGE ，
在△HGE 与△CED 中，
GHE DCE HGE DEC
EG DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，
∴△HGE ≌△CED （AAS ），
∴GH=CE ，HE=CD ，
∵CE=BF ，∴GH=BF ，
∵GH ∥BF ，
∴四边形GHBF 是矩形，
∴GF=BH ，FG ∥CH
∴FG ∥CE ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴CD=BC ，
∴HE=BC ，
∴HE+EB=BC+EB ，
∴BH=EC ，
∴FG=EC ；
（3）FG=CE ，FG ∥CE 仍然成立．理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC=CD ，∠FBC=∠ECD=90°，
在△CBF 与△DCE 中，
BF CE FBC ECD BC DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ，
∴△CBF≌△DCE（SAS），
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵EG=DE，∴CF=EG，
∵DE⊥EG
∴∠DEC+∠CEG=90°
∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠CDE=∠CEG，
∴∠BCF=∠CEG，
∴CF∥EG，
∴四边形CEGF平行四边形，
∴FG∥CE，FG=CE．
【点睛】
四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识．本题综合性强，有一定难度，解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从而求证出平行四边形．
23．（1）详见解析；（1）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DAD′E是平行四边形，进而求出四边形BCED′是平行四边形；
（1）利用平行线的性质结合勾股定理得出答案．
【详解】
（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，
∵DE∥AD′，
∴∠DEA=∠EAD′，
∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，
∴∠DAD′=∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，
∴DE=AD′，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴CE ∥D′B，
∴四边形BCED′是平行四边形；
（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠EBA，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠DAE=∠BAE，
∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AB1=AE1+BE1．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，得出四边形DAD′E是平行四边形是解题关键．
24．（1）见解析；（2）8
3
；（3）不存在，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质得出CD=AB=12，AD=BC=8，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，由SAS证明△APE≌△CQF，得出PE=QF，同理：PF=QE，即可得出结论；
（2）根据题意得：AP=CQ=t，∴PD=QB=8-t，作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，证出EH是梯形ABQP的
中位线，由梯形中位线定理得出EH=1
2
（AP+BQ）=4，证出GH：GQ=3：2，由平行线得出△EGH∽△CGQ，
得出对应边成比例
3
2
EH GH
CQ GQ
==，即可得出t的值；
（3）由勾股定理求出22
BE BC
+=10，作EM∥BC交PQ于M，由（2）得：ME=4，证出△GCQ∽△BCE，
得出对应边成比例求出CG=t 4
5
，得出EG=10-
4
5
t，由平行线证明△GME∽△GQC，得出对应边成比例，
求出t=0或t=8.5，即可得出结论．
【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=12,AD=BC=8,∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=BE=6，DF=CF=6，
∴AE=BE=DF=CF，
∵点P、Q从A. C同时出发，在边AD、CB上以每秒1个单位向D、B运动，∴AP=CQ=t，
在△APE和△CQF中,
AE CF
A C
AP CQ
⎧=
∠=∠
=
⎪
⎨
⎪
⎩
，
∴△APE≌△CQF(SAS),
∴PE=QF，
同理：PF=QE，
∴四边形PEQF总为平行四边形；
(2)根据题意得：AP=CQ=t，
∴PD=QB=8−t，
作EF∥BC交CD于E，交PQ于H，如图2所示：
则F为CD的中点，H为PQ的中点，EF=BC=8，
∴EH是梯形ABQP的中位线，
∴EH=
1
2
(AP+BQ)=4，
∵PG=4QG，
∴GH:GQ=3:2，
∵EF∥BC，
∴△EGH∽△CGQ，
∴=
EH GH
CQ GQ
=
3
2
,即4t=
3
2
，
解得：t=
8
3
，
∴若PG=4QG,t的为
8
3
值;
(3)不存在，理由如下：
∵∠B=90°，BE=6，BC=8，
∴CE=22
BE BC
+=10，
作EM∥BC交PQ于M，如图3所示：
由(2)得：ME=4，
∵PQ⊥CE，
∴∠CGQ=90°=∠B，
∵∠GCQ=∠BCE，
∴△GCQ∽△BCE，
∴=
CG CB
CQ CE
,即
CG
t
=
8
10
，
∴CG=
4
5
t，
∴EG=10−
4
5
t，
∵EM∥BC，
∴△GME∽△GQC，
∴=
EM EG
CQ CG
,即
4
10
45
4
5
t
t t
-
=，
解得：t=0或t=8.5，
∵0<t<8，
∴不存在。

【点睛】
此题考查四边形综合题，解题关键在于作辅助线
25．（1）第①步（2）
1
5
【解析】
【分析】
（1）根据分式的乘除法可以明确小明在哪一步出错了，从而可以解答本题；
（2）根据分式的乘除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
（1）小明的解答不正确，错在第①步；
（2）221112111x x x x x x x
-+-÷⋅-+-+ ＝2(1)(1)11(1)11x x x x x x x
+---⋅⋅-++ ＝
11x x -+， 当x ＝23时，原式＝2
1132513-
=+． 【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．。