高一数学 函数的奇偶性

4 f x 1 x 1
x 1
5 f x x 1
6 f x 3
7 f x 0
1 f x | x | x2 1
解: 此函数的定义域为 R
f x | x | x2 1 | x | x2 1 f x
f x f x 函数 f x是偶函数.
2 f x x3 1
x3
解: 此函数的定义域为 x | x 0
f
x
x3
1
x3
x3
1 x3
f
x
f x f x 函数 f x是偶函数.
3 f x x 2 2 x
x20 x20
x 2 f x的定义域为 2
由于定义域关于原点不 对称, 故 f x是非奇非偶函数 .
4 f x 1 x 1
x 1
1 x 0 1 x 1 f x的定义域为 1,1
函数的奇偶性
梁
奇函数、偶函数的概念
峻
荣
对函数的奇偶性的理解
奇函数、偶函数的性质
研究函数 1 y x2 2 y x3
y
y x2
y
y x3
x o x x
x
ox x
x2 x2 f x f x x3 x3 f x f x
当自变量取一对相 当自变量取一对相反 反数时,函数值相同. 数时,函数值也是相反数 .
f x x2 x 2,4
当x 3时,x 3,所以 f 3不存在. f x x2 x 2,1 1,2 当x 2,1时,x 1,2,所以 f x f x
当x 2,1时,x 2,1,所以 f x f x
判断一个函数非奇非偶函数的方法:
1函数的定义域关于原点 不对称. 2对于定义域内存在 x0使 f x0 f x0
7 f x 0
函数的定义域为R
对定义域中任何一个 x,都有 f x 0 f x f x 0 0 0
函数 f x即是偶函数又是奇函数 .
注 函数 f x a a为常数是偶函数,
当a 0时 ,即是偶函数又是奇函数 ; 小结: 判断函数奇偶性的一般步骤:
确定定义域 关于原点对称
验证 f x f x或f x f x 下结论.
一般地,如果对于函数 f x的定义域内任意一个 x,都有 f x f x,那么函数 f x就叫做奇函数 .
如果函数 f x是奇函数或偶函数 ,那么我们就 说函数 f x具有奇偶性.
例1.判断下列函数是否具有 奇偶性
1 f x x3 2x 2 f x 2x4 3x2
解 : 1 f x x3 2x
y
y x2
y
y x3
2 o 2 x
f 2 f 2 4 f 1 f 1 1
f 1 f 1 1 2 2 4
2
o2 x
f 2 f 2 8
f 1 f 1 1
f 1 f 1 1 2 2 4
1.奇函数、偶函数的概念
一般地,如果对于函数 f x的定义域内任意一个 x,都有 f x f x,那么函数 f x就叫做偶函数.
f x x3 2 x x3 2x x3 2x
即 f x f x
所以 f x是奇函数.
2 f x 2 x4 3 x2 2x4 3x2
即 f x f x 所以 f x是偶函数.
2.对函数奇偶性的理解 从函数奇偶性的概念看 出,它们的定义域关于
原点对称. 判断下列函数的奇偶性
f x x2 x 0
f x x2 x 1,1
非奇非偶函数. 非奇非偶函数.
f x x2 x 2,4 非奇非偶函数.
f x x2 x 2,1 1,2 偶函数.
f x x2 x 0 当x 0时,x 0,所以 f x不存在.
f x x2 x 1,1
当x 1时,x 1,所以 f 1不存在.
x 1 0
由于定义域关于原点不 对称, 故 f x是非奇非偶函数 .
5 f x x 1
函数的定义域为R
取 x 1, f 1 f 1 1111 2 0 取 x 2, f 2 f 2 2 1 2 1 4 0 函数 f x是非奇非偶函数 . 6 f x 3
函数的定义域为R
对定义域中任何一个 x,都有 f x 3 f x f x 3 3 0 函数 f x是偶函数.
对于定义域内存在 x1,使 f x1 f x1
判断一个函数奇偶性的等价形式:
f x f x f x f x 0 偶函数 f x f x f x f x 0 奇函数
例 2.判断下列函数是否具有 奇偶性
1 f x | x | x2 1
2
f
x
x3
1 x3
ห้องสมุดไป่ตู้
3 f x x 2 2 x
思考题: 奇函数和偶函数的图象各有什么特点?各举一例.
y1
x
y
y 1 |x| y
Px, f x
o
x
P` x, f x
P` x, f x
o
Px, f x
x