《高等数学(一)》作业参考答案

《高等数学（一）》作业参考答案
一、求下列函数的定义域
（1）[0，+∞]；
（2）（-1，∞+）。

（3）(,
1)(1,)-∞-∞ ；
二、用区间表示变量的变化范围：
（1）(],6-∞
（2）[]2,
0 （3）[]3,5-
三、求下列极限
(1）[]
3313)1(lim )1(lim e x x x x x x x =+=+∞→∞→； (2)h
h xh h x h x h h 2
02202lim )(lim +=-+→→ =x h x h 2)2(lim 0
=+→
(3)lim 1n n n →∞== (4）22
11lim 1lim 2lim 12(lim x x x x x x x x ∞→∞→∞→∞→+-=+- =2 (5)0lim 1=∞
→x x , 且2arctan π≤x , 0arctan lim =∴∞→x
x x (6)x
x x x x x x x sin 2sin 2lim sin 22cos 1lim 200→→=- =1sin lim 0=→x
x x ; (7）)2)(1)(1(61lim 6)12)(2)(1(lim
1213n n n n n n n n n +++=+++∞→∞→ =;3
1
(8)00sin 555lim lim ;sin 222
x x x x x x →→== (9))
45)(1()45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x +----=---→→ =2454lim 1
=+-→x x x (10）31lim 3lim 13(lim 33=+=+∞→∞→∞→n
n n n n ； (11);1lim sin )sin(lim 55
0550==→→x
x x x x x (12)33lim 3tan lim 00==→→x x x
x x x （13）32000sin 1cos sin 1lim lim lim 366
x x x x x x x x x x →→→--=== （14）2222112211lim lim 134324x x x x x x x x x x →∞→∞+
-+-==-+-+
四、求下列函数的微分：
（1）[])4sin(+=wt A d dy
=)4sin(+wt Ad
=)4()4cos(++wt d wt A
=dt wt Aw )4cos(+
(2)[])3cos(x e d dy x -=-
=)3cos()3cos(x d e de x x x -+---
=dx x e dx x e x x )3sin()3cos(-+----
=[]dx x x e x )3cos()3sin(----
五、求下列函数的导数 (1）463'2+-=x x y ；
(2）x x x y 2sin cos sin 2'==；
(3）)'ln 1(ln 11'222
1x x y +⋅+⋅= =x x x
x x x
221
ln 1ln ln 12ln 2+=+⋅
(4)'1sin '(cos )tan ;cos cos x y x x x x
-===- (5);ln 1ln )ln ('221
'x
x x x x x x y x -=-⋅== (6)'2')21()21(1)211(
'x x x y +⋅+-=+= =2)
21(2x +-; (7)4)7(5'+=x y ;
(8) 221212)'1('x x xe x e y ++=+⋅=;
(9)3.013.13.13.1'x x y ==-; (10)2
2212)'1(11'x x x x y +=+⋅+=； (11)313)52(8)52()52(4'+=+⋅+=x x x y (12)x x x x y ln 1)'(ln ln 1'==
六、求下列函数的二阶导数
（1）x y +=11'， 2
)1(1''x y +-=； （2）x x e x xe y 22222'+=
x x x x e x xe xe e y 222224442''+++=
=)241(222x x e x ++
（3）,cos 'x y = ;sin ''x y -=
七、求下列不定积分
(1）12x dx c
-==⎰; (2)dx x xdx ⎰
⎰+=22cos 1cos 2 =c x x ++2sin 4
121; (3)
c x x dx ++=+⎰1ln 1; (4)⎰
⎰-=x xd xdx cos sin sin 23
=x d x cos )cos 1(2⎰
-- =⎰⎰
-x d x xd cos cos cos 2 =c x x +-cos cos 3
1
3; (5)⎰⎰--=-14)14(4114x x d x dx =
c x +-14ln 41; (6)⎰⎰⎰+=+x dx xdx dx x x
822(8
=28ln x x c ++; (7）dx x dx x x ⎰⎰+-=+)111(122
2 =c x x +-arctan ; (8);21ln 2
121)21(2121c x x x d x dx +--=---=-⎰⎰ (9);cos ln cos cos cos sin tan c x x x d dx x x xdx +-=-==⎰⎰⎰
(10）⎰⎰⎰-==
x d x x x xdx xdx x ln 21ln 21ln 21ln 222 =
⎰-xdx x x 21ln 212 =c x x x +-224
1ln 21 (11) c x dx x x
xdx +==⎰⎰3532353 （12）4222232223313(1)11(3)arctan 111x x x x dx dx x dx x x C x x x
++++==+=+++++⎰⎰⎰ 八、求下列定积分：
(1）
[];2cos sin 00=-=⎰ππx xdx (2）[]1112
1arctan 1dx x x --=+⎰ =2
44)(π
ππ=--。

(3）2200sin sin sin xdx xdx xdx π
πππ
=-⎰⎰⎰ =[][]20cos cos 4x x π
ππ---=;
(4)4314
2211
222633dx x x ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦⎰, (5）[]21
211ln 1------+=+⎰e e x x dx =ln1ln 1e -=-； (6）[]3)123(1
010232=++=++⎰x x x dx x x (7）[]⎰----==+3
1312)4
(3arctan 1ππx x dx =
π127 （8）令 ln t x =,则 31
ln e x dx x ⎰ = 13410011[]44t dt t ==⎰ （9
）139292
2444211()[]45326dx x x dx x x =+=+=⎰⎰ 九、综合
(1)解：x
f x f f x ∆-∆+=++→∆)0()0(lim )0('0 =;0)(lim 2
0=∆∆+→∆x
x x x f x f f x ∆-∆+=--→∆)0()0(lim
)0('0 =10lim 0-=∆-∆--→∆x
x x 由于),0(')0('-≠+f f 所以)0('f 不存在。

(2)解：,)10(6)('5+=x x f
,)10(30)(''4
+=x x f
()()312010f x x '''==， 3'''(8)120(810)960f ∴-=⨯-+= (3)解：切线斜率 1'1
11=====x x x y k
切线方程为
),1(0-=-x k y
即.01=--y x
(4)解： 282'x
y -
= 解方程 ,0'=y 得2=x 在区间（0，2）上，'0,y <
∴在区间（0，2）上，函数单调减小
又 在区间），（∞+2上'0,y >
∴在区间()+∞,2上函数单调增加
(5)解：
)
2)(1()1)(1(231)(22--+-=+--=x x x x x x x x f )(x f ∴有两个间断点：
11=x 是第一类间断点（可去间断点）
； 22=x 是第二类间断点（无穷间断点）。

（6）2'666(1)y x x x x =-=-
解方程 6(1)0x x -=， 得 120,1x x ==
(1)5,(0)0,(1)1,(4)80f f f f -=-==-=
∴ 最大值 (4)80f =，最小值 (1)5f -=-
十、单项选择题
1、D
2、D
3、C
4、C
5、C
6、C
十一、填空题
1、(2ln 1)x x +
2、 2[,)3-+∞
3、
18x 4、3- 5、e 6、25
x C。