高中数学 必修四 教案：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
（一）导入新课
思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.
思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①平面向量的数量积能否用坐标表示?
②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?
③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？
④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？
活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:
∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j,
∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)
=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.
又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0,
∴a·b=x1x2+y1y2.
教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:
1°平面向量数量积的坐标表示
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,
即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),
则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.
2°向量模的坐标表示
若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.
如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么
a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-
3°两向量垂直的坐标表示
设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则
a ⊥
b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.
4°两向量夹角的坐标表示
设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=2222212
12
121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙
讨论结果:略
（三）应用示例
例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.
活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.
解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵=(2-1,3-2)=(1,1),
=(-2-1,5-2)=(-3,3),
∴·=1×(-3)+1×3=0. ∴⊥.
∴△ABC 是直角三角形.
变式训练
在△ABC 中,=(2,3),=(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.
解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.
若∠A=90°,则⊥,所以·=0.
于是2×1+3k=0.故k=3
2-. 同理可求,若∠B=90°时,k 的值为
311; 若∠C=90°时,k 的值为2
133±. 故所求k 的值为3
2-或311或2133±. 例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值;
(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.
活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=
2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=2222212
12
121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角
大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.
解:(1)=(5,1)-(2,-2)=(3,3), =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴·=3×(-1)+3×6=15.
又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,
∴cos ∠BAC=.74
745372315||||=∙=∙AC AB
(2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.
设a 与b 的夹角为θ,则 cosθ=
.2225315||||-=⨯-=∙b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π. 变式训练
设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(
精确到
解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.
|a |=74)7(522=
-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742
⨯-≈-0.03.
利用计算器中得θ≈92°.
例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:
(1)若a ⊥b ,求a ;
(2)若a ∥b ,求a.
活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,
应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.
解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,
得⎩⎨⎧=+==+,
032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或
∴a =或)13136,13139(-a =.1313
6,13139- (2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得
⎩⎨⎧=-==+.
023,9||222y x a y x
解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x
∴a =或)13139,13136(
a =)13139,13136(--. 变式训练
求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l 1)与一次函数y=2
1-x 的图象(直线l 2)互相垂直. 解:在l 1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l 1上取两点A(1,-1),B(2,1). 同理,在直线l 2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是: AB =(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),
=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).
由向量的数量积的坐标表示,可得·
=1×(-2)+1×2=0, ∴AB ⊥CD ,即l 1⊥l 2.。