八年级数学下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系教案 (新版)沪科版

一元二次方程的根与系数的关系
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系；(重点)
2．会利用根与系数的关系解决有关的问题．(难点)
一、情境导入 解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
(1)x 2
－2x ＝0；
(2)x 2
＋3x －4＝0；
(3)x 2
－5x ＋6＝0.
方程
x 1 x 2 x 1＋x 2 x 1·x 2
x 2－2x ＝0 x 2＋3x －4＝0 x 2－5x ＋6＝0
二、合作探究
探究点一：一元二次方程的根与系数的关系
利用根与系数的关系，求方程3x 2
＋6x －1＝0的两根之和、两根之积． 解析：由一元二次方程根与系数的关系可求得． 解：这里a ＝3，b ＝6，c ＝－1.
Δ＝b 2－4ac ＝62
－4×3×(－1)＝36＋12＝48＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 设方程的两个实数根是x 1，x 2， 那么x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－1
3
.
方法总结：如果方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，Δ＝b 2
－4ac ≥0，有两个实数根x 1，x 2，那么
x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c
a
.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
探究点二：一元二次方程的根与系数的关系的应用 【类型一】 利用根与系数的关系求代数式的值
设x 1，x 2是方程2x ＋4x －3＝0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)(x 1＋2)(x 2＋2)； (2)x 2x 1＋x 1
x 2
.
解析：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体代入求解即可．
解：根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－3
2
.
(1)(x 1＋2)(x 2＋2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝－32＋2×(－2)＋4＝－3
2
；
(2)x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21
x 1x 2＝（x 1＋x 2）2
－2x 1x 2x 1x 2＝（－2）2
－2×（－32）－32
＝－143
. 方法总结：先确定a ，b ，c 的值，再求出x 1＋x 2与x 1x 2的值，最后将所求式子做适当的变形，把x 1＋x 2与x 1x 2的值整体带入求解即可．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题 【类型二】 已知方程一根，利用根与系数的关系求方程的另一根
已知方程5x 2
＋kx －6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值．
解析：由方程5x 2
＋kx －6＝0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k 的值． 解：设方程的另一个根是x 1，则2x 1＝－6
5，
∴x 1＝－35.又∵x 1＋2＝－k
5，
∴－35＋2＝－k
5
，∴k ＝－7.
方法总结：对于一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2
－4ac ≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型三】 判别式及根与系数关系的综合应用
已知α、β是关于x 的一元二次方程x ＋(2m ＋3)x ＋m 2
＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1
β
＝－1，求m 的值．
解析：利用韦达定理表示出α＋β，αβ，再由1α＋1
β
＝－1建立方程，求m 的值．
解：∵α、β是方程的两个不相等的实数根，
∴α＋β＝－(2m ＋3)，αβ＝m 2
.
又∵1α＋1β＝α＋βαβ
＝－（2m ＋3）m
2
＝－1， 化简整理，得m 2
－2m －3＝0. 解得m ＝3或m ＝－1.
当m ＝－1时，方程为x 2
＋x ＋1＝0，
此时Δ＝12
－4＜0，方程无解， ∴m ＝－1应舍去．
当m ＝3时，方程为x 2
＋9x ＋9＝0，
此时Δ＝92
－4×9＞0，
方程有两个不相等的实数根． 综上所述，m ＝3.
易错提醒：本题由根与系数的关系求出字母m 的值，但一定要代入判别式验算，字母m 的取值必须使判别式大于0，这一点很容易被忽略．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题 三、板书设计
让学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全的归纳验证以及演绎证明．通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题、发现关系的过程，养成独立思考的习惯，培养学生观察、分析和综合判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神．通过交流互动，逐步养成合作的意识及严谨的治学精神。