河北省张家口市第一中学高二文科班人教版数学学案选修1-1：22双曲线 [ 高考]

2.2双曲线
2．2.1双曲线及其标准方程
取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
【提示】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使
|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．【问题导思】
双曲线定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
【提示】双曲线的一支.
1．能否用推导椭圆标准方程的方法推出双曲线的方程？怎样推导？
【提示】能．(1)建系：以直线F1F2为x轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系．
(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任一点，且双曲线的焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
可得(x＋c)2＋y2－(x－c)2＋y2＝±2a.
(4)化简：移项，平方后可得
(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为
x2 a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)．
2．双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？
【提示】双曲线标准方程中x2与y2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴：当x2系数为正时，焦点在x轴上；当y2的系数为正时，焦点在y轴上，而与分母的大小无关．双曲线的标准方程
(2013·泰安高二检测)方程x 24－k ＋y 2
k －1
＝1表示的曲线为C ，给出下列
四个命题：
①曲线C 不可能是圆；
②若1＜k ＜4，则曲线C 为椭圆；
③若曲线C 为双曲线，则k ＜1或k ＞4；
④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜5
2
.
其中正确命题的序号是________．
【思路探究】 方程x 24－k ＋y 2
k －1
＝1表示什么曲线？此时k 的取值范围是多少？
【自主解答】 当4－k ＝k －1＞0时，即k ＝5
2
时，曲线C 是圆，∴命题①是假命题．对
于②，当1＜k ＜4且k ≠5
2
时，曲线C 是椭圆，则②是假命题．
根据双曲线和椭圆定义及其标准方程，③④是真命题． 【答案】 ③④
1．双曲线焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的系数为正；双曲线焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的系数为正．
2．在曲线方程x 2m ＋y 2
n ＝1中，若m ＝n ＞0，则曲线表示一个圆；若m ＞0，n ＞0，且m ≠n ，
则曲线表示一个椭圆；若mn ＜0，则曲线表示双曲线．
若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程x 2k －3－y 2
k ＋3
＝1表示双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 方程x 2k －3－y 2
k ＋3＝1表示双曲线的充要条件是(k －3)(k ＋3)＞0，即k ＜－3或
k ＞3；当k ＞3时，一定有(k －3)(k ＋3)＞0，但反之不成立．∴k ＞3是方程表示双曲线的充分不必要条件．
【答案】 A
已知双曲线上两点P 1、P 2的坐标分别为(3，－42)、(9
4
，5)，求双曲
线的标准方程．
【思路探究】 (1)当双曲线的焦点位置不确定时，应怎样求双曲线的方程？ (2)已知双曲线上两点的坐标，可将双曲线的方程设为怎样的形式，以便于计算？ 【自主解答】 法一 若双曲线的焦点在x 轴上，
设其方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．
根据题意得⎩
⎨⎧ 9a 2－32
b 2
＝1，8116a 2－25
b 2
＝1，
该方程组无解；
若双曲线的焦点在y 轴上，
设其方程为y 2a 2－x 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．
根据题意得⎩
⎨⎧
32a 2－9
b 2
＝1，25a 2－8116b 2
＝1，
解得a 2＝16，b 2＝9.
故所求双曲线的标准方程为y 216－x 2
9
＝1.
法二 设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)．
根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧
9m ＋32n ＝1，
8116
m ＋25n ＝1，
解得m ＝－19，n ＝1
16
.
故所求双曲线的标准方程为y 216－x 2
9
＝1.
1．求双曲线标准方程一般有两种方法：一是定义法，二是待定系数法． 2．用待定系数法求双曲线标准方程的步骤：
(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x 轴上； (2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0))；
(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程．
求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝5，c ＝3，焦点在y 轴上；
(2)双曲线过P 1(－2，325)和P 2(4
3
7，4)两点．
【解】 (1)由a ＝5，c ＝3得b 2＝c 2－a 2＝4.
∴所求双曲线的标准方程为y 25－x 2
4
＝1.
(2)因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为P 1、P 2在双曲线上，所以有
⎩⎨⎧
4m ＋45n
4＝1，16
9×7m ＋16n ＝1，
解得⎩⎨⎧
m ＝－1
16，n ＝1
9.
所以所求双曲线的方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 2
16
＝1.
如图2－2－1所示，已知双曲线x 24－y 2
9
＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点
M 在双曲线上．
图2－2－1
(1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积； (2)若∠F 1MF 2＝120°，△F 1MF 2的面积是多少？若∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积又是多少？
【思路探究】 (1)求三角形的面积该联想到哪些方法？ (2)如何运用双曲线的定义解决问题？ 【自主解答】 (1)由双曲线方程知，
a ＝2，
b ＝3，
c ＝13，设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1＞r 2)． 由双曲线定义知，有r 1－r 2＝2a ＝4，两边平方得
r 21＋r 2
2－2r 1·
r 2＝16， 即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16， 也即52－16＝4S △F 1MF 2， 求得S △F 1MF 2＝9. (2)若∠F 1MF 2＝120°， 在△MF 1F 2中，由余弦定理得，
|F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 120°
， |F 1F 2|2＝(r 1－r 2)2＋3r 1r 2＝(2c )2，r 1r 2＝12，
求得S △F 1MF 2＝1
2
r 1r 2sin 120°＝3 3.
同理可求得若∠F 1MF 2＝60°，S △F 1MF 2＝9 3.
双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的．定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|，包含|PF 1|－|PF 2|＝2a 和|PF 1|－|PF 2|＝－2a ，即要看到点离定点的距离的“远”与“近”．涉及双曲线上点到焦点的距离问题，或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的定义求解．常见题目类型为：
(1)双曲线的焦点三角形问题； (2)判断点的轨迹或求轨迹方程．
已知圆C 1：(x ＋3)2
＋y 2
＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．
【解】
如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于点A 和B ，根据两圆外切的条件，得 |MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |. ∵|MA |＝|MB |，
∴|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， ∴|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2.
这表明动点M 与两定点C 2，C 1的距离的差是常数2. 根据双曲线的定义，动点M 的轨迹为双曲线的左支， 则2a ＝2，a ＝1，c ＝3， ∴b 2＝c 2－a 2＝8.
因此所求动点M 的轨迹方程为x 2
－y 2
8
＝1(x ＜0)．
记不清a 、b 、c 的关系致误
双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3)，则k ＝
A ．1
B ．－1 C.79 D ．－7
9
【错解】 将双曲线化为标准方程为x 21k －y 28k
＝1，∵焦点在y 轴上，且c ＝3，∴a 2＝－8
k ，
b 2＝－1k ，∴－8k －(－1k )＝－7k ＝32，∴k ＝－79.
【答案】 D
【错因分析】 双曲线中a 、b 、c 的关系不是a 2－b 2＝c 2.
【防范措施】 要区别椭圆与双曲线中a 、b 、c 的关系．在椭圆中a 2－b 2＝c 2，在双曲线中a 2＋b 2＝c 2，二者一定不要混淆．
【正解】 将双曲线化为标准方程为x 21k －y 2
8k ＝1，
∵焦点在y 轴上，且c ＝3，∴a 2＝－8k ，b 2＝－1
k
.
∴－8k －1
k
＝9，∴k ＝－1.
【答案】 B
1．理解双曲线的定义应特别注意以下两点：
(1)距离的差要加绝对值，否则表示双曲线的一支． (2)距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线．
2．求双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两个过程．“定位”指确定焦点在哪个坐标轴上，“定量”是指确定a 2，b 2的大小.
(对应学生用书第31页)
1．到两定点F 1(－3,0)、F 2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线 D ．两条射线 【解析】 由题意|F 1F 2|＝||
|MF 1|－|MF 2|＝6. ∴点M 的轨迹是两条射线． 【答案】 D
2．双曲线x 225－k ＋y 2
9－k
＝1的焦距为( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．234 【解析】 ∵25－k ＞9－k 且25－k ＞0,9－k ＜0， 即a 2＝25－k ，b 2＝k －9， ∴c 2＝16，c ＝4.
焦距为2c ＝8. 【答案】 B
3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A.⎝⎛⎭⎫2
2，0 B.⎝⎛
⎭
⎫
52，0
C.⎝⎛⎭
⎫6
2，0 D.()3，0
【解析】 将双曲线方程化为标准形式x 2
－y 2
12
＝1，
所以a 2＝1，b 2＝1
2，
∴c ＝a 2＋b 2＝6
2，
∴右焦点坐标为⎝⎛⎭
⎫6
2，0.
【答案】 C
4．双曲线的一个焦点为(0，－6)，且经过点(－5,6)，求此双曲线的标准方程．
【解】 由题意知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一焦点为(0,6)，所以由双曲线的定义有： 2a ＝|
(－5－0)2＋(6＋6)2－
(－5－0)2＋(6－6)2|＝8，
∴a ＝4，∴b 2＝62－42＝20，
∴双曲线的标准方程为y 216－x 2
20
＝1.
已知B (－5,0)，C (5,0)是△ABC 的两个顶点，且sin B －sin C ＝3
5
sin A ，求顶点A 的轨迹
方程．
【解】 ∵sin B －sin C ＝3
5sin A ，
∴由正弦定理得|AC |－|AB |＝35|BC |＝3
5
×10＝6.
又∵|AC |＞|AB |,6＜|BC |，
∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的左支(且除去左顶点)， 由2a ＝6,2c ＝10，得a
＝3，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝16， ∴顶点A 的轨迹方程为x 29－y 2
16
＝1(x ＜－3)．
已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．
【解】 设动圆半径为r ，圆心为P (x ，y )，定圆C 的圆心为C (－3,0)，半径为4， 由平面几何知识有|PC |＝r ＋4，|P A |＝r ， ∴|PC |－|P A |＝4，
∴动点P 的轨迹为双曲线右支． c ＝3，a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝5，
∴圆心P 的轨迹方程为x 24－y 2
5
＝1(x ＞0)．
2.2.2 双曲线的简单几何性质
双曲线的简单几何性质
类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的哪些几何性
质？
【提示】 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．
续表
椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？ 【提示】 双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.
1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝
2.
(对应学生用书第32页)
求双曲线25y 2－4x 2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶
点坐标、离心率、渐近线方程．
【思路探究】
【自主解答】 双曲线的方程25y 2－4x 2
＋100＝0可化为x 225－y 24＝1.
∴实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)． 由c ＝
a 2＋
b 2＝29，焦点坐标为(29，0)，(－29，0)．
离心率e ＝c a ＝295，渐近线方程y ＝±2
5
x .
1．已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a 、b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线
的几何性质．
2．写渐近线方程时要特别注意焦点在x 轴上还是在y 轴上，以免写错．
求双曲线16x 2
－9y 2
＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
【解】 把方程16x 2－9y 2
＝－144化为标准方程得y 242－x 23
2＝1，由此可知，实轴长2a ＝8，
虚轴长2b ＝6，c ＝a 2＋b 2＝5.
焦点坐标为(0，－5)，(0,5)．
离心率e ＝c a ＝5
4.
顶点坐标为(0，－4)，(0,4)．
渐近线方程为：y ＝±4
x .
双曲线的方程
分别求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为5
4
；
(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±3
2
x ；
(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．
【思路探究】 (1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x 2
－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？
【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝5
4
且c 2＝a 2＋b 2，
∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，
∴双曲线标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 2
36
＝1.
(2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝9
2.
∴所求双曲线标准方程为x 29－4y
281＝1.
当焦点在y 轴上时，由a b ＝3
2且a ＝3得b ＝2.
∴所求双曲线标准方程为y 29－x 2
4
＝1.
(3)设与双曲线x 22－y 2
＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k
＝22
2
－(－2)2＝－2， ∴双曲线标准方程为y 22－x 2
4
＝1.
1．利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a ，b 的值)．由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．
2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax ±By ＝0，为避免讨论，可设双曲线方程为A 2x 2－B 2y 2
＝λ(λ≠0)或x 2B 2－y 2
A
2＝λ(λ≠0)的形式，从而使运算更简捷．
3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ≠0)．
已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且双曲线过点P (4,3)，求双曲线的标准方程． 【解】 法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2＜y P ＝3.
∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝1
2
，∴b ＝2a .
设双曲线方程为y 2a 2－x
24a 2＝1，
由于点P (4,3)在此双曲线上， ∴9a 2－16
4a
2＝1，解得a 2＝5. ∴双曲线方程为y 25－x 2
20
＝1.
法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 即x 2－y ＝0，∴双曲线的渐近线方程为x 24
－y 2
＝0. 设双曲线方程为x
24
－y 2＝λ(λ≠0)，
∵双曲线过点P (4,3)，∴424－32
＝λ，即λ＝－5.
∴所求双曲线方程为x 2－y 2
＝－5，即y 2－x 2＝1.
求双曲线的离心率
分别求适合下列条件的双曲线的离心率．
(1)双曲线的渐近线方程为y ＝±3
2
x ；
(2)双曲线x 2a 2－y
2b 2＝1(0＜a ＜b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线
l 的距离为3
4
c .
【思路探究】 (1)由渐近线方程能得到a 、b 、c 的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？
(2)由题意你能得到关于a 、b 、c 的什么关系式？
【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝3
2
，
∴e ＝b 2a 2＋1＝13
2
； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝2
3
，
∴e ＝b 2a 2＋1＝13
3
. 综上可知，双曲线的离心率为132或13
3.
(2)依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为3
4
c ，得ab a 2＋b 2
＝34
c ， 即ab ＝
34
c 2
，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0，
∴3(b 2a 2)2－10×b 2
a 2＋3＝0.
解得b 2a 2＝13或b
2a
2＝3.
又∵0＜a ＜b ，∴b 2
a 2＝3.
∴e ＝1＋b 2
a
2＝2.
求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直
接求a ，c 的值．而在解题时常把c a 或b a 视为整体，把关系式转化为关于c a 或b
a 的方程，解方程
求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0＜a ＜b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．
已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的
双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．
【解】 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2
a
.
∴|PF 1|＝b
2a
.
由双曲线对称性，|PF 2|＝|QF 2|且∠PF 2Q ＝90°.
知|F 1F 2|＝1
2
|PQ |＝|PF 1|，
∴b
2a
＝2c ，则b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×c
a －1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2.
(对应学生用书第35页)
忽略点在双曲线上的位置致误
已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，双曲线的左支上一点P (a ，b )到直线y
＝x 的距离是2，求a ＋b 的值．
【错解】 ∵P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是 2. 故|a －b |2
＝2，∴a －b ＝±2.
又∵a 2－b 2＝1，∴(a ＋b )(a －b )＝1，∴a ＋b ＝±1
2
.
【错因分析】 错解中忽略了点P 在双曲线的左支上，此时，a －b ＜0，∴a －b ＝－2. 【防范措施】 由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生．
【正解】 ∵点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为2， 故|a －b |2
＝2，∴a －b ＝±2.
又∵P 在双曲线的左支上，故a －b ＜0，则有a －b ＝－2.
又∵a 2－b 2＝1，即(a －b )(a ＋b )＝1，∴a ＋b ＝－1
2
.
1．通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程．
2．双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：
(1)当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a x ；当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±a
b
x .
(2)当渐近线为y ＝b a x 时，可设双曲线标准方程为x 2a 2－y
2
b 2＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线标准方程可设为x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ≠0)．
(对应学生用书第35页)
1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 2
9＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 2
9
＝1
C.x 2100－y 2
36＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 2
36
＝1 【解析】 由题意：a ＝5，b ＝3，且焦点不确定，应选B. 【答案】 B
2．双曲线x 24－y 2
9＝1的渐近线方程是( )
A ．y ＝±2
3x
B ．y ＝±4
9x
C ．y ＝±3
2
x
D ．y ＝±9
4x
【解析】 由题意，焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，故渐近线方程为y ＝±3
2
x .
【答案】 C
3．下列曲线中离心率为6
2
的是( )
A.x 22－y 24＝1
B.x 24－y 22＝1
C.x 24－y 26＝1
D.x 24－y 210
＝1 【解析】 选项B 双曲线中a ＝2，b ＝2，∴c ＝6，e ＝6
2
.
【答案】 B
4．若双曲线的顶点在x 轴上，两顶点的距离为8，离心率是5
4
，求双曲线的标准方程．
【解】 由题设，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y
2b 2＝1
(a ＞0，b ＞0)． ∵2a ＝8，∴a ＝4，
由e ＝54＝c
a ，得c ＝5，
∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.
因此所求双曲线标准方程为x 216－y 2
9
＝1.
已知双曲线x 2
－y 2
＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试讨论实数k 的取值范围，使直线l 与双曲线有两个公共点；直线l 与双曲线有且只有一个公共点；直线l 与双曲线没有公共点．
【解】 由⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－y 2＝4
y ＝k (x －1)消去y ，
得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0. (*)
(1)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点，交点在双曲线右支上．
(2)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，
Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)·(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．
①⎩
⎪⎨⎪⎧ 4－3k 2
＞0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直
线与双曲线有两个公共点．
②⎩⎪⎨⎪⎧
4－3k 2
＝0，1－k 2≠0，
即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线相交于一个公共点．
综上所述：当－233＜k ＜233
，且k ≠±1时，直线l 与双曲线有两个公共点，当k ＝±1
或k ＝±233时，直线l 与双曲线有且只有一个公共点，当k ＜－233或k ＞23
3时，直线l 与
双曲线没有公共点．
已知双曲线3x 2
－y 2
＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．
【解】 双曲线3x 2－y 2＝3化为x 2
－y 23
＝1，
则a ＝1，b ＝3，c ＝2.
∵直线l 过点F 2且倾斜角为45°， ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，
∵x 1·x 2＝－7
2
＜0，
∴A 、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上．
∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－7
2，
∴|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝2·
－2－－7
2
＝6.
因此弦AB 的长为6.。