浙江版2018年高考数学一轮复习专题7.6数学归纳法测

第06节数学归纳法
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）
1.用数学归纳法证明“2n＞2n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A.2
B.3
C.5
D.6
【答案】B
2.某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立.现已知n＝5时该命题成立，那么( )
A.n＝4时该命题成立
B.n＝4时该命题不成立
C.n≥5，n∈N*时该命题都成立
D.可能n取某个大于5的整数时该命题不成立
【答案】C
【解析】显然A，B错误，由数学归纳法原理知C正确，D错.
3.对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式k2＋k<k＋1成立，当n＝k＋1时，（k＋1）2＋k＋1＝k2＋3k＋2<（k2＋3k＋2）＋（k＋2）＝（k＋2）2＝(k＋1)＋1.
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( )
A.过程全部正确
B.n＝1验得不正确
C.归纳假设不正确
D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
【答案】D
【解析】在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法.
4.用数学归纳法证明当n 为正奇数时， n n x y +能被x y +整除， *k N ∈第二步是（ ） A. 设21n k =+时正确，再推23n k =+正确 B. 设21n k =-时正确，再推21n k =+时正确 C. 设n k =时正确，再推2n k =+时正确 D. 设()1n k k ≤≥正确，再推2n k =+时正确 【答案】B
5.用数学归纳法证明“
()()()()
1221221n n n n n n +++=⋅⋅⋅
⋅-”（
n N +∈）时，
从 “1n k n k ==+到”时，左边应增添的式子是（ ） A. 21k + B. ()221k + C. 211k k ++ D. 22
1
k k ++ 【答案】B
【解析】：当n=k 时，左边等于 （k+1）（k+2）…（k+k ）=（k+1）（k+2）…（2k ）， 当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）…（k+k ）（2k+1）（2k+2）， 故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是 ()
()
2k 1)221k k +++（=2（2k+1），
故选项为：B ．
6. 用数学归纳法证明22
1
111n n a a a a
a
++-+++⋅⋅⋅+=-（*
1,a n N ≠∈），在验证1n =时，
等式的左边等于 （ ）
A. 1
B. 1a +
C. 21a a ++
D. 23
1a a a +++
【答案】C
【解析】1n =时，等式的左边等于2
1a a ++,选C. 7．观察式子：
，…，则可归纳出式子为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
8．用数学归纳法证明,则当
时，左端应在n=k 的基础上加
( ) A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】当时，左边=，
当
时，左边=
，
所以观察可知，增加的项为
，故选择D.
9.【2017·昆明诊断】设n 为正整数，f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f(2)＝3
2，f(4)＞
2，f(8)＞52，f(16)＞3，f(32)＞7
2，观察上述结果，可推测出一般结论( )
A.f(2n)＞2n ＋1
2
B.f(n 2
)≥n ＋22
C.f(2n
)≥n ＋22
D.以上都不对
【答案】C
【解析】因为f(22)＞42，f(23)＞52，f(24)＞62，f(25)＞72，所以当n≥1时，有f(2n
)≥n ＋22.
10.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k 2
成立时，总可推出f(k ＋1)≥(k＋1)2
成立”.那么，下列命题总成立的是( ) A.若f(1)<1成立，则f(10)<100成立
B.若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立
C.若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k 2
成立 D.若f(4)≥16成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k 2成立 【答案】D
【解析】选项A ，B 的答案与题设中不等号方向不同，故A ，B 错；选项C 中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k 2
成立；对于选项D ，满足数学归纳法原理，该命题成立. 11.对于不等式(
)2
*
1n n n n +≤+∈N
，某学生的证明过程如下：
（1）当1n =时，21111+≤+，不等式成立．
（2）假设n k =()
*n ∈N 时，不等式成立，即2
1k k k +<+，则1n k =+时，
()()()()()()2
2
221132322211k k k k k k k k k +++=++<
++++=
+=++，
∴当1n k =+时，不等式成立，上述证法（ ）
A ．过程全都正确
B ．1n =验证不正确
C ．归纳假设不正确
D ．从n k =到1n k =+的推理不正确 【答案】D
12．用数学归纳法证明“对一切n ∈N *
，都有2
22n n >-”这一命题，证明过程中应验证（ ）
A ．n ＝1时命题成立
B ．n ＝1，n ＝2时命题成立
C ．n ＝3时命题成立
D ．n ＝1，n ＝2，n ＝3时命题成立 【答案】D
【解析】假设n k =时不等式成立，即2
22k k >-，当1n k =+时，
1222k k +=⋅>()
222k -，()()2
222212230k k k k -≥+-⇒--≥()()1303,k k k ⇔+-≥⇒≥因此需要验证n
＝1，2，3时命题成立．故选D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 13．设()111
1
1234
21
f n n =-
+-++
-，则()()1f k f k +=+ _____．（不用化简）
【答案】11
212k k -+ 【解析】
()11111...23421f n n =-
+-++-， ()111111
11...23421221f k k k k ∴+=-+-++-+-+
()1111
1 (23421)
f k k ∴=-+-++-，
()()111212f k f k k k ∴+-=-+，故答案为11
212k k
-+.
14. 用数学归纳法证明22n
n n a b a b ++⎛⎫≥ ⎪
⎝⎭
（,a b 是非负实数，*
n ∈N ）时，假设n k =命题成立之后，证明1n k =+命题也成立的关键是________． 【答案】两边同乘以
2
a b +
15. 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝
11n n
a a +- (n ∈N *
)，则a 3＝________，a 1·a 2·a 3·…·a 2014
＝________. 【答案】－
1
2
－6 【解析】(1)a 2＝
1
1
11a a +-＝－3， a 3＝
2
2
11a a +-＝－12.
(2)求出a 4＝
1
3
，a 5＝2，可以发现 a 5＝a 1，且a 1·a 2·a 3·a 4＝1，
故a 1·a 2·a 3·…·a 2014＝a 1a 2＝2×(－3)＝－6.
16．【2017·金华调研】设平面上n 个圆周最多把平面分成f(n)片(平面区域)，则f(2)＝________，f(n)＝________.(n≥1，n ∈N *
) 【答案】4 n 2
－n ＋2
【解析】 易知2个圆周最多把平面分成4片；n 个圆周最多把平面分成f(n)片，再放入第n ＋1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域，第n ＋1个应与前面n 个都相交且交点均不同，
有n条公共弦，其端点把第n＋1个圆周分成2n段，每段都把已知的某一片划分成2片，即f(n＋1)＝f(n)＋2n(n≥1)，所以f(n)－f(1)＝n(n－1)，而f(1)＝2，从而f(n)＝n2－n＋
2.
三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．数列{a n}满足S n=2n﹣a n（n∈N*）．
（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式a n；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析
同理：，．
由此猜想
（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a1=1，右边=1，结论成立．
②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即，
那么n=k+1时，a k+1=s k+1﹣s k=2（k+1）﹣a k+1﹣2k+a k=2+a k﹣a k+1，
所以2a k+1=2+a k，所以，
这表明n=k+1时，结论成立．
由①②知对一切n∈N*猜想成立．
18．．在数列{}n a 中， 11a =， ()1
121n n n a ca c
n ++=++ ()*n N ∈，其中实数0c ≠．
(1)求23,a a ，并由此归纳出{}n a 的通项公式； (2) 用数学归纳法证明(Ⅰ)的结论．
【答案】(1) ()
211n n n a n c c -=-+ ()
*
n N ∈ (2)见解析
试题解析：(1) 由11a =，及()1
121n n n a ca c
n ++=++ ()*n N ∈
得()
222
21321a ca c c c =+⋅=-+，
()332221a ca c =+⨯+= ()()22
321221c c c c ⎡⎤-++⨯+⎣⎦ ()23231c c =-+ 于是猜测: ()
211n n n a n c c -=-+ ()
*
n N ∈
(2)下面用数学归纳法予以证明:
01当1n =时，由()2111111a c c -==-+显然结论成立． 02假设n k =时结论成立，即()211k k k a k c c -=-+
那么，当1n k =+时， 由()1
121k k k a ca c
k ++=++ ()21
1k k c k c c -⎡⎤=-+⎣⎦
()121k c k +++ ()
212k k k k c c +=++ ()2
111k k k c c +⎡⎤=+-+⎣⎦
显然结论成立．
由01、0
2知，对任何*
n N ∈都有()211n n n a n c c -=-+ ()
*n N ∈
19．观察以下3个等式：
1113211=⨯⨯+, 1121335221+=⨯⨯⨯+， 1113133557231
++=⨯⨯⨯⨯+，
（1）照以上式子规律，猜想第n 个等式（n ∈N *
）；
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n 个等式成立（n ∈N *
）．
【答案】（1）第n 个式子
21
n
n +（2）见解析
②假设当n ＝k(k ∈N *
且k ≥1)时等式成立，即有
＋
＋…＋
＝
，
则当n ＝k ＋1时，
＋＋…＋
＋
＝＋
＝
＝
＝＝
， 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *
等式都成立．
20. 【2017届江苏省南通、扬州、泰州高三第三次模拟联考】已知函数
()()00,0cx d
f x a ac bd ax b
+=
≠-≠+，设()n f x 为()1n f x -的导数， *n N ∈. （1）求()()12,f x f x ；
（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论. 【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】【试题分析】（１）借助题设条件运用导数知识分别求解；（２）依据题设条件及（１）的结论先猜想结论，再运用数学归纳法分析推证： 解：（1）
正确；
当=+时结论成立，由①②得，对一切*
1
n k
∈结论正确.
n N。