线性代数第二章习题部分答案

线性代数第二章习题部分答案
第二章向量组的线性相关性
§2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题
1. 设3 α1α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,
α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T .
2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,
则线性组合α13α2+α3= (5,0,2)T .
3. 设矩阵A= 5 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，
则2β1+β2β3= (2,8,2)T .
二、试确定下列向量组的线性相关性
1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T
解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,
则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000
即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=03k2k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。

2. α1=(1,1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T
线性相关
三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,1)T, α3=(5,3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。

解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,
则k1 110 +k2 131 +k3 53t =0
即k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k24k3=0k2+tk3=0
k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0(t4)k3=0
所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关
四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。

解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，
使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=k1a1k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=k1k1+k2a1k2k1+k2a2.
五、已知向量组α1,α2,,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,,β2n线性相关。

解：因为β1β2+β3β4++β2n1β2n=0，
所以，向量组β1,β2,,β2n线性相关。

§2-2线性相关与线性无关（二）
一、设a1,a2线性相关，b1,b2线性相关，问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关并举例说明之。

解：取a1= 00 ,a2= 10 , b1= 00 ,b2= 01 .
a1+b1,a2+b2线性相关。

取a1= 00 ,a2= 10 , b1= 01 ,b2= 00 .
a1+b1,a2+b2线性无关。

二、举例说明下列各命题是错误的：
1．若向量组a1,a2,,a m是线性相关的，则a1可由a2,,a m线性表示。

解：取a1= 10 ,a2= 00 .
2．若有不全为0的数λ1，λ2，，λm,使
λ1a1+λ2a2+λm a m+λ1b1+λ2b2++λm b m=0
成立，则a1,a2,,a m是线性相关，b1,b2,,b m是线性相关.
解：取a1= 01 ,a2= 10 , b1= 10 ,b2= 01 .
3．若只有当λ1，λ2，，λm全为0时，等式
λ1a1+λ2a2+λm a m+λ1b1+λ2b2++λm b m=0
才能成立，则a1,a2,,a m是线性无关，b1,b2,,b m是线性无关。

解：取a1= 00 ,a2= 10 , b1= 01 ,b2= 00 .
4．若a1,a2,,a m是线性相关，b1,b2,,b m是线性相关，则有不全为0的数λ1，λ2，，λm，使λ1a1+λ2a2+λm a m=0，λ1b1+λ2b2++λm b m=0 同时成立。

解：取a1= 20 ,a2= 10 , b1= 10 ,b2= 10 .
三、设向量组a1,a2,,a m线性相关，且a1≠0,证明存在某个向量
a k(2≤k≤m)，使a k能由a1,,a k1线性表示。

证明：因为向量组a1,a2,,a m线性相关，所以存在不全为零的λ1，λ2，,λm使得λ1a1+λ2a2++λm a m=0。

设λ1，λ2，,λm中最后一个不为零的数是λk，即λk≠0，λk+1=0,λm=0，又因为a1≠0，所以，λk≠λ1。

即有λk≠0(2≤k≤m)，使得λ1a1+λ2a2++λk a k=0，于是，
a k=λ1λk a1+λ2λk a2++λk1λk a k1，命题得证。

四、已知R a1,a2,a3 =2,R a2,a3,a4 =3,
证明：（1）a1能由a2,a3线性表示。

（2）a4不能由a1,a2,a3线性表示。

证明：（1）因为R a2,a3,a4 =3，所以a2,a3,a4线性无关，由定理1
知a2,a3也线性无关；又因为R a1,a2,a3 =2，所以，a1,a2,a3线性相关，由定理3得a1能由a2,a3线性表示。

（2）反证法。

假设a4能由a1,a2,a3线性表示。

再利用（1）的结果，可推出a4能由a2,a3线性表示，由定理2得a2,a3,a4线性相关，与R
a2,a3,a4 =3矛盾。

所以，a4不能由a1,a2,a3线性表示。

五、设b1=a1,b2=a1+a2,,b r=a1+a2++a r，且向量a1,a2,,a r 线性无关，证明向量组b1，b2，，b r线性无关。

证明：设k1b1+k2b2++k r b r=0 ，则k1a1+k2 a1+a2 ++k r(a1+a2++a r)=0 (k1+k2++k r)a1+(k2++k r)a2++k r a r=0 而向量a1,a2,,a r线性无关，所以，k1+k2++k r=0k2++k r=0k r=0
k1=0k2=0k r=0
所以，向量组b1，b2，，b r线性无关。

§2-3 极大无关组（一）
一、证明n阶单位矩阵的秩为n.
证明：n阶单位矩阵的列向量组为e i=(0,,0,1,0,,0)T,i=1,,n, 设
k1e1+k2e2++k n e n=0, 则
k1 100 +k2 010 ++k n 001 = 000 k1k2k n = 000 k1=0k2=0k
r=0
所以，e1,e2,,e n线性无关，秩为n，则n阶单位矩阵的秩为n.
二、设矩阵A= a11a120a22a1n a2n00a nn (其中a11a22a nn≠0)则R A =n.
证明：设矩阵A的列向量组为a1= a1100 ,a2= a12a220 ,,a n= a1n a2n a nn 设k1a1+k2a2++k n a n=0, 则k1 a1100 +k2 a12a220 ++k n a1n a2n a nn = 000 k1a11+k2a12++k n a1n k2a22++k n a2n k n a nn = 000 k1=0k2=0k n=0
所以，a1,a2,,a n线性无关，秩为n，则R A =n.
三、求下列向量组的秩
1. α1=(1,1,0)T, α2=(2,1,1)T, α3=(1,3,1)T
R=3
2. α1=(1,2,1,3)T, α2=(4,1,5,6)T,
α3=(1,3,4,7)T
解：A=(α1,α2,α3)= 1 4 1213154367 r22r1r3r1r43r1 1 4 10 9 50 9 501810 r3r2r42r2 1 4 109 50 0 00 0 0
所以，R (α1,α2,α3)=2, α1,α2为极大无关组。

四、设a1,a2,,a n是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,e2,,e n 能由它们线性表示，证明a1,a2,,a n线性无关。

证明：因为n维单位坐标向量e1,e2,,e n能由a1,a2,,a n线性表示，所以，R(e1,e2,,e n)≤R(a1,a2,,a n)，而R e1,e2,,e n =n，R(a1,a2,,a n)≤n，所以，R a1,a2,,a n =n，于是，a1,a2,,a n线性无关。

五、设a1,a2,,a n是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示。

证明：充分性：如果任一n维向量都可由a1,a2,,a n线性表示，则n维单位坐标向量e1,e2,,e n能由a1,a2,,a n线性表示，利用上一题的结果，a1,a2,,a n线性无关。

必要性：如果a1,a2,,a n线性无关，对于任一n维向量a.
如果a=a i(i=1,2,,n),则a=0a1++0a i1+1a i+0a i+1++0a n，所
以，向量a能由a1,a2,,a n线性表示。

如果a≠a i(i=1,2,,n)，则a,a1,a2,,a n这n+1个n维向量线性相关，而
a1,a2,,a n线性无关，由定理3得向量a能由a1,a2,,a n线性表示。

（另证：如果a1,a2,,a n线性无关，而n的维数是n，所以a1,a2,,a n为n 的一组基，所以n中的一n维向量都可由它们线性表示。

）
§2-3 极大无关组（二）
一、设A,B为同阶矩阵，求证R A+B ≤R(A,B)≤R A +R(B)。

证明：设A的列向量组为a1，a2，，a n，极大无关组为a1，a2，，a s；B的列向量组为b1，b2，，b n，极大无关组为b1，b2，，b r. 则A+B的列向量组为a1+b1，a2+b2，，a n+b n能由(A,B)的列向量组a1，a2，，a n，b1，b2，，b n线性表示，所以，R A+B ≤R(A,B).
又(A,B)的列向量组a1，a2，，a n，b1，b2，，b n能由
a1，a2，，a s，b1，b2，，b r，所以，
R A,B ≤R(a1，，a s，b1，，b r)≤s+r=R A +R(B).
二、设向量组B:b1，b2，，b r能由向量组A:a1，a2，，a s线性表示(b1，b2，，b r)= a1，a2，，a s K
其中K为s×r矩阵，且A线性无关。

证明B线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩为R K =r.
证明：
必要性. 已知B:b1，b2，，b r线性无关. 则R B =r,
设矩阵B=(b1，b2，，b r), 矩阵A= a1，a2，，a s ，则B=AK，所以，r=R B ≤R(K s×r)≤r，得R K =r.
充分性. 已知R K =r，则K的列向量组k1，k2，，k r线性无关。

设λ1b1+λ2b2++λr b r=0 (b1，b2，，b r) λ1λ2λr =0 a1，a2，，a s K λ1λ2λr =0 A:a1，a2，，a s线性无关K λ1λ2λr =0 k1，k2，，k r λ1λ2λr =0 k1，k2，，k r线性无关
λ1=λ2==λr=0
B:b1，b2，，b r线性无关。

三、设β1= a2+a3++a nβ2= a1 +a3++a nβn= a1+ a2++a n1
证明：向量组a1,a2,,a n与向量组β1,β2,,βn等价。

证明：因为β1= 0a1+a2+a3++a nβ2= a1+0a2+a3++a nβn= a1+
a2++a n1+0a n
所以，向量组β1,β2,,βn可以由向量组a1,a2,,a n线性表示。

把β1= a2+a3++a nβ2= a1 +a3++a nβn= a1+ a2++a n1 各式相加后得
β1+β2++βn= n1 a1+ a2++a n
1n1(β1+β2++βn)= a1+ a2++a n
可得a1= 1n1(β1+β2++βn)β1a2= 1n1(β1+β2++βn)β2a n= 1n1(β1+β2++βn)βn 所以，向量组a1,a2,,a n可以由向量组β1,β2,,βn线性表示。

由上，向量组a1,a2,,a n与向量组β1,β2,,βn等价。

四、已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3AxA2x，且向量组x,Ax,A2x线性无关，记P=(x,Ax,A2x)，求3阶矩阵B使AP=PB.
解：设B= b11b12 b13b21b22 b23b31b32b33 ，
AP=PBA x,Ax,A2x =(x,Ax,A2x) B
Ax,A2x,3AxA2x =(x,Ax,A2x) b11b12 b13b21b22 b23b31b32b33
Ax=b11x+b21Ax+b31A2xA2x=b12x+b22Ax+b32A2x3AxA2 x=b13x+b23Ax+b3 3A2x b11x+ b211 Ax+b31A2x=0b12x+b22Ax+(b321)A2x=0b13x+ b233 Ax+(b33+1)A2x=0
由向量组x,Ax,A2x线性无关得B= 00 010 3011 .
§2-4，§2-5 向量空间，内积与标准正交基
一、设V1={x= x1,x2,,x n T|x1+x2++x n=0},
V2={x= x1,x2,,x n T|x1+x2++x n=1},
V3={x= x1,x2,,x n T|x1=2x2,x3=4x4},
问V1,V2,V3是不是向量空间，为什么
答：V1是，V2不是，V3是
二、验证：α1=(0,1,1)T, α2=(1,0,1)T, α3=(1,1,0)T为3的一个基, 并把α=(2,5,8)T用这个基线性表示.
解：(α1,α2,α3,α)= 0 r1r2r3r1r43r1 1213 r3r2r3×(12)r43r1 1/2 r2r3r1r3
1/205/211/2
所以，α=112α1+52α212α3.
三、证明n中不存在n+1个线性无关的向量，从而n中不存在n+1个两两正交的非零向量。

证明：因为n的维数是n，所以n中不存在n+1个线性无关的向量。

又因为两两正交的非零向量必是线性无关的，所以，n中不存在n+1个两两正交的非零向量。

四、用施密特法把下列向量组规范正交化α1,α2,α3 = 9
解：β1=α1= 111 ;
β2=α2(β1,α2)(β1,β1)β1= 123 63 111 = 101 ;
β3=α3β1,α3 β1,β1 β1β2,α3 β2,β2 β2;
= 149 143 111 82 101 =13 121
所以，e1=(1 3,1 3,1 3)T, e2=(1 2,0,1 2)T, e3=(1 6,2 6,1 6)T.
六、证明下列各题
(1) x为n维列向量，且x T x=1,求证：H=E2xx T是对称的正交阵。

(2) 设A,B为同阶正交阵，证明：AB也是正交阵。

证明：
(1) H T= E2xx T T=E T2(x T)T x T=E2xx T=H ，H对称；
H T H= E2xx T E2xx T =E4xx T+4x(x T x)x T=E，H正交。

(2) 因为A,B为同阶正交阵，所以，A T A=E，B T B=E，于是，AB T AB =B T A T AB=B T B=E，所以，AB也是正交阵。