湖北省荆门市龙泉中学2013届高三10月月考数学(理)试题

龙泉中学2013届高三10月月考
数学（理）试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．若集合{}
(,)sin ,A x y y x x R ==∈，{}
log B x y x π==，则A B =
A ．{}
01x x <≤
B ．{
}0x x π
<≤
C ．{(,0)}π
D ．∅ 2．已知复数z ，映射zi z f →:，则i 32+的原象是 A ．i 23- B ．i 32-
C ．i 23+
D ．i 32+
3．下列说法中，正确的是
A ．命题“若2
2
am bm <，则a b <”的逆命题是真命题
B ．命题“R x ∈∃，使得1<x ”的否定是：“∀x R ∈，都有1-≤x 或1≥x ”
C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题
D ．已知x R ∈，则“2x >”是“1x >”的必要不充分条件
4．若函数()sin ()f x x x
x R ωω=∈，又()2,()0f f αβ=-=，且βα-的最小值
为
34
π
，则正数ω的值是 A ．1
3
B ．23
C ．
4
3
D ．
32
5．已知,,A B C 三点的坐标分别是(3,0)A ，(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3(
,
)22ππ
α∈，若
1AC BC ⋅=-，则
21tan 2sin sin 2α
αα
++的值为
A ．59-
B ．95
- C ．2 D ．3
6．已知向量a 、b 不共线，(),c ka b k R d a b =+∈=-,如果c d ∥，那么
A ．1k =且c 与d 同向
B ．1k =且c 与d 反向
C ．1k =-且c 与d 同向
D ．1k =-且c 与d 反向
7．已知函数()()x x f a
-=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()()
2
1log x x g a -=的单调
增区间是
A. (]0,∞-
B. (]1,0-
C. [)+∞,0
D. [)1,0
8．已知函数()3cos 2sin 2,(),()4
f x x x x a f f x π
''=++=且是()f x 的导函数，则过曲线
3x y =上一点(,)P a b 的切线方程为 A ．320x y --= B ．4310x y -+=
C ．3203410x y x y --=-+=或
D ．3204310x y x y --=-+=或
9．在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位
置在Q 点，且90POQ ∠=o ，再过二分钟后，该物体位于R 点，且60QOR ∠=o
，则
2tan OPQ ∠的值等于
A ．
49
B
．
9 C ．427 D ．1
3
10．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()2
3
(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}
n a 满足11-=a ，且n a S n n +=2，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。

则=+)()(65a f a f A ．3 B ．2- C ．3- D ．2
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知函数lg(4)y x =-的定义域为A ，集合{|}B x x a =<，若P ：“x A ∈”是Q ：“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围 ；
12．已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为
35，则这个数列的项数为 ；
13．在平行四边形ABCD 中, 点E 是AD 的中点, BE 与AC 相交于点F ,
若(,)EF mAB nAD m n R =+∈, 则m
n
的值为 ；
14．设2
lg ,0,()((1))1,3,0,m
x x f x f f m x t dt x >⎧⎪
==⎨+≤⎪⎩⎰若则= ； 15．已知函数12
()log x x ϕ=与函数()g x 的图象关于y x =对称，
(1)若()()2,0,0,g a g b a b =<<且则
41
a b
+的最大值为 ； (2)设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[2,0]x ∈-时，()()1f x g x =-，若关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=()1a >在区间(2,6]-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是 。

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. (本题满分12分)
已知集合{}73|<≤=x x A ,{}102|<<=x x B ,{}a x a x C <<-=5|. （1）求B A , ()
R A B ð;
（2）若()B A C ⊆,求a 的取值范围.
17. (本题满分12分)
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
，且满足cos 25
A =，3A
B A
C ⋅=． （1）求ABC ∆的面积； （2）若6b c +=，求a 的值．
18. (本题满分12分)
某风景区有40辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日72元。

根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。

为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。

（1）求函数)(x f y =的解析式及其定义域；
（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
19. (本题满分12分)
已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列,且满足362755,16a a a a ⋅=+=．数列1b ，12b b -，
23b b -，…，1--n n b b 是首项为1，公比为3
1
的等比数列．
(1) 求数列{}n a 的通项公式；
(2) 若3
()2
n n n c a b =⋅-，求数列{}n c 的前n 项和n S ．
20. (本题满分13分)
已知函数4()log (41)()x
f x kx k R =++∈是R 上的偶函数．
（1）求k 的值;
（2）设44
()l o g (2)3
x
gx a a
=⋅-,若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点,求实数a
的取值范围．
21. (本题满分14分)
设函数2
()ln(1)(,,2)f x x ax b x a b R a =-++∈≠且
⑴当1b =且函数()f x 在其定义域上为增函数时，求a 的取值范围； ⑵若函数()f x 在1x =处取得极值，试用a 表示b ； ⑶在⑵的条件下，讨论函数()f x 的单调性。

龙泉中学2013届高三10月月考
数学（理）试卷参考答案及评分标准
二、填空题：
11．4a > 12．20 13．2- 14． 1 15．9-；2)
三、解答题： 16.
解：（1
）{}102|<<=x x B A , ………………………………………………………………2分 因
为
{}|
3
A x =<R 或
ð, ………………………………………………………………………
4分 所
以
()
{}|
2A B =<
R 或
ð. (6)
分
（2）由（1）知{}102|<<=x x B A
, ①
当
C =
φ
时,
满
足
()
B A
C ⊆,此时
a
a ≥-5,得
2
5
≤
a ; …………………………………………8分 ②
当
C
≠
φ
时,要
()
B A
C ⊆,则
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥-<-，，，10255a a a a 解得
32
5
≤<a . ………………………………………11分 由①②得,3≤a ……………………………………………………………………………………12分
17. 解：（1）因为cos 25A =，所以53cos =A ，又π<<A 0,所以5
4
sin =A .……………3分
由3AB AC ⋅=，得cos 3,bc A =所以5=bc . 故
2sin 2
1
==
∆A bc S ABC . ………………………………………………………………
…6分
（
2
）
由
5
bc =，且
6
b c +=，解得
⎩⎨
⎧==,
1,5c b 或
⎩
⎨⎧==.5,
1c b ………………………………………………9分 由
余
弦
定
理
得
2222cos 20
a b c bc A =+-=，故
52=a .
………………
………………12分
18. 解：（1）当6,4072,40720, 1.8x y x x x ≤=-->>时由解得
**,2,26,x N x x x N ∈∴≥∴≤≤∈ ………………………………………………
……2分
26[403(6)]725872
x y x x x x >=---=-+-当时，3 ………………………………
………4分
2*4
0,58720,183
y x x x x N >-+<<<∈由有3即（）
*617()x x N ∴<≤∈， …………………………………………………………………
………6分
故
*2*
4072
(26,)35872(617,)
x x x N y x x x x N ⎧-≤≤∈⎪=⎨-+-<≤∈⎪⎩ ……………………………………………………7分
（2）对于*
4072(26,)y x x x N =-≤≤∈，
显
然
当
m 6,
x y ==
时（元）， ………………………………………………………………9分
22*29625
358723()(617,)33
y x x x x x N =-+-=--+<≤∈对于
max 10,208(208168x y ==>当时元）
………………………………………
………11分 ∴当每辆自行车的日租金定在10元时，才能使一日的净收入最多。

…………………………12分
19. 解： (1) 解: 设等差数列{}n a 的公差为d , 则依题知0d > ， 由273616a a a a +=+=且3655a a ⋅= 得365,11,2a a d ===
3(3)221n a a n n ∴=+-⨯=-； ……………………………………………………………………4分
(2) 由（1）得： 21n a n =-（n N *∈）．
b 1=1，当n ≥2时，1
1
31--⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-n n n b b ，
121321()()()n n n b b b b b b b b -∴=+-+-++-21
111311133323n n -⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=++++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
因而⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=n n b 31123，
n N *∈． 3()2
n n n c a b =⋅-31
(21)()23n n =-⋅-⋅，…………………………7分
∴n S n c c c +++= 2123313521
()23333
n
n -=-++++ 令=n T n
n 31
235333132-++++ ① 则=n T 3114323
12332353331+-+-++++n n
n n ② ①-②得：
=n T 32132312)313131(231+--++++n n n 113
1
2)311(3131+----+=n n n ……………………………10分 ∴
n
n n T 31
1+-
=． ∴
31
(1)23
n n n S +=-． …………………………………………………………12分
20. 解：（1）由函数()f x 是偶函数可知：()()f x f x =-
44log (41)log (41)x x kx kx -∴++=+- ……………………………………………………
2分
441log 241
x x kx
-+=-+ 即
2x kx
=-对一切
x R
∈恒成
立 ……………………………………4分
1
2
k ∴=-
………………………………………………………………………………………5分
（2）函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点 即方程4414
log (41)log (2)23
x
x x a a +-=⋅-有且只有一个实根 …………………………7分
化简得：方程142223
x
x x a a +
=⋅-有且只有一个实根 令20x t =>，则方程2
4(1)103
a t at ---=有且只有一个正根 (9)
分
①3
14
a t =⇒=-，不合题意； ……………………………………………………………10分
②3
04
a ∆=⇒=
或3- ………………………………………………………………………
11分 若3142a t =⇒=-，不合题意；若1
32a t =-⇒=
……………………………………12分
③一个正根与一个负根，即1
011
a a -<⇒>- 综上：实数a 的取值范围是{}3(1,)-⋃+∞ (13)
分
21. 解：（1）当1b =时，函数2
()ln(1)f x x ax x =-++，其定义域为(1,)-+∞。

1
()21
f x x a x '∴=-+
+。

函数()f x 是增函数， ∴当1x >-时，1
()201
f x x a x '∴=-+≥+恒成立。

(2)
分
即当1x >-时，1
21
a x x ≤++恒成立。

当1x >-
时，11
22(1)22
1
x x x x +=++-≥+，且当12x =-时取等号。

a ∴的取值范围为(,2]-∞。

(4)
分 （2）
()21
b
f x x a x '=-+
+,且函数()f x 在1x =处取得极值， (1)0.2 4.f b a '∴=∴=-
此
时
4
224
2()2.1
1
a x x a f x x a x x ----'=-+
=++ (6)
分
当4
12
a -=，即6a =时，()0f x '≥恒成立，此时1x =不是极值点。

24(6,2)
b a a a ∴=-≠≠且 ……………………………………………………………………
…8分
（3）由4
2(1)()2()1
a x x f x x ---
'=+得
①当2a <时，
4
1.2
a -≤-∴当11x -<<时，()0;f x '< 当1x >时，()0.f x '>
∴当2a <时，()f x 的单调递减区间为(1,1)-，单调递增区间为(1,)+∞。

……………………
10分
②当26a <<时，41 1.2a --<
<∴当4
1,1()02
a x x f x -'-<<>>或时，；
当
4
1()02
a x f x -'<<<时，；
∴当26a <<时，()f x 的单调递减区间为4(
,1)2a -，单调递增区间为4
(1,),(1,)2
a --+∞。

③当6a >时，4 1.2a ->∴当4
11,()02a x x f x -'-<<>>或时，；
当4
1()02
a x f x -'<<<时，；
∴当6a >时，()f x 的单调递减区间为4(1,)2a -，单调递增区间为4
(1,1),(,)2
a --+∞。

(13)
分
综上所述：∴当2a <时，()f x 的单调递减区间为(1,1)-，单调递增区间为(1,)+∞；
当26a <<时，()f x 的单调递减区间为4(
,1)2a -，单调递增区间为4
(1,),(1,)2a --+∞； 当6a >时，()f x 的单调递减区间为4(1,)2a -，单调递增区间为4
(1,1),(,)2
a --+∞。

(14)
分。