辽宁省(全国卷Ⅱ)高考压轴卷 数学(文)(解析版)9
全国各地2022年数学高考真题及答案-(辽宁文)含详解
全国各地2022年数学高考真题及答案-(辽宁文)含详解2022年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）第Ⅰ卷（选择题共60分）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B)S=4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=43πR3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径Pn(k)=CknPk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合M=｛某|-3＜某＜1|,N={某|某≤-3},则M=N(A)(B){某|某≥-3}(C){某|某≥1}(D){某|某＜1|(2)若函数y=(某+1)(某-a)为偶函数，则a=(A)-2(B)-2(C)1(D)2(3)圆某2+y2=1与直线y=k某+2没有公共点的充要条件是(A)2,2(-∈k)(B)3,3(-∈k)(C)k),2()2,(+∞--∞∈(D)k),3()3,(+∞--∞∈(4)已知0＜a＜1,某=loga2loga3,y=,5log21az=loga3,则(A)某＞y＞z(B)z＞y＞某(C)y＞某＞z(D)z＞某＞y(5)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且2=,则顶点D的坐标为(A)(2,27)(B)(2,－21)(C)(3,2)(D)(1,3)(6)设P为曲线C:y=某2+2某+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为4,0π，则点P横坐标的取值范围为(A)--21,1(B)[-1,0](C)[0,1](D)1,21(7)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(A)31(B)21(C)32(D)43(8)将函数y=2某+1的图象按向量a平移得到函数y=2某+1的图象，则(A)a=(-1,-1)(B)a=(1,-1)(C)a=(1,1)(D)a=(-1,1)(9)已知变量某、y满足约束条件≥+-≤--≤-+,01,013,01某y某y某y则z＝2某+y的最大值为第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）函数23()某ye某+=-∞+∞的反函数是.（14）在体积为的球的表面上有A、B、C三点，AB=1,BCA、C两点的球面距离为3π，则球心到平面ABC的距离为.（15）3621(1)()某某某++展开式中的常数项为.（16）设(0,)2某π∈，则函数22in1in2某y 某+=的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B,C，对边的边长分别是a,b,c.已知2,3cCπ== .（Ⅰ）若△ABCa,b;（Ⅱ）若in2inBA=，求△ABC的面积.（18）（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求（i）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率;（ii）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直;（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值;（Ⅲ）若12b=，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值.（20）（本小题满分12分）已知数列{an},{bn}是各项均为正数的等比数列，设(N某)nnnbcna=∈.（Ⅰ）数列{cn}是否为等比数列？证明你的结论;（Ⅱ）设数列{tnan},{lnbn}的前n项和分别为Sn,Tn.若12,,21nnSnaTn==+求数列{cn}的前n项和.(21)（本小题满分12分）在平面直角坐标系某Oy中，点P到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.(Ⅰ)写出C的方程；(Ⅱ)设直线y=k某+1与C交于A、B两点.k为何值时OBOA⊥此时||的值是多少？(22)（本小题满分14分）设函数f(某)=a某3+b某2－3a2某+1(a、b∈R)在某=某1，某=某2处取得极值，且|某1－某2|=2.(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(某)的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范围.2022年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供文科考生使用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式：如果事件AB，互斥，那么球的表面积公式()()()PABPAPB+=+2如果事件AB，相互独立，那么其中R表示球的半径()()()PABPAPB=球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么34π3VR=n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率(012)kknknnPkCPpkn-=-=，，，，其中R表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}31M某某=-<<，{}3N某某=-≤，则MN=（D）A．B．{}3某某-≥C．{}1某某≥D．{}1某某<解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。
2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)
2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。
2023-2024高考模拟压轴卷(二) 数学试卷(含答案解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（二）本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码､考场号､座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点()06,P y 在焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>上，若152PF =，则p =（ ）A.3B.6C.9D.122.电影《孤注一郑》的上映引发了电信诈骗问题的热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多（ ）A.6人B.9人C.12人D.18人3.已知0a b c >>>，则下列说法一定正确的是（ ）A.a b c >+ B.2a bc <C.2ac b >D.2ab bc b ac+>+4.已知向量()()2,3,1,2a b =-=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为（ ）A.816,1717⎛⎫-⎪⎝⎭ B.1220,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.1220,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.2020,1717⎛⎫- ⎪⎝⎭5.已知某正六棱柱的体积为（）A.18+B.18+C.24+D.24+6.已知甲､乙两地之间的路线图如图所示，其可大致认为是()()cos 03πf x x x =……的图像.某日小明和小红分别从甲､乙两地同时出发沿着路线相向而行，当小明到达乙地时，小红也停止前行.若将小明行走轨迹的点记为(),a b ，小红行走轨迹的点记为(),c d ，且满足3π2ac +=，函数()2g a bd =-，则()g a 的一个单调递减区间为（）A.4π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.π5π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.4π8π,33⎛⎫⎪⎝⎭D.()2π,3π7.已知椭圆22:1(09,)9x y C m m m+=<<∈Z 的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上但不在坐标轴上，且12PF F 是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为78，则m =（ ）A.4B.5C.6D.88.已知函数()()e eln e 1xmf x m x x=++-的定义域为()0,∞+，若()f x 存在零点，则m 的取值范围为（）A.1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.(]0,eC.10,e⎛⎤ ⎥⎝⎦D.[)e,∞+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知1232i,4i z z =+=-，则（ ）A.12z z +的虚部为-1B.1243z z -是纯虚数C.12z z 在复平面内所对应的点位于第一象限D.214iz z =+10.已知()7270127(43)13(13)(13)x a a x a x a x -=+-+-++- ，则（ ）A.4945a =B.77141ii a==-∑C.136024622a a a a +++=+D.613135722a a a a +++=-11.设()M x 是定义在*N 上的奇因函数，是指x 的最大奇因数，比如：()()33,63M M ==，()81M =，则（ ）A.对()()*,212k M k M k ∈-N …B.()()2M k M k =C.()()()1263931M M M +++= D.()126363M +++= 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}2450,{}A xx x B x x m =-->=>∣∣，若0m =，则()A B ⋂=R ð__________；若A B ⋃=R ，则m 的取值范围为__________.13.某校拟开设“生活中的数学”“音乐中的数学”“逻辑推理论”“彩票中的数学”和“数学建模”5门研究性学习课程，要求每位同学选择其中2门进行研修，记事件A 为甲､乙两人至多有1门相同，且甲必须选择“音乐中的数学”，则()P A =__________.14.定义：对于函数()f x 和数列{}n x ，若()()()10n n n n x x f x f x +-+='，则称数列{}n x 具有“()f x 函数性质”.已知二次函数()f x 图像的最低点为()0,4-，且()()121f x f x x +=++，若数列{}n x 具有“()f x 函数性质”，且首项为1的数列{}n a 满足()()ln 2ln 2n n n a x x =+--，记{}n a 的前n 项和为n S ，则数列52n n S ⎧⎫⎛⎫⋅-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）公众号《全元高考》，且()2tan tan tan b B a B A B =-+.已知函数()在 ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，其中c =（1）求C ；（2）求a 2+b 2的取值范围.16.（15分）ln x f x x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.（1）讨论()f x 的最值；（2）若1a =，且()e x k xf x x-…，求k 的取值范围.17.（15分）在如图①所示的平面图形中，四边形ACDE 为菱形，现沿AC 进行翻折，使得AB ⊥平面ACDE ，过点E 作EF ∥AB ，且12EF AB =，连接,,FD FB BD ，所得图形如图②所示，其中G 为线段BD 的中点，连接FG .（1）求证：FG ⊥平面ABD ；（2）若2AC AD ==，直线FG 与平面BCD，求AB 的值.18.（17分）某汽车销售公司为了提升公司的业绩，现将最近300个工作日每日的汽车销售情况进行统计，如图所示.（1）求a 的值以及该公司这300个工作日每日汽车销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）以频率估计概率，若在所有工作日中随机选择4天，记汽车销售量在区间[200,250)内的天数为X ，求X 的分布列及数学期望；公众号《全元高考》公众号《全元高考》（3）为增加销售量，公司规定顾客每购买一辆汽车可以进行一次抽奖活动，规则如下：抽奖区有,A B 两个盒子，其中A 盒中放有9张金卡､1张银卡，B 盒中放有2张金卡､8张银卡，顾客在不知情的情况下随机选择其中一个盒子进行抽奖，直到抽到金卡则抽奖结束（每次抽出一张卡，然后放回原来的盒中，再进行下次抽奖，中途可更换盒子），卡片结果的排列对应相应的礼品.已知顾客小明每次抽奖选择两个盒子的概率相同，求小明在首次抽奖抽出银卡的条件下，第二次从另外一个盒子中抽奖抽出金卡的概率.19.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左顶点为A ，直线1:2l y x =-与C 的一条渐近线平行，且与C 交于点B ，直线AB 的斜率为13.（1）求C 的方程；（2）已知直线()2:28l y x m m =+≠与C 交于,P Q 两点，问：是否存在满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ 的点()00,E x y ？若存在，求2200x y -的值；若不存在，请说明理由.数学（二）一､选择题1.A 【解析】由抛物线的定义可知15622p PF =+=，解得3p =.故选A 项.2.B 【解析】设中年人抽取x 人，青少年抽取y 人，由分层随机抽样可知20080,48036480x ==36y，解得15,6x y ==，故中年人比青少年多9人.故选B 项.3.D 【解析】当3,2,1a b c ===时，a b c =+，且2ac b <，故A ，C 项错误；因为0a b >>，0a c >>，所以2a bc >，故B 项错误；()()()20ab bc b ac b c a b +-+=-->，故D 项正确.故选D项.4.C 【解析】由题意得()()1,1,3,5a b a b +=--=- ，则a b + 在a b - 方向上的投影向量为2()()1220(),1717||a b a b a b a b +⋅-⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，故选C 项.5.D 【解析】设该正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，其外接球的半径为R，易知34ππ3R =，则R ==①26h ⋅⋅=②，联立①②，因为h ∈Z ，解得1,4a h ==，所以正六棱柱的表面积212624S ah =⋅+=.故选D 项.6.A 【解析】依题意得cos ,cos cos 3πcos 22a a b a d c ⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭，且03π,03π3π,2a a⎧⎪⎨-⎪⎩…………解得03πa ……，则()2cos 2cos2cos 2cos 1222a a a g a a =+=+-，令cos 2at =，则[]1,1t ∈-，因为2221y t t =+-在区间11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，所以()g a 在区间4π8π0,,2π,33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内单调递减.故选A 项.7.B 【解析】依题意得126PF PF +=，设12F F n =，不妨设点P 在第一象限，则112PF F F n ==，则26(06)PF n n =-<<，故222122(6)7cos 28n n n PF F n ∠+--==或()22221(6)7cos 268n n n PF F n n ∠+--==-，解得4n =或2411n =，又2,2n m m ⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭Z 9，所以4,5n m ==.故选B 项.8.C 【解析】由题意得0m >，令()0f x =，则()ln ln ee ln e eln x mx x m x +++=+.令()e e x g x x =+，易知()g x 单调递增，所以()()ln ln g x m g x +=，即ln ln x m x +=，即ln ln m x x =-.令()ln h x x x =-，则()1xh x x'-=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减，又()11h =-，当0x →时，()h x ∞→-，所以ln 1m -…，解得10em <….故选C 项.二､多选题9.BC 【解析】127i z z +=+的虚部为1，故A 项错误；124311i z z -=为纯虚数，故B 项正确；()()1232i 4i 145i z z =+-=+，其在复平面内所对应的点()14,5位于第一象限，故C项正确；24i 14i i iz -==--=，144z +=+，故D 项错误.故选BC 项.10.AC 【解析】依题意得()77(43)[313]x x -=+-，所以4347C 33527a =⨯=⨯=945，故A 项正确；令13x =，得03a =，令0x =，得7704i i a ==∑，所以777143i i a ==-∑，故B 项错误；令23x =，得7012345672a a a a a a a a =-+-+-+-①，又7012345674a a a a a a a a =+++++++②，由①+②可得77135024642222a a a a ++++==+，故C 项正确；同理，由②-①得136135722a a a a +++=-，故D 项错误.故选AC 项.11.ABD 【解析】由题意得()()2M k M k =，故B 项正确；()()()2,2121M k M k k M k k k =-=-……，故A 项正确；516312363632632+++++=⨯=⨯ ，所以()()123636363M M ++++== ，故D 项正确；()()()()1263[1M M M M +++=+ ()()][()()36324M M M M ++++++ ()][()6213631M M =+++++()()()1023121M M M ⎤⎡++=++⎦⎣ ()()][()()33124M M M M ++++++ ()108642030]222222M ==+++++=614136514-=-，故C 项错误.故选ABD 项.三､填空题12.()50,14x x ∞⎧⎫<--⎨⎬⎩⎭… 【解析】集合{1A xx =<-∣或54x ⎫>⎬⎭，所以R A =ð504B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭….若A B ⋃=R ，结合数轴可知1m <-，故m 的取值范围为(,1)∞--.13.925【解析】若甲､乙两人的选课都不相同则共有1243C C 4312=⨯=种；若甲､乙两人的选课有1门相同，则共有2114432C C C 24+=种.故()225512249C C 25P A +==.14.-5112【解析】由题意知()24(0)f x ax a =->，又()()()12121f x f x a x x +-=+=+，所以1a =，则()24f x x =-.由题意得()()2ln 2ln 2ln2n n n n n x a x x x +=+--=-，由()()()10n n n n x x f x f x +-+='，得()()1n n n n f x x x f x +='-，即2214422n n n n n nx x x x x x +-+=-=，又()()2211222,222n n n n nnx x x x x x +++-+=-=，所以()()21212222n n n n x x x x ++++=--，则1122ln 2ln 22n n n nx x x x ++++=--，即12n n a a +=，故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12,21n n n n a S -==-.令n n c S =.()552122n n n ⎛⎫⎛⎫-=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()111822n n nc c n -+-=-⋅-，故当8n …时，1n n c c +<，当9n …时，1n n c c +>，故()9min 5112n c c ==-.四､解答题15.解：（1）因为()()tan tan πtan A B C C +=-=-，所以2tan tan tan b B a B C=+，由正弦定理得sin 2tan sin tan tan B BA B C==+()2sin cos 2sin cos sin cos cos sin sin B C B CB C B C B C ==++2sin cos sin B C A因为sin 0,sin 0A B ≠≠，所以2cos 1C =，则1cos 2C =，又()0,πC ∈，所以π3C =.（2）由余弦定理得223a b ab =+-，因为222a b ab +…，所以22222222,22a b a b a b ab a b +++-+-=…即226a b +….当且仅当a b ==.又223a b ab +=+，且0ab >，所以223a b +>.综上，22a b +的取值范围为(]3,6.16.解：（1）由题意得()f x 的定义域为()0,∞+，()11,ax f x a x x-=-='当()0,0,a x ∞∈+…时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,∞+内单调递减，无最值；当0a >时，令()0f x '=，得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '<单调递减，当1,x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()()0,f x f x '>单调递增.故当1x a =时，()f x 取得最小值，且最小值为11ln f a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无最大值.综上，当0a …时，()f x 无最值；当0a >时，()f x 的最小值为1ln a +，无最大值.（2）当1a =时，由()e x k xf x x -…，得e ln x k xx x x--…，整理得2e ln x k x x x x +-…，即2ln e x x x x xk +-….令()2ln e x x x x xh x +-=，则()h x '()()()2221ln 1e ln e e x xx x x x x x x +---+-=()()ln 1e x x x x --=，由（1）知，当1a =时，()ln f x x x =-的最小值为()110f =>，即ln 0x x ->恒成立，所以当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '>单调递增；当()1,x ∞∈+时，()()0,h x h x '<单调递减.故当1x =时，()h x 取得最大值()21e h =，即2e k …，故k 的取值范围为2,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.17.（1）证明：连接CE 交AD 于点O ，连接GO .在菱形ACDE 中，CE AD ⊥，因为AB ⊥平面,ACDE CE ⊂平面ACDE ，所以CE AB ⊥，又,,AB AD A AB AD ⋂=⊂平面ABD ，所以CE ⊥平面ABD .因为,G O 分别为,BD AD 的中点，所以1,2GO AB GO =∥AB ，又1,2EF AB EF =∥AB ，所以GO EF ∥，所以四边形GOEF 为平行四边形，所以FG ∥EO ，所以FG ⊥平面ABD .（2）解：在菱形ACDE 中，因为AC AD =，所以ACD 和ADE 都是正三角形，取ED 的中点H ，连接AH ，则AH AC ⊥，又AB ⊥平面ACDE ，所以,AB AC AB AH ⊥⊥，即,,AB AC AH 两两垂直.以A 为坐标原点，,,AB AC AH 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2(0)AB a a =>，则1(0,2,0),(2,0,0),(,,2C B a D F a G a ⎛- ⎝则()2,2,0,(0,1BC a CD =-=-，30,,2FG ⎛= ⎝ .设平面BCD 的法向量为(),,m x y z =，则220,0,m BC ax y m CD y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 取1z =，则m ⎫=⎪⎪⎭.记直线FG 与平面BCD 所成角为θ，则||sin |cos ,|||||FG m FG m FG m θ⋅=〈〉===解得1a =，即AB 的值为2.18.解：（1）依题意得(0.0010.0020.00320.006)50 1.a ++++⨯=解得0.004a =.所求平均数为250.1750.15125⨯+⨯+⨯0.21750.32250.22750.05150+⨯+⨯+⨯=.（2）依题意得14,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()4425605625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()314142561C 55625P X ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()222414962C ,55625P X ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33414163C 55625P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()41145625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭X 01234P 25662525662596625166251625故()14455E X =⨯=.（3）设“选到A 盒”为事件1A ，“选到B 盒”为事件2A ，，摸到金卡”为事件1B ，，摸到银卡”为事件2B ，因为12,B B 是对立事件，所以()119121*********P B =⨯+⨯=.()()2191.20P B P B =-=由题意得()()1212P A P A ==，所以()()()12122P A B P A B P B ==∣()()()2112111102,9920P B A P A P B ⨯==∣则()()2212819P A B P A B =-=∣∣.故所求的概率89123791091045P =⨯+⨯=.19.解：（1）易知C 的一条渐近线方程为y x =，则a b =.设(),2B t t -，又(),0,0A a a ->，直线AB 的斜率为13，所以213t t a -=+，解得62a t +=，则62,22a a B ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入222x y a -=中，解得4a =.故C 的方程为2211616x y -=.（2）因为EA EP EP EQ ⋅=⋅ ，所以()0EP EA EQ ⋅-= ，即0EP QA ⋅=，所以PE AQ ⊥，同理可得,AE PQ EQ AP ⊥⊥.设()()1122,,,P x y Q x y ，联立221,16162.x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩整理得2234160x mx m +++=，由题意知()22Δ1612160m m =-+>，且8m ≠，解得m <-m >8m ≠，所以21212416,33m m x x x x ++=-=.过点A 与2l 垂直的直线的方程为122y x =--，设该直线与C 的右支交于另一点H ，联立221,161612,2x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩整理得238800x x --=，解得203x =或4x =-（舍去）.所以2016,33H ⎛⎫- ⎪⎝⎭.因为(1122016,33PH AQ x y x ⎛⎫⋅=---⋅+ ⎪⎝⎭)22121220801644333y x x x x y ⋅=+----(122121220801642333y y x x x x x =+---+()()1212)225(1m x m x m x x -++=--+()()()22128016164802)54233333m m x x m m m m +⎛⎫++--=-⨯-+⋅-+- ⎪⎝⎭222216580168801603333333m m m m m m m -=--+++--=所以PH AQ ⊥，同理可证QH AP ⊥.又AH PQ ⊥，所以H 与E 重合.因为H 在C 上，所以220016x y -=.故存在点E 满足EA EP EP EQ EA EQ ⋅=⋅=⋅ ，且220ij x y -的值为16.。
2023-2024学年辽宁省沈阳市高三下学期高考数学押题模拟试题(二模)含答案
2023-2024学年辽宁省沈阳市高三下学期高考数学押题模拟试题（二模）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{12}A x x =-≤<∣，{1}B x x =>∣，则()R A B ð=（）A.{11}xx -≤<∣ B.{11}x x -≤≤∣C.{12}xx -≤<∣ D.{2}xx <∣【正确答案】B【分析】由交集与补集的定义求解即可.【详解】因为集合{1}B xx =>∣，所以R {1}B x x =≤∣ð，所以()R {11}A B x x =-≤≤ ∣ð.故选：B.2.已知2i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程20(,)x bx c b c ++=∈R 的一个根，则b c +=（）A.9B.1C.7- D.2i 5-【正确答案】B【分析】把方程的根代入方程，利用复数相等的列方程组求解.【详解】已知2i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程20(,)x bx c b c ++=∈R 的一个根，则2(2i)(2i)0b c -+-+=，即44i 12i 0b b c --+-+=，即32040b c b ++=⎧⎨--=⎩，解得45b c =-⎧⎨=⎩，故1b c +=.故选：B ．3.已知向量()()1,1,2,a b x =-= ，若//a b，则a b -=r r （）A. B.3C. D.2【正确答案】A【分析】根据向量共线的规则求出x ，再根据向量的坐标运算规则求解.【详解】//,12,2a b x x ∴-=⨯=-，()3,3,a b a b -=--=；故选：A.4.大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数N （N 不为素数）能唯一地写成1212k aa ak N p p p =⋅ （其中i p 是素数，i a 是正整数，)121,k i k p p p ≤≤<<< ，将上式称为自然数N 的标准分解式，且N 的标准分解式中有12k a a a +++ 个素数.从360的标准分解式中任取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（）A.6B.13C.19D.60【正确答案】C【分析】首先根据N 的标准分解式得到32360235=⨯⨯，然后根据这6个素数的特点进行分类讨论，最后利用分类加法计数原理即可得解．【详解】根据N 的标准分解式可得32360235=⨯⨯，故从2，2，2，3，3，5这6个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况：①选取3个2，可以组成1个三位数；②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成1223C C 6⨯=个不同的三位数；③选取1个2后，再选2个3，可以组成1232C C 3⋅=个不同的三位数；④选取2，3，5，可以组成33A 6=个不同的三位数；⑤选取3，3，5，可以组成13C 3=个不同的三位数；所以从120的标准分解式中任取3个素数，一共可以组成1636319++++=个不同的三位数.故选：C ．5.在公差不为0的等差数列{}n a 中，12312,,,,k k k a a a a a 成公比为3的等比数列，则3k =（）A.14B.34C.41D.86【正确答案】C【分析】根据题意求得213a a =，得到3181k a a =，再由等差数列的通项公式，求得331(21)k a k a =-，列出方程，即可求解.【详解】因为12312,,,,k k k a a a a a 成公比为3的等比数列，可得213a a =，所以3411381k a a a =⋅=又因为数列{}n a 为等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以31313131(1)2(1)(21)k a a k d a k a k a =+-=+-=-，所以311(21)81k a a -=，解得341k =.故选：C.6.函数()f x 的定义域为R ，()2e x y f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为（）A.eB.C. D.【正确答案】B【分析】根据奇偶函数的定义可得e 5e ()2x xf x -+=，再利用基本不等式求最小值.【详解】由题意可得()2e ()2e ()3e ()3e x xx xf x f x f x f x --⎧+=-+⎪⎨⎡⎤-=---⎪⎣⎦⎩，解得e 5e ()2x xf x -+=，因为e 5e ()22x x f x -+=≥=，当且仅当e 5e x x -=，即1ln 52x =时，等号成立，所以()f x 的故选：B.7.若将整个样本空间想象成一个边长为1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的阴影部分的面积表示（）A.事件A 发生的概率B.事件B 发生的概率C.事件B 不发生条件下事件A 发生的概率D.事件A 、B 同时发生的概率【正确答案】A【分析】理解条件概率()P A B 和()P A B 的含义，可得阴影部分面积表示的含义.【详解】由题意可知：()P A B 表示在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，()P A B 表示在事件B 不发生的条件下，事件A 发生的概率，结合在一块就是事件A 发生的概率.故选：A.8.如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为α（单位：mm ）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为β（单位：mm ）.若10,5αβ==，每对轧辊的减薄率r 不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（）（一对轧辊减薄率100%,lg20.3010,lg30.4771r αβα-=⨯==）A.14B.15C.16D.17【正确答案】D【分析】根据题意可得()10145n-%≤，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数.【详解】厚度为10α=mm 的带钢从一端输入经过减薄率为4%的n 对轧辊后厚度为()1014n-%，过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为5β=，则()10145n-%≤()1142n⇒-%≤，()1142n-%>0>0 ，()()lg lglg l 11g 41422nn -%≤⇒-%≤-∴()()lg2lg l 4g 114n --%<∴≥-% 0，()5lg2lg2lg2lg0.96lg3560lg220lg 320.0.31016.8150.477150.300211n ----⇒+-⨯≥===≈+-⨯⨯故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在一次歌唱比赛中，以下表格数据是5位评委给甲､乙两名选手评出的成绩（分数），则下列说法正确的是（）甲乙87909691869086928795A.甲选手成绩的极差大于乙选手成绩的极差B.甲选手成绩的75%分位数小于乙选手成绩的75%分位数C.从甲的5次成绩中任取2个，均大于甲的平均成绩的概率为310D.从乙的5次成绩中任取3个，事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均分”是对立事件【正确答案】ABD【分析】直接由极差、百分位数、古典概型概率以及对立事件的概念依次判断4个选项即可.【详解】对于A 选项，根据极差的概念，可知甲选手成绩的极差为968610-=，乙选手成绩的极差为95869-=.故A 正确；对于B 选项，575% 3.75⨯=，则甲成绩的75%分位数是91，乙成绩的75%分位数是92.故B 正确；对于C 选项，甲的平均成绩为()18790969186905⨯++++=，从甲的5次成绩中任取2次成绩样本空间有{(87,90),(87,96),(87,91),(87,86),(90,96),(90,91),(90,86),(96,91),(96,86),(91,86)}Ω=，共10个样本点，其中均大于甲的平均成绩的样本点只有1个为(96,91)，故所求概率为110，故C 错误.对于D 选项，乙的平均成绩为()19086928795905⨯++++=，抽到不超过平均分的个数为0，1，2，所以事件“至多1个超过平均分”与事件“恰有2个超过平均分”是对立事件，故D 正确；故选：ABD.10.已知0x >，0y >，且3x y +=，则下列结论中正确的是（）A.xy 有最小值94B.222x y +有最小值3C.41x y +有最小值43D.2xy 有最大值4【正确答案】BD【分析】由已知结合基本不等式可检验A ；结合二次函数的性质可检验B ；结合“1”的代换及基本不等式可检验C ；结合导数与函数单调性关系可检验D.【详解】因为0x >，0y >，且3x y +=，所以2924x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当32x y ==时取等号，A 错；由0x >，0y >，且3x y +=，得03x <<，所以()2222213369222x y x x x x =+-=+-+()232332x =-+≥，当2,1x y ==时取等号，B 正确；4141543333x y y x x y x y x y ⎛⎫++=+=++ ⎪⎝⎭5543333≥+=+=，当且仅当433=y xx y，即2,1x y ==时取等号，C 错；令()()223233,03f y xy y y y y y ==-=-+<<，则()()23632f y y y y y '=-+=--，易得，当02y <<时，()0f y '>，()f y 单调递增，当23y <<时，()0f y '<，()f y 单调递减，故2y =时，()f y 取得最大值()24f =，D 正确.故选：BD11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，P 是正方形ABCD 内部(含边界)的一个动点，则（）A.存在唯一点P ，使得11D P B C⊥B.存在唯一点P ，使得直线1D P 与平面ABCD 所成的角取到最小值C.若12DP DB =，则三棱锥1P BB C -外接球的表面积为8πD.若异面直线1D P 与1A B 所成的角为4π，则动点P 的轨迹是抛物线的一部分【正确答案】BCD【分析】由线面垂直得线线垂直来确定点P 位置，判断选项A ；几何法找线面角，当角最小时确定点P 位置，判断选项B ；P 为DB 中点时，求三棱锥1P BB C -外接球的半径，计算外接球的表面积，判断选项C ；利用向量法解决异面直线所成角的问题，求出动点P 的轨迹，判断选项D.【详解】对于A 选项：正方形11BCC B 中，有11BC B C ⊥，正方体中有AB ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，1AB B C ⊥，又1BC AB B =，1,BC AB ⊂平面11ABC D ，1B C ⊥平面11ABC D ，只要1D P ⊂平面11ABC D ，就有11D P B C ⊥，P 在线段AB 上，有无数个点，A选项错误；对于B 选项：1D D ⊥平面ABCD ，直线1D P 与平面ABCD 所成的角为1D PD ∠，12D D =，1D PD ∠取到最小值时，PD 最大，此时点P 与点B 重合，B 选项正确；对于C 选项：若12DP DB = ，则P 为DB 中点，PBC 为等腰直角三角形，外接圆半径为112BC =，三棱锥1P BB C -外接球的球心到平面PBC 的距离为1112BB =，所以三棱锥1P BB C -外接球的表面积为8π，C 选项正确；对于D 选项：以D 为原点，1,,DA DC DD的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()10,0,2D ，()12,0,2A ，()2,2,0B ，设()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤，则有()1,,2D P x y =-，()10,2,2A B =-，有111111π2cos ,cos42D P A B D P A B D P A B⋅===⋅，化简得24x y =，P 是正方形ABCD 内部(含边界)的一个动点，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，D 选项正确.故选：BCD12.已知抛物线2:2E y px =的焦点为()1,0F ，过点()2,0的直线交E 于,A B 两点，点C 在抛物线E 上，则下列说法正确的是（）A.CF 的最小值为1B.ABF △的周长的最小值为6+C.若CA CB =，则AC AB ⋅的最小值为32D.若过,A B 分别作抛物线E 的切线，两切线相交于点D ，则点D 在抛物线E 的准线上【正确答案】AB【分析】利用焦半径公式求出焦点弦，然后求出最小值判断A ，求出三角形周长的表达式，然后利用单调性求出最小值判断B ，利用数量积的几何意义求得AC AB ⋅212AB =，进一步求出最值判断C ，待定系数法求得两切线方程，求出点D 的坐标，即可判断D .【详解】因为抛物线2:2E y px =的焦点为()1,0F ，所以2p =，即抛物线2:4E y x =，由题意，设直线AB 方程为：2x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，对选项A ：由抛物线定义知：3312pCF x x =+=+，因为30x ≥，所以311CF x =+≥，即CF 的最小值为1，故A 正确；对选项B ：联立242y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2480y my --=，则12124,8y y m y y +==-，所以ABF △的周长121211ABF C AF BF AB x x y =++=+++-12()6m y y =++246m =++24[6m =++，令20t m =≥，则4[64[6ABF C t t =++=++ ，易知函数y t =在[0,)+∞上单调递增，函数232y t t =++的对称轴为32t =-，故其在[0,)+∞上单调递增，所以函数y =[0,)+∞上单调递增，从而4[6ABF C t =++ 在[0,)+∞上单调递增，所以当0=t 即0m =时，ABF C 有最小值6ABF C =+ ，即直线AB 为2x =，ABF △的周长有最小值为6+，故B 正确；对选项C ：因为CA CB =,所以点C 在AB 的垂直平分线上,记AB 的中点为H ，则CH AB ⊥，所以22111()0222AC AB AH HC AB AH AB HC AB AB AB AB AB⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅+==，由选项B 知，0)AB t =≥，所以当0=t 时，AB 取到最小值则AC AB ⋅的最小值为21162⨯=，故C 错误；对选项D ：联立242y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2480y my --=，则12124,8y y m y y +==-，设过点A 的切线方程为()2114y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立211244y y y k x y x⎧⎛⎫-=-⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，整理得2211440y y y y k k -+-=，由22114440y y k k ⎛⎫⎛⎫∆=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得12k y =，则过点A 的切线方程分别为：()211124y y y x y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，可得21122y y y x =+，同理可得过点B 的切线斜率为22y ，过点B 的切线方程为：22222y y y x =+，联立方程2112222222y y y x y y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得12122422y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()2,2D m -，所以两条切线的交点D 在直线2x =-上，不在准线=1x -上，故D错误.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某工厂生产一批零件（单位：cm ），其尺寸ξ服从正态分布()2,N μσ，且(14)0.1P ξ≤=，(18)0.9P ξ<=，则μ=________．【正确答案】16【分析】由题分析可得(14)(18)P P ξξ≤=≥，即得解.【详解】∵()2~,N ξμσ，(14)(18)0.10.91P P ξξ≤+<=+=，∴(14)1(18)(18)P P P ξξξ≤=-<=≥，∴1418162μ+==.故1614.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a c =，且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，则cos A =________．【正确答案】4-##【分析】根据等比数列和正弦定理求出::2:a b c =，再利用余弦定理即得解.【详解】解：由sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，得22sin sin sin ,B A C b ac =⋅∴=，又2a c =所以::2a b c =，所以22222212cos24b c aA bc+-+-==-.故4-15.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不得将纸撕开，则所需纸的最小面积是_______.【正确答案】8【分析】由题意，分析正方体的侧面展开图，上底面分割适当，尽量不产生浪费，即可判断最小纸张的面积.【详解】如图①是棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展开成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图②知正方形的边长为，其面积为8.故8本题考查巧分解正方体表面积，发挥想象力，属于中等题.16.已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 在双曲线上，12PF PF ⊥，圆()22223:2O x y a b +=+，直线1PF 与圆O 相交于A ，C 两点，直线2PF 与圆O 相交于B ，D 两点，若四边形ABCD 的面积为2，则C 的离心率为________.【正确答案】2【分析】由弦长公式可得AB ==，CD ==四边形ABCD 的面积为12AB CD ⋅，再由勾股定理结合双曲线的定义解得449c b =，可求双曲线的离心率.【详解】不妨设点P 在双曲线右支上，因为四边形ABCD 的面积为2，因为12PF PF ⊥，所以AC BD ⊥，圆()22223:2O x y a b +=+的半径为r ，则()22223322c r a b =+=，设12,d d 分别为O 到直线,AB CD 的距离，所以AB ==，CD ==所以212ABCD S AB CD =⋅==，∴()4222221212964c cdd d d -++⋅428b =①，∵122PF d =，212PF d =，且12PF PF ⊥，∴22212d d c +=，由双曲线的定义可得：1221222PF PF d d a -=-=，平方可得：22212214484d d d d a +-⋅=，所以2122b d d =代入①，可得：449c b =，即222233()c b c a ==-，即2232c a =，所以双曲线的离心率为2c e a ===.故答案为.2四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，直线12l l ∥，线段DE 与1l ，2l 均垂直，垂足分别是E ，D ，点A 在DE 上，且1AE =，2AD =.C ，B 分别是1l ，2l 上的动点，且满足π3BAC ∠=.设ABD x ∠=，ABC 面积为()S x.（1）写出函数解析式()S x ；（2）求()S x 的最小值.【正确答案】（1）()3π,0,π32cos sin 6S x x x x ⎛⎫=∈ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭（2）()S x 的最小值为23【分析】（1）根据直角三角形的边角关系得,AC AB 关于x 的表达式，再根据三角形面积公式即可得函数解析式()S x ；（2）利用三角恒等变换化简()S x ，再根据函数的性质即可得()S x 的最小值.【小问1详解】结合图形可知，若ABD x ∠=，则π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π2DAB x ∠=-，又π3BAC ∠=，所以ππππ236CAE x x ⎛⎫∠=---=+ ⎪⎝⎭，又在Rt ACE 中，1πcos cos 6AEAC CAEx ==∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭在Rt △ABD 中，2sin sin AD AB ABD x ==∠所以ABC 面积为()11233π,0,ππ2sin 23cos 2cos sin 66S x x x x x x ⎛⎫=⋅⋅⋅=∈ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】由（1），()23π31cos 22sin 21622S x x ==⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎝⎭因为π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以526πππ,66x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π2sin 216x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的取值范围是(]0,1所以当π6x =时，()S x取得最小值18.已知数列{}n a 为等比数列，131,1a a =+是2a 与4a 的等差中项，n S 为{}n a 的前n 项和．（1）求{}n a 的通项公式及n S ；（2）集合A 为正整数集的某一子集，对于正整数k ，若存在正整数m ，使得2log k m a S =，则k A ∈，否则k A ∉．记数列{}n b 满足2log ,1,n n a n A b n A ∉⎧=⎨-∈⎩，求{}n b 的前20项和20T ．【正确答案】（1）1,122n n n n S a -==-（2）160【分析】（1）由等比数列通项公式结合等差中项性质求基本量，即可由公式法写出通项公式及n S ；（2）解对数方程得2m k =，即可求得A ，即可对数列分组求和.【小问1详解】设{}n a 的公比为13,1,1q a a =+ 是2a 与4a 的等差中项，()()23221,(2)10q q q q q ∴+=+∴-+=，2q ∴=，∴12n n a -=，122112nn n S -∴==--．【小问2详解】由题意知，2log k m a S =，又12,21k m k m a S -==-，121m k ∴-=-，即2m k =，故{}*2,m A kk m ==∈N ∣．又2log 1n a n =-，()()202122220222428216log log log log log log log 4T a a a a a a a ∴=+++-+++- ()()0119137154…+=++-+++-160=．19.已知如图，在多面体ABCEF 中，2AC BC ==，120ACB ∠= ，D 为AB 的中点，//EF CD ，1EF =，BF ⊥平面AEF ．（1）证明：四边形EFDC 为矩形；（2）当三棱锥A BEF -体积最大时，求平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）24【分析】（1）依题意可得CD AB ⊥且1CD =，从而得到四边形EFDC 为平行四边形，由线面垂直的性质得到BF EF ⊥，从而得到CD BF ⊥，即可得到CD ⊥平面ABF ，从而得到CD DF ⊥，即可得证；（2）由（1）可得1136ABF V S EF AF BF =⋅=⋅ 利用基本不等式求出三棱锥A BEF -体积最大值，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；【小问1详解】解：因为120ACB ∠= ，2AC BC ==，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥，且sin 301CD BC =︒=，又因为1EF =，所以CD EF =，因为//EF CD ，所以四边形EFDC 为平行四边形，因为BF ⊥平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以BF EF ⊥，所以CD BF ⊥，因为BF AB B = ，,BF AB ⊂平面ABF ，所以CD ⊥平面ABF ，DF ⊂平面ABF ，所以CD DF ⊥，所以四边形EFDC 为矩形．【小问2详解】解：由（1）可知，EF ⊥平面ABF ，BF ⊥平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以BF AF ⊥，AB ==，所以三棱锥A BEF -的体积2221111()1361212ABF V S EF AF BF AF BF AB =⋅=⋅≤+== ，当且仅当AF BF =时等号成立，此时FD AB ⊥，据（1），以D 为坐标原点，分别以,,D A C D D F 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系Dxyz如图所示．由已知可得下列点的坐标：A，(0,0)B，F，(0,E -，所以(AB =-，(AE =-uu u r，设平面ABE 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m AE m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即00y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取y =，则0x =，1z =，所以平面ABE的一个法向量为m =，因为BF =是平面AEF 的法向量，设平面AEF 与平面ABE 夹角为θ，则cos 4m BF m BFθ⋅===⋅ ，故平面AEF 与平面ABE 夹角的余弦值为24．20.某人玩一项有奖游戏活动，其规则是：有一个质地均匀的正四面体（每个面均为全等的正三角形的三棱锥），四个面上分别刻着1，2，3，4，抛掷该正四面体5次，记录下每次与地面接触的面上的数字.（1）求接触面上的5个数的乘积能被4整除的概率；（2）若每次抛掷到接触地面的数字为3时奖励200元，否则倒罚100元，①设甲出门带了1000元来参加该游戏，记游戏后甲身上的钱为X 元，求()E X ；②若在游戏过程中，甲决定当自己赢了的钱一旦不低于300元时立即结束游戏，求甲不超过三次就结束游戏的概率.【正确答案】（1）5764（2）①()875E X =②532【分析】（1）正难则反，采用间接法，先求不能被4整除的概率，再根据对立事件求解；（2）①先记ξ为地面接触的面上的数字为3的次数，找出X 与ξ的关系，根据二项分布求解期望；②先明确甲不超过三次就结束游戏的情况，再求解概率.【小问1详解】设事件A=“接触面上的5个数的乘积能被4整除”，不能被4整除的有两种情况：（i ）5个数均为奇数（1或者3），概率为5111232P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，（ii ）5个数中4个为奇数，另一个为2，概率为4425115C 2464P ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以()155********P A =--=.【小问2详解】①X 可能的取值为500,800,1100,1400,1700,2000.记ξ为地面接触的面上的数字为3的次数，则()10002001005300500X ξξξ=+--=+，且15,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5513C 44kkk P k ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,1,2,3,4,5k =()15544E ξ=⨯=，故()()300500875E X E ξ=+=.②设事件B =“甲不超过三次就结束游戏”，分为两种情况：两次结束游戏和三次结束游戏.113111315()4444444432P B =⨯+⨯⨯+⨯⨯=.21.如图，已知椭圆2222:1 (0)x y E a b a b+=>>的离心率12e =，由椭圆E 的四个顶点围成的四边形的面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设A 为椭圆E 的右顶点，过点(2,0)M a -且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于点,B C （点B 在MC 之间），若N 为线段．．BC 上的点，且满足MB BN MC NC=，证明：2ANC AMC ∠=∠．【正确答案】（1）2211612x y +=;（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意得到关于,,a b c 的方程，进而可求出结果；（2）设直线l 的方程为8 (0)x m y m =->，与抛物线联立，结合韦达定理证得点N 在直线2x =-上，从而可得出结论.【小问1详解】由题设可知，21a b =ab =，因为12c e a ==，222b c a +=，所以2a c =，b =，所以2c =，4a =，b =所以椭圆E 的标准方程为2211612x y +=．【小问2详解】由（1）可知(8,0)-M ，设直线l 的方程为8 (0)x m y m =->，其与椭圆22:11612x yE +=的交点为()()1122,,,B x y C x y ，联立22116128x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22(43)481440m y m y +-+=，22(48)4(43)1440m m ∆=-+⨯>，即m>2，所以1224843m y y m +=+，12214443y y m ⋅=+，设点00(,)N x y ，因为12MB y MC y =，所以12y BN NC y = ，即1010120202(,)(,)y x x y y x x y y y --=--，所以120122y y y y y =+所以06y m=，0082x m y =-=-，因为点N 在直线2x =-上，因为直线2x =-垂直平分线段MA ，所以NM NA =，即AMC MAN ∠=∠，因为ANC ∠为MNA △的一个外角，所以2ANC AMC MAN AMC ∠=∠+∠=∠解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()e axf x x =-，()sin cos 2g x x x x =--+，（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()()f x g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）答案见解析（2）[1,)+∞【分析】（1）对函数求导，讨论0a ≤、0a >研究()f x '符号，求函数单调区间；（2）问题化为()e sin cos 20axF x x x =-+-≥，[)0,x ∈+∞上恒成立，讨论1a ≥、01a <<、0a ≤并利用导数研究()0F x ≥是否恒成立，进而确定参数范围.【小问1详解】由()e 1ax f x a '=-，当0a ≤时，()0f x '<恒成立，则()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()0f x '=，解得ln ax a=-，当ln (,)a x a ∈-∞-时()0f x '<；当ln (,)ax a∈-+∞时()0f x '>()f x ∴在ln (,)aa -∞-上单调递减，ln (,)a a-+∞上单调递增综上，当0a ≤时，()f x 单调递减区间为(,)-∞+∞.当0a >时，()f x 单调递减区间为ln (,aa -∞-，单调递增区间ln (,)a a-+∞.【小问2详解】由()()f x g x ≥得，e sin cos 20ax x x -+-≥恒成立，令()e sin cos 2axF x x x =-+-，[)0,x ∈+∞，则()e cos sin ax F x a x x =--'，所以()00F =，()01F a '=-，当1a ≥时，e e ax x a ≥，令[)0()e 1,,xp x x x =--∈+∞，则()e 10x p x '=-≥，等号仅在0x =时取得，所以()e 1x p x x =--在[)0,∞+上单调递增，故()(0)0p x p ≥=，等号仅在0x =时取得，即e 1x x ≥+.令()sin q x x x =-，则()1cos 0q x x '=-≥恒成立，()q x ∴在[)0,∞+上单调递增，则()(0)0q x q ≥=，即sin x x ≥，()e cos sin 1cos sin 0x F x x x x x x '≥--≥+--≥，所以()F x 在[)0,∞+上单调递增，则()(0)0F x F ≥=，即e sin cos 20ax x x -+-≥，所以1a ≥时，()()f x g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立.当1a <时，()e cos sin axF x a x x '=--，[)0,x ∈+∞，设()e cos sin axh x a x x =--，则()22πe sin cos e )4ax axh x a x x a x ='=+-+-，当01a <<时，2e ax y a =是R 上的增函数，sin(4πy x =-在π[0,2x ∈上单调递增，即01a <<时，()2πe 4axx a h x '=+-在π[0,2x ∈上递增，()22π210,e 10π02a a a h h ⎛⎫'⎝=-<' ⎭+⎪=>，故()0h x '=在π[0,]2内存在唯一解0x ，当00x x ≤<时，()0h x '<，则()h x 在0[0,)x 上递减，则()(0)01h x a h =-≤<，则()e sin cos 2axF x x x =-+-在0[0,)x 上递减，故()()00F x F ≤=，当0a ≤时，()πe sin cos 2e 24axaxF x x x x =-+-=--在π[0,]2上递减，则()()00F x F ≤=，所以1a <时，存在x 使得()0F x ≤，与()sin e 2axx f x -+≤在[)0,x ∈+∞上恒成立矛盾，综上，a 的取值范围是[1,)+∞.关键点点睛：第二问，将问题转化为()e sin cos 20axF x x x =-+-≥，[)0,x ∈+∞上恒成立，应用分类讨论和导数研究恒成立即可.。
2017届辽宁省(全国卷Ⅱ)高考压轴卷 数学(文) Word版 含答案
绝密★启封前2017全国卷Ⅱ高考压轴卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3] （C ）(2,3) （D ）(1,4)-2．已知i z i 32)33(-=⋅+（是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的 （A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．若()()()()2,1,1,1,2//a b a b a mb ==-+-，则m =（）A ．12 B ．2 C ．-2 D ．12- 4.甲、乙等人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个元，一个元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（） (A)14(B)12(C) (D)345.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A ()B ()C -5()D -76.下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性均相同的是（）A．ln(y x = B ．2y x = C ．tan y x =D ．xy e =（7）若正整数N 除以正整数m 后的余数为，则记为(mod )N n m ≡，例如104(mod 6)≡，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入2a =，3b =，5c =，则输出的N =（）(A) (B) (C)12(D)218.已知函数，且f （a ）=-3，则f （6-a ）=（A ）-74（B ）-54（C ）-34（D ）-149.设，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-310.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P ABCD -的侧面积等于4(1,则该外接球的表面积是(A) 4π (B)12π (C)24π (D)36π11.直线过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（）A .e >2B.1<e <3C.e >5D.1<e <512.已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为，若也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（）A ．012x <<0 B ．012x <<1 C ．2220<<x D0x <<第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
压轴题09 基本初等函数、函数与方程(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题09基本初等函数、函数与方程题型/考向一：基本初等函数的图像与性质题型/考向二：函数的零点题型/考向三：函数模型及其应用○热○点○题○型一基本初等函数的图像与性质1.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0＜a ＜1，a ＞1两种情况，着重关注两个函数图象的异同.2.幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1，2，3，12，－1五种情况.一、单选题1．若125()3a -=，121log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c a b>>D ．c b a>>2．已知函数()2121x f x =-+，则（）A ．()f x 是偶函数且是增函数B ．()f x 是偶函数且是减函数C ．()f x 是奇函数且是增函数D ．()f x 是奇函数且是减函数【答案】CA．y =B ．21y x =C ．lg y x =D ．332x xy --=4．已知函数()1,0,2x f x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪⎪⎝⎭⎩若()()6f a f a <-，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,-+∞B ．(),3-∞-C ．()3,+∞D ．(),3-∞【答案】D【详解】由解析式易知：()f x 在R 上递增，又()()6f a f a <-，所以6a a <-，则3a <.故选：D5．函数()2eln 2x f x x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．A ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7．已知实数1a ≠，函数()2,0,a x f x x -≥=⎨<⎩若(1)(1)f a f a -=-，则a 的值为（）A ．12B ．12-C ．14D ．14-8．函数⎣⎦的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x x =+--⎡⎤⎣⎦，有1010x x +>⎧⎨->⎩，可得11x -<<，所以，函数()f x 的定义域为()1,1-，()1,1x ∀∈-，()()()()()()ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x x x f x -=---+=+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以，函数()f x 为偶函数，排除AB 选项；当01x <<时，110x x +>->，则()()ln 1ln 1x x +>-，此时()()()ln 1ln 10f x x x x =+-->⎡⎤⎣⎦，排除D 选项.故选：C.二、填空题9．已知函数()2()e e x x f x x -=-⋅，若实数m 满足))2(1)f f m f -≤，则实数m的取值范围是____________．【答案】ln3-##1ln311．已知,,1x y a ∈>R ，若2x y a a a +=，且x y +的最大值为3，则函数()()212log 2f x x ax a =-++的最小值为______故当4x =时，()2432x --+取得最大值32，则()f x 的取到最小值为5-．故答案为：5-.12．幂函数y=xa ，当a 取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=xa ，y=xb 的图象三等分，即有BM =MN =NA ，那么ab =______.○热○点○题○型二函数的零点判断函数零点个数的方法：(1)利用零点存在定理判断.(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根.(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.一、单选题1．函数()243xf x x =+-的零点所在的区间是（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【详解】 函数()243x f x x =+-的图象是连续不间断的，根据增函数加增函数为增函数的结论知()f x 在定义域R 上为增函数,412204f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，12102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故函数()243x f x x =+-的零点所在区间是11,42⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.()a 的值是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【详解】依题意，因为函数()2cos 1f x a x x =--有且只有1个零点，所以()2cos 10f x a x x =--=有且仅有一个解，即2cos 1a x x =+有且仅有一个解，转化为cos y a x =与21y x =+有且仅有一个交点，当0a =时，cos 0y a x ==与21y x =+没有交点，所以0a ≠；当a<0时，因为[]cos 1,1x ∈-，所以[]cos ,y a x a a =∈-，当0x =时，21y x =+有最小值1，cos y a x =有最小值a<0，此时cos 0y a x ==与21y x =+没有交点，由于cos 0y a x ==与21y x =+都是偶函数，若在除去0x =之外有交点，则交点必为偶数个，不符合题意，所以a<0不符合题意；当0a >时，因为[]cos 1,1x ∈-，所以[]cos ,y a x a a =∈-，又因为211y x =+≥，所以当且仅当1a =时，此时0x =有唯一的交点.故选：B.3．已知()0,2πθ∈，若函数()()2sin cos sin 2f x x x x θ=-+在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则θ的值可能为（）A ．π6B ．π4C ．11π12D ．6π54．若函数2()1,0f x x x -⎧≤=⎨+>⎩，则函数()()2g x f x =-的零点的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】由题意函数22,0()1,0x x f x x x -⎧≤=⎨+>⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数即()2f x =的解的个数，当0x >时,令212+=x ，即1x =，符合题意；当0x ≤时，令22x -=，得=1x -，符合题意，故()()2g x f x =-的零点有2个，故选：B.5．已知函数()2ln 1212x x x f x mx mx x +>⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．71,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．[]1,36．是定义在R 上的奇函数，当1,1x ∈-时，f x x =，11f x f x +=-，令()()lg g x f x x =-，则函数()g x 的零点个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【详解】由()()11f x f x +=-可得，()f x 的图象关于1x =对称，又由()()11f x f x +=-可得()()2()f x f x f x +=-=-，所以()4(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 以4为周期，所以作出()f x 的图象如下，()()lg g x f x x =-的零点个数即为方程()lg f x x =也即()f x 的图象与lg y x =图象的交点个数，因为lg 91,lg101<=，所以数形结合可得()f x 的图象与lg y x =图象的交点个数为故选:B.7．已知函数41,0141,02x x x x ⎧+-≤⎪=⎨⎛⎫->⎪ ⎪⎝⎭⎩，关于的方程有6个不等实数根，则实数t 的取值范围是（）A ．7,5⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B．7,5⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪⎢ ⎪⎪⎝⎭⎣⎭ C ．7,52⎛-- ⎝⎦D ．7,522⎛⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【详解】作出函数()f x 的图象如图所示，∴函数()f x 的图象与函数()y c c =∈R 的图象最多三个交点，且()f x c =有3个实数根时，13c -<<，()()()22110f x t f x t ∴+-+-=有6个不等实数根等价于一元二次方程()22110x t x t +-+-=在()1,3-上有两个不同的实数根，是（）A ．6B ．5C ．4D ．3二、多选题9．已知偶函数()f x 满足()()()126f x f x f -+=，()11e f -=+，且当[)0,6x ∈时，()e 1x f x a -=+，则下列说法正确的有（）A ．2e a =B ．()f x 在[]18,24上为增函数C ．()320231ef -=-D ．()f x 在[]2023,0-上共有169个零点【答案】ABD【详解】因为函数()f x 为偶函数，所以()()111e f f -==+，又当[)0,6x ∈时，()e 1x f x a -=+，故()11e 11e f a -=+=+，解得2e a =，故A 选项正确．因为()()()126f x f x f -+=，令6x =-，得()()()666f f f --=，故()60f =．由()()120f x f x -+=得()()12f x f x +=，即函数()f x 具有周期性且周期为12．当[)0,6x ∈时，()2e 1xf x -=+单调递减，故当(]6,0x ∈-时，函数()f x 单调递增，所以当(]18,24x ∈时，函数()f x 单调递增．又()()1860f f ==，且当(]18,24x ∈时，函数()0f x >恒成立，所以()f x 在[]18,24上为增函数，故B 选项正确．()()()()()32023121687755e 1f f f f f -=⨯+==-==+，故C 选项错误．因为当[)0,6x ∈时，()2e 1xf x -=+单调递减，所以当06x ≤<时，()420<e 1e 1f x -+<≤+，又()f x 为偶函数，所以60x -<≤时，()0f x >，又()60f -=，所以函数()f x 在[)6,6-上有且仅有一个零点，因为()f x 的周期为12，2023121687=⨯+，所以(]2016,0-上有168个零点，再考虑[]2023,2016--等价于[]7,0-这个区间，有1个零点，故最终有169个零点，故D 选项正确．故选：ABD ．10．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()2e 1,01,44,1 2.x x f x x x x ⎧-≤≤=⎨-+<≤⎩若关于x 的不等式()m x f x ≤的整数解有且仅有9个，则实数m的取值可以是（）A ．e 16-B ．e 17-C ．e 18-D ．e 19-三、填空题11．已知函数()131,0ln ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()()2221g x f x af x a =-+-⎡⎤⎣⎦恰有4个不同的零点，则a 的取值范围是__________．【答案】()[)1,01,2- 【详解】令()()()22210g x f x af x a =-+-=⎡⎤⎣⎦，得()1f x a =-或()1f x a =+，画出()f x 的大致图象．设()f x t =，由图可知，当0t <或2t >时，()t f x =有且仅有1个实根；当0=t 或12t ≤≤时，()t f x =有2个实根；当01t <<时，()t f x =有3个实根．则()g x 恰有4个不同的零点等价于10,011a a -<⎧⎨<+<⎩或10,112a a -=⎧⎨≤+≤⎩或011,12a a <-<⎧⎨+>⎩或112,112,a a ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩解得10a -<<或12a ≤<．故答案为：()[)1,01,2-12．已知函数11,02()2(2),28x x f x f x x ⎧--≤≤=⎨-<≤⎩，若方程()f x kx =恰好有四个实根，则实数k 的取值范围是___．设()g x kx =，若方程()f x kx =恰好有四个实根，则函数()f x 与()g x 的图象有且只有四个公共点，由图得，(1,1),(3,2),(5,4),(A D B C 则2481,,,357OA OB OC OD k k k k ====，则<<<OB OC OA OD k k k k ，○热○点○题○型三函数模型及其应用应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键：(1)一般程序：――→读题文字语言⇒――→建模数学语言⇒――→求解数学应用⇒――→反馈检验作答(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地写出相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.一、单选题1．垃圾分类，一般是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而变成公共资源的一系列活动的总称．已知某种垃圾的分解率ν与时间t （月）满足函数关系式t v a b =⋅（其中a ，b 为非零常数）．若经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解（分解率为100%）至少需要经过（）（参考数据lg 20.3≈）A ．20个月B ．40个月C ．28个月D ．32个月m /s ）可以表示为31log 2100Qv =，其中Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以3ln2m /s ln3的速度游动时，其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为（）A ．83B ．8C ．32D ．643．0C 表示生物体内碳14的初始质量，经过t 年后碳14剩余质量01()2hC t C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（0t >，h为碳14半衰期）．现测得一古墓内某生物体内碳14含量为00.4C ，据此推算该生物是距今约多少年前的生物（参考数据lg 20.301≈）．正确选项是（）A ．1.36hB ．1.34hC ．1.32hD ．1.30h“ChatGTP ”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为00G GL L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：1g20.3010≈）A ．72B ．74C ．76D ．78血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：0()e KtS t S =描述血氧饱和度()S t 随给氧时间t （单位：时）的变化规律，其中0S 为初始血氧饱和度，K 为参数.已知060%S =，给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（）（精确到0.1，参考数据：ln 2069ln 3110≈≈．，．）A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．0.9故选：B6．某企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M （单位:mg /L ）与时间t （单位:h ）之间的关系为0e ktM M -=（其中0,M k 是正常数）．已知在处理过程中，该设备每小时可以清理池中残留污染物10%，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：lg20.30≈，lg30.48≈）A ．6小时B ．8小时C ．10小时D ．12小时媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律．统计学家发现网络热搜度也遵循这样的规律，即随着时间的推移，热搜度会逐渐降低．假设事件的初始热搜度为()000N N >，经过t （天）时间之后的热搜度变为()0etN t N α-=，其中α为冷却系数．若设某事件的冷却系数0.3α=，则该事件的热搜度降到初始的50%以下需要的天数t 至少为（）．（ln 20.693≈，t 取整数）A ．7B ．6C ．4D ．3族整体利益和两岸同胞切身利益，解放军组织多种战机巡航台湾.已知海面上的大气压强是760mmHg ，大气压强P （单位：mmHg ）和高度h （单位：m ）之间的关系为760e hk P -=（e为自然对数的底数，k 是常数），根据实验知500m 高空处的大气压强是700mmHg ，则当歼20战机巡航高度为1000m ，歼16D 战机的巡航高度为1500m 时，歼20战机所受的大气压强是歼16D 战机所受的大气压强的（）倍.A ．0.67B ．0.92C ．1.09D ．1.5【答案】C二、多选题9．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =，关于下列说法正确的是（）A ．浮萍每月的增长率为3B ．浮萍每月增加的面积都相等C ．第4个月时，浮萍面积超过280m D ．若浮萍蔓延到2224m 2m 8m 、、所经过的时间分别是123t t t 、、，则2132t t t =+【答案】CD【详解】由图可知，函数过点()1,3，将其代入解析式，=3a ，故3t y =，A 选项，取前3个月的浮萍面积，分别为32m ，92m ，272m ，故增长率逐月增大，A 错误；从前3个月浮萍面积可看出，每月增加的面积不相等，B 错误；第4个月的浮萍面积为812m ，超过了802m ，C 正确；令132t =，234t =，338t =，解得：132333log 2,log 4,log 8t t t ===，1333332log 2log 8log 162log 42t t t +=+===，D 正确.故选：CD10．泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数．如某一服务设施在一定时间内到达的人数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等．其概率函数为()e !kP X k k λλλ-==，参数λ是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生次数．现采用某种紫外线照射大肠杆菌，大肠杆菌的基因组平均产生3个嘧啶二体．设大肠杆菌的基因组产生的嘧啶二体个数为Y ，()P Y k =表示经该种紫外线照射后产生k 个嘧啶二体的概率．已知Y 服从泊松分布，记为()Y Pois λ~，当产生的嘧啶二体个数不小于1时，大肠杆菌就会死亡，下列说法正确的有（）（参考数据：3e 0.049-=⋅⋅⋅，恒等式0e !inxi x i ==∑）A ．大肠杆菌a 经该种紫外线照射后，存活的概率约为5%B ．设()()f k P Y k λ==，则,(1)()0,()f k f k k λ∀∈+->∈N NC ．如果()X pois λ~，那么(!)X E X λ=，X 的标准差σλ=D ．大肠杆菌a 经该种紫外线照射后，其基因组产生的嘧啶二体个数的数学期望为3公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，下列结论正确的是（）A ．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB ．甲从家到公园的时间是30minC ．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D ．当0≤x ≤30时，y 与x 的关系式为y ＝115x 【答案】BD【详解】在A 中，甲在公园休息的时间是10min ，所以只走了50min ，A 错误；由题中图象知，B 正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C 错误；当0≤x ≤30时，设y ＝kx (k ≠0)，则2＝30k ，解得115k =，D 正确.故选：BD地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg E =4.8+1.5M ，则下列说法正确的是（）A ．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为n （n =1，2，···，9，10），地震释放的能量为an ，则数列{an }是等比数列【答案】ACD【详解】对于A ：当15.310E =时，由题意得15.3lg10 4.8 1.5M =+，解得7M =，即地震里氏震级约为七级，故A 正确；对于B ：八级地震即8M =时，1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，解得16.8110E =，所以16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠，所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的 1.510倍，故B 错误；对于C ：六级地震即6M =时，2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，解得13.8210E =，。
辽宁省辽阳市2025届高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析
辽宁省辽阳市2025届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “8πϕ=-”是“函数()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=-对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 3．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（ ） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 4．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知函数3()1f x x ax =--，以下结论正确的个数为（ ）①当0a =时，函数()f x 的图象的对称中心为(0,1)-； ②当3a ≥时，函数()f x 在(–1,1)上为单调递减函数； ③若函数()f x 在(–1,1)上不单调，则0<<3a ； ④当12a =时，()f x 在[–4,5]上的最大值为1． A ．1B ．2C ．3D ．46．已知0a >且1a ≠，函数()1log ,031,0a x x a x f x x ++>⎧=⎨-≤⎩，若()3f a =，则()f a -=（ ）A ．2B ．23C ．23-D ．89-7．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．1-B ．23C ．32D ．48．已知3log 2a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）＝f （x ），当x ∈[﹣3，﹣2]时，f （x ）＝﹣x ﹣2，则（ ） A ．66f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞ B ．f （sin 3）＜f （cos 3）C ．4433f sinf cos ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＜ D ．f （2020）＞f （2019）10．设()11i a bi +=+，其中a ，b 是实数，则2a bi +=（ ） A ．1B ．2C 3D 511．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ） A ．219B ．995C ．4895D ．51912．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省新高考II卷2023年数学试卷及答案（最新版）
辽宁省新高考II卷2023年数学试卷及答案辽宁省新高考II卷2023年数学试卷及答案（最新版）辽宁省新高考II卷2023年数学试卷及答案已经出炉，和往年一样，今年的高考数学依然受到广泛关注。
下面小编给大家带来辽宁省新高考II卷2023年数学试卷及答案，希望大家喜欢！2023新高考II卷数学真题试卷及答案高中数学基础知识点总结一、平面的基本性质与推论1、平面的基本性质：公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间点、直线、平面之间的位置关系：直线与直线—平行、相交、异面；直线与平面—平行、相交、直线属于该平面（线在面内，最易忽视）；平面与平面—平行、相交。
3、异面直线：平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线（判定）；所成的角范围（0，90）度（平移法，作平行线相交得到夹角或其补角）；两条直线不是异面直线，则两条直线平行或相交（反证）；异面直线不同在任何一个平面内。
求异面直线所成的角：平移法，把异面问题转化为相交直线的夹角二、空间中的平行关系1、直线与平面平行（核心）定义：直线和平面没有公共点判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面（由线线平行得出）性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行2、平面与平面平行定义：两个平面没有公共点判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线三、空间中的垂直关系1、直线与平面垂直定义：直线与平面内任意一条直线都垂直判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直性质：垂直于同一直线的两平面平行推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面直线和平面所成的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度2、平面与平面垂直定义：两个平面所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角）判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直四、导数（一）导数第一定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量△y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f(x0) ,即导数第一定义(二)导数第二定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) ;如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为f(x0) ,即导数第二定义(三)导函数与导数如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。
2022年辽宁省高考数学试卷(新高考II)附答案解析
2022年辽宁省高考数学试卷(新高考II)附答案解析一、选择题1. 题目：设函数 $ f(x) = \sqrt{x^2 + 1} $，求 $ f'(0) $。
答案：$ f'(0) = \frac{1}{2} $。
解析：根据导数的定义，我们有 $ f'(0) = \lim_{x \to 0}\frac{f(x) f(0)}{x 0} $。
将 $ f(x) $ 和 $ f(0) $ 代入，得到$ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2 + 1} 1}{x} $。
由于$ \sqrt{x^2 + 1} $ 在 $ x = 0 $ 附近可近似为 $ 1 +\frac{x^2}{2} $，所以 $ f'(0) $ 可近似为 $ \lim_{x \to 0}\frac{1 + \frac{x^2}{2} 1}{x} = \frac{1}{2} $。
2. 题目：已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公差为$d$，求 $a_5$。
答案：$a_5 = a_1 + 4d$。
解析：根据等差数列的定义，我们有 $a_5 = a_1 + (5 1)d =a_1 + 4d$。
3. 题目：已知函数 $f(x) = x^3 3x$，求 $f(x)$ 的极值点。
答案：极小值点为 $x = 1$，极大值点为 $x = 1$。
解析：求导数 $f'(x) = 3x^2 3$，令 $f'(x) = 0$，解得 $x = \pm 1$。
然后求二阶导数 $f''(x) = 6x$，当 $x = 1$ 时，$f''(1) = 6 > 0$，所以 $x = 1$ 是极小值点；当 $x = 1$ 时，$f''(1) = 6 < 0$，所以 $x = 1$ 是极大值点。
4. 题目：已知函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，求 $f(x)$ 的反函数。
辽宁葫芦岛协作校2025届高三压轴卷数学试卷含解析
辽宁葫芦岛协作校2025届高三压轴卷数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C ：2222x y a b -=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为3y x =，则C 为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2211648x y -=D ．2214816x y -=2．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[)4+∞，B ．[]06，C ．[]04，D ．[)6+∞，3．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3πB ．4π C ．2π D ．π4．设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且23m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面，且23m = C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且33m =D ．直线1AE 与直线1CF 共面，且33m = 6．体育教师指导4个学生训练转身动作，预备时，4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时，每次都让3个学生“向后转”，若4个学生全部转到面朝正北方向，则至少需要“向后转”的次数是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．已知0a >且1a ≠，函数()1log ,031,0a x x a x f x x ++>⎧=⎨-≤⎩，若()3f a =，则()f a -=（ ） A ．2B ．23 C ．23-D ．89-8．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ） A ．4510B ．4510-C ．32-D ．3210-9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π10．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π1211．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)12．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁师范大学附属中学2025届高考压轴卷数学试卷含解析
辽宁师范大学附属中学2025届高考压轴卷数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36B ．72C ．36-D ．36±2．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中2,O A O B ''''== 3O C ''=，则ABC 绕AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（ ）A ．83πB ．3πC ．(833)πD ．(16312)π3．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．44．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>5．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下： 小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的； 小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（ ） A ．小王或小李B ．小王C ．小董D ．小李6．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号表示的二进制数 表示的十进制数 坤000震 001 1坎 010 2 兑0113依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ） A ．18B ．17C ．16D ．157．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．i -C ．1D ．i8．已知x ，y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）A ．[2，4]B ．[4，6]C ．[5，8]D ．[6，7]9．已知复数(1)(3)(z i i i =+-为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ） A ．2B ．2iC ．4D ．4i10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =B ．22y x =±C ．52y x =±D ．22y x =±11．已知角α的终边经过点P(0sin 47,cos 47)，则sin(013α-)= A ．12B ．32C ．12-D ．312．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届辽宁省葫芦岛市实验中学高三压轴卷数学试卷含解析
2025届辽宁省葫芦岛市实验中学高三压轴卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
x+”猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3 1．20世纪产生了著名的“31x+”猜想的一个程序框图，若输入正整数加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31m的值为40，则输出的n的值是（）A．8B．9C．10D．11-的体积为V，底面积为S，O是高PH的中点，过O的平面α与棱PA、PB、PC分2．如图，正四面体P ABC-的体积为0V，截面三角形DEF的面积为0S，则（）别交于D、E、F，设三棱锥P DEFA ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥3．设集合A ＝{y |y ＝2x ﹣1，x ∈R }，B ＝{x |﹣2≤x ≤3，x ∈Z }，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，3]B ．[﹣1，3]C ．{0，1，2，3}D ．{﹣1，0，1，2，3}4．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．50,6⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ C ．250,5⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭5．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．126．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-7．函数()1ln1xf x x-=+的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．929．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+10．已知向量(22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 11．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞12．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022辽宁高考压轴卷——数学(文)
2022辽宁高考压轴卷——数学（文）数学文注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．122．已知方程221221x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范畴是 A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,)+∞C ．(1,2)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知平面向量a 和b ，|a|=1，|b|=2，且a 与b 的夹角为120︒，则|2|a b +等于 A ．2B ．4C ．25D ．64．某程序框图如下图所示，则输出的结果是 A ．46 B ．45 C ．44D ．435． 2.5PM是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，上图是据北京某日早7点至晚8点甲、乙两个 2.5PM监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的中位数较低的是 A ．甲乙相等 B ．甲 C ．乙D ．无法确定6．下列有关命题的说法中，正确的是 A ．命题“若21x >，则1x >”的否命题为“若21x >，则1x ≤” B ．“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件C ．命题“2,10x R x x ∃∈++<使得”的否定是“2,10x R x x ∀∈++>都有”D ．命题“若,tan tan αβαβ>>则”的逆命题为真命题7．若曲线2y x =在点2(,)(0)a a a >处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a等于A ．2B ．4C ．2D ．348．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=-+(||)ϕπ<，若()28f π=-，则()f x 的一个单调递增区间能够是A ．3[,]88ππ-B ．59[,]88ππC ．3[,]88ππ- D ．5[,]88ππ9．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，则该几何体的表面积是 A ．12πB ．14πC ．16πD ．28π10．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范畴为 （ ）A ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．（1，2）11．已知长方形ABCD 中，AB=4，BC=1，M 为AB 的中点，则在此长方形内随机取一点P ，P与M 的距离小于1的概率为（ ）A ．4πB ．1-4πC ．8πD ．18π-12．已知24(0)()(2)(0)a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范畴是（ ） A ．[)8,-+∞ B ．[)4,-+∞C ．[-4，0]D ．(0,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生依照要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知i 为虚数单位，则复数133i i-+的虚部是 。
全国卷Ⅱ高考压轴卷 数学文(解析版)
2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}06M x x =≤≤， {}232x N x =≤，则M N ⋃=（ ） A. (],6-∞ B. (],5-∞ C. []0,6 D. []0,53.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ）A.65 B.611 C. 35 D. 3105.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n+=的离心率是（ ） A ．32 B ．5 C ．32或52 D ．32或5 【答案】D6． 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．4B ．642+C ．442+D ．27.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若sin 1sin 2B C =， ()2213cos 2a b B BA BC -=⋅u u u v u u u v ，则角C =（ ）A.6π B. 3π C. 2π D. 3π或2π8. 如图为函数()y f x =的图象，则该函数可能为( )A ．sin xy x=B ．cos xy x=C ．sin ||xy x =D ．|sin |x y x=9．执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，在条件框内应填写（ ）A ．3?i >B ．4?i <C ．4?i >D ．5?i <10．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点A ，点P 在抛物线上，点P 到准线l 的距离为d ，点O 关于准线l 的对称点为点B ， BP 交y 轴于点M ，若BP a BM =， 23OM d =，则实数a 的值是（ ）A.34 B. 12 C. 23 D. 3211．已知不等式组20240x y x y y x y m-≥+≤≥⎧⎪+⎨≤⎪⎪⎪⎩表示的平面区域为M ，若m 是整数，且平面区域M 内的整点(),x y 恰有3个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则m 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()32123f x x ax bx =+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ）A. [)64ln3,++∞B. [)5ln5,++∞C. [)66ln6,++∞D. [)4ln2,++∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_______．14．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则点P 横坐标的取值范围为 ．15．已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为94的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的边长为2，则点A 到平面PBC 的距离是__________．16．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在一点P 满足以OP 为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c π（其中O 为坐标原点， c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小满分题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列； （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.18.（本小题满分12分）进入11月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加自主招生考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率．19.（本题满分12分）如图，在三棱锥P ADE -中， 4AD =， 22AP =， AP ⊥底面ADE ，以AD 为直径的圆经过点E .（1）求证： DE ⊥平面PAE ；（2）若60DAE ∠=︒，过直线AD 作三棱锥P ADE -的截面ADF 交PE 于点F ，且45FAE ∠=︒，求截面ADF 分三棱锥P ADE -所成的两部分的体积之比.20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，且椭圆C 过点P (3，2)． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）与直线OP 平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为2-． （1）求a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）设()231g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立． 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+=+⎧⎨⎩（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】设复数i z a b =+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a b b a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫-⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ． 2【答案】A【解析】 因为{}06M x x =≤≤， {}232{|5}x N x x x =≤=≤， 所以{|6}M N x x ⋃=≤，故选A. 3.【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．4.【答案】C【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。
全国高考压轴卷数学(新高考II卷)
2022新高考II 卷高考压轴卷数学一．选择题：本题共12个小题，每个小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M ={x ||x -1|<1}，N ={x |x <2}，则M ∩N =（ ） A. (-1，1) B. (-1，2) C. (0，2)D. (1，2)2.设i 是虚数单位，若复数i im -+12（m ∈R ）是纯虚数，则m 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．1D ．﹣13.在251(2)x x -的二项展开式中，x 的系数为（ ） A. 40B. 20C. -40D. -204.执行如图所示的程序框图，则输出的k ＝A.3B.4C.5D.65.若变量x ，y 满足11030x x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则z ＝2x +y 的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．5D ．66.“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π.当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈o）A. 3.05B. 3.10C. 3.11D. 3.147.如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，E 在线段AD 上，且2AE ED =，则BE =u u u r（ ）A. 1233AC AB -+u u ur u u u rB. 1233AC AB -u u ur u u u rC. 2133AC AB -u u ur u u u rD. 2133AC AB +u u ur u u u r8.设函数f （x ）＝x 3+（a ﹣1）x 2+ax ．若f （x ）为奇函数，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为（ ） A ．y ＝﹣2xB ．y ＝4x ﹣2C ．y ＝2xD ．y ＝﹣4x +2二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A. 若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B. 若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离C. 若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D. 若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切10.已知数列{a }的前n 项和为S ，下列说法正确的是（ ）A.若21n S n =+，则{a n }是等差数列B.若31n n S =-，则{a n }是等比数列C.若{a n }是等差数列，则959S a =D.若{a n }是等比数列，且10a >，0q >，则2132S S S ⋅>11.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A. 1QF QP +的最小值为21a - B. 椭圆C 的短轴长可能为2C. 椭圆C 的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 若11PF FQ =u u u r u u u r，则椭圆C 12.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 是线段B 1D 1上的两个动点，且EF ＝21，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等D ．三棱锥E ﹣ABF 的体积为定值三．填空题:本题共4个小题，每个小题5分，共20分.13.因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核14.在△ABC 中，60,2B A B ∠=︒=，M 是BC 的中点，AM =，则AC =___________，cos MAC ∠=___________.15.设{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，a 2＝2，S 2﹣3a 1＝0．则{a n }的通项公式是 ；S n +a n ＞48，则n 的最小值为 ． 16.己知A 、B 为抛物线()220x py p =>上两点，直线AB 过焦点F ，A 、B 在准线上的射影分别为C 、D ，则①x 轴上恒存在一点K ，使得0KA KF ⋅=u u u r u u u r ；②0CF DF ⋅=u u u r u u u r ；③存在实数λ使得AD AO λ=u u u r u u u r（点O 为坐标原点）；④若线段AB 的中点P 在准线上的射影为T ，有0FT AB ⋅=u u u r u u u r.中正确说法的序号________.四．解答题:本题共5个小题,第17-21题没题12分,解答题应写出必要的文字说明或证明过程或演算步骤.17.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知4a =，△ABC 的面积为（1）若3A π=，求△ABC 的周长；（2）求sin sin B C 的最大值.18.某县种植的脆红李在2021年获得大丰收，依据扶贫政策，所有脆红李由经销商统一收购.为了更好的实现效益，质监部门从今年收获的脆红李中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图.下表是脆红李的分级标准，其中一级品､二级品统称为优质品.经销商与某农户签订了脆红李收购协议，规定如下：从一箱脆红李中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱脆红李定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱脆红李也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱脆红李定为C 类；其他情况均定为B 类.已知每箱脆红李重量为10千克，A 类､B 类､C 类的脆红李价格分别为每千克10元､8元､6元.现有两种装箱的分拣成本为1元.以频率代替概率解决下面的问题.（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱脆红李被定为A 类的概率； （2）根据统计学知识判断，该农户采用哪种方案装箱收入更多，并说明理由.19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝2π，AB ＝AD ＝21CD ＝2，PD ＝PB ＝6，PD ⊥BC ．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ； （2）在线段PC 上存在点M ，使得32=CP CM ，求平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角的大小．20.已知椭圆C 1：)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为4，右焦点为F （c ，0），且F 恰好是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点．若点P 为椭圆C 1与抛物线C 2在第一象限的交点，△OPF （O 为坐标原点）重心的横坐标为95，且S △OPF ＝36c ．（1）求p 的值和椭圆C 1的标准方程；（2）若p 为整数，点M 为直线x ＝ca 2上任意一点，连接MF ，过点F 作MF 的垂线l 与椭圆C 1交于A ，B 两点，若|MF |＝827|AB |，求直线l 的方程． 21.已知函数)(21ln 2f x x ax x =-+有两个极值点)(1212,x x x x <．（1）求a 的取值范围； （2）求证：21>x 且)(2132f x x <-． 选考题:共10分,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. [选修4-4：参数方程与极坐标]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），若曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12倍，得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若2=u u u r u u u rOB OA ，求k 的值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f （x ）＝|x +a |﹣2|x ﹣b |（a ＞0，b ＞0）． （1）当a ＝b ＝1时，解不等式f （x ）＞0； （2）若函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣b |的最大值为2，求ba 41+的最小值．2022新高考II卷高考压轴卷数学1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】ABD10.【答案】BC11.【答案】ACD12.【答案】ABD13.【答案】14.【答案】；15.【答案】a n＝2n﹣1，616.【答案】①②③④.17.【答案】.（1）4 （2）4【 解析】解：（1）因为1sin 24ABC S bc A ===△8bc =， 由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，所以()223b c a bc +=+，又4a =，8bc =，所以()240b c +=，即b c +=，故△ABC 的周长为4+ （2）由正弦定理得sin sin sin a b cA B C==，所以22sin sin sin bc AB C a⋅=，又1sin 2ABC S bc A ==V 4a =，所以sin sin B C ⋅=≤.当sin 1A =时，2A π=，此时22216b c a +==，bc =，即b =2c =；或2b =，c =故2A π=时，sin sin B C ⋅. 18.【 答案】 （1）316（2）采用方案二时收入更多，理由见解析【 解析】解：（1）由频率分布直方图可得任取一只脆红李，其为优质品的概率为()0.040.0650.5+⨯=， 设事件1A 为“该农户采用方案一装箱，一箱脆红李被定为A 类”， 则()4331430.50.50.50.516P A C =+⨯⨯=. （2）设该农户采用方案一时每箱收入为1Y ，则1Y 可取60,80,100，而()1310016P Y ==，()04141445600.50.516P Y C C ==⨯+⨯=， ()135180116162P Y ==--=，故()131********77.516E Y ⨯+⨯+⨯==（元） 该农户采用方案二时，每箱的平均收入为10010060601794+++-=， 因为77.579<，故采用方案二时收入更多.19.【答案】【解析】（1）证明：因为四边形ABCD是直角梯形，且AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝2，所以BD＝，又CD＝4，∠BDC＝45°，由余弦定理可得，BC＝，所以CD2＝BD2+BC2，故BC⊥BD，又因为BC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，所以BC⊥平面PBD，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC；（2）设E为BD的中点，连结PE，因为PB＝PD＝，所以PE⊥BD，PE＝2，由（1）可得平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD＝BD，所以PE⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，2），因为，所以，所以，平面PBD的一个法向量为，设平面ABM的法向量为，因为，，则有，即，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，故，所以，故平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小为．20.【答案】【解析】解：（1）因为椭圆C1的长轴长为4，所以2a＝4，a＝2，又椭圆C1的右焦点F（c，0）恰好是抛物线C2的焦点，所以．设P（x0，y0），则由题意得，解得，又P在抛物线C2上，所以，即3p2﹣10p+8＝0，解得或p＝2．从而或c＝1，又a＝2，所以或b2＝3，所以椭圆C1的标准方程为或．（2）因为p为整数，所以p＝2，c＝1，所以椭圆C1的标准方程为，直线即直线x＝4．设M（4，t），则，因为直线AB过点F，且与MF垂直，所以直线，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，得，消去x，整理得（t2+12）y2﹣6ty﹣27＝0，由根与系数的关系，得，，所以，又，所以，解得t＝±3，所以直线l的方程为x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0．21.【答案】【 解析】解：（1）)(211x ax f x x a x x='-+=-+，即方程210x ax -+=有两相异正根， 即方程1a x x =+有两相异正根，由1y x x=+图象可知2a >． （2）要证)(2132f x x <-，只要证2222113ln 22x ax x x -+<-， 1x 、2x 为方程210x ax -+=的两根，121=x x ，2221ax x =+． 只要证)(2222221311ln 22x x x x -++<-；只要证3222213ln 22x x x x --+<-； 2x 为方程210x ax -+=的较大根，212a x >>． 令)()(32222221ln 12g x x x x x x =--+>． )()(222223ln 12g x x x x '=-+>，)()(222221301g x x x x =-+<'>'； )(22223ln 2g x x x +'=-在)(1,+∞上单调减，所以)(()210g x g ''<<恒成立； )(2g x 在)(1,+∞上单调减，)(()2312g x g <=-． 22.【 答案】（1）24cos 30ρρθ-+=（2）9k =±【 解析】（1）解：由2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α得曲线1C 的普通方程为22(2)14y x -+=， 曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12倍， 则曲线2C 得直角坐标方程221(2)(2)14x y -+=， 即22(2)1x y -+=，即22430x y x +-+=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以22(cos )(sin )4cos 30ρθρθρθ+-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=；（2）解：设12(,),(,)A B ρθρθ，则12,ρρ为方程24cos 30ρρθ-+=得两根，则124cos ρρθ+=①，123ρρ=②，因为2=u u u r u u u r OB OA ，所以212ρρ=③， 由①②③解得227cos 32θ=，所以25sin ,32θ=25tan 27θ=，所以直线l 的斜率k =23.【 答案】【 解析】解：（1）当a ＝b ＝1时，f （x ）＝|x +1|﹣2|x ﹣1|，①当x ≤﹣1时，f （x ）＝﹣（x +1）+2（x ﹣1）＝x ﹣3＞0，∴x ＞3，∴无解， ②当﹣1＜x ＜1时，f （x ）＝（x +1）+2（x ﹣1）＝3x ﹣1＞0，∴＜x ＜1， ③当x ≥1时，f （x ）＝（x +1）﹣2（x ﹣1）＝﹣x +3＞0，∴1≤x ＜3， 综上所述：不等式f （x ）＞0的解集为（，3）．（2）g （x ）＝）＝|x +a |﹣2|x ﹣b |+|x ﹣b |＝|x +a |﹣|x ﹣b |，∵|x +a |﹣|x ﹣b |≤|（x +a ）﹣（x ﹣b ）|＝|a +b |，∴g （x ）max |＝|a +b |＝2，∵a ＞0，b ＞0，∴a +b ＝2，∴+＝（+）（a +b ）×＝（++5）×≥（2+5）×＝， 当且仅当＝，即b ＝2a 时取等号，∴+的最小值为．。
辽宁高考压轴卷 数学文 含解析
KS5U2015江苏高考压轴卷文科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.在复平面内，复数iz +=21对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.设全集U=R ，{|}A x N x =∈≤≤110，{|}B x R x x =∈+-=260，则图1中阴影表示的集合为（ ）A.{}2B.{}2,3-C.{}3-D.{}2,1,3- 3.函数sin cos y x x ππ=的最小正周期是（ ） A.π B.π2 C.2 D.14. 已知01a <<，log 2log 3aa x =+，1log 52a y =，log 21log 3a a z =-，则z y x ,,的大小关系是（ ）A. y x z <<B. x y z <<C. z y x <<D. z x y <<5. 如图2，用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色,要求“眼睛”（即图中A 、B 所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有( )Ａ. 36种 Ｂ.210种 Ｃ. 216种 Ｄ.120种6. 在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为（ ） A.40 B.50 C.60 D.487.数列{}n a 满足*1111(),22n n a a n N a ++=∈=-，n S 是{}n a 的前n 项和，则2011S =（ ）A.502B.500C.504D.498本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 AB图2图18.若中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为30x y +=，则此双曲线的离心率为（ ） A.31B.C.3D. 39. 已知nx i x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2的展开式中第3项与第5项的系数之比为143-，则展开式中的常数项为（ ）A.21B.16C.35D.4510.设∈⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n i i i i n f nn (1111)(N ),则集合{})(n f x x =中元素的个数是（ ）A.1B.3C.2D.411.如图3， 四棱锥S-ABCD 的底面是边长为 1的正方形，SD ⊥AD ，且SD=1，M 为SA 的中点，则异面直线DM 与SB 所成角为（ ）A.ο30 B.ο60 C.ο45 D.ο9012. 设函数12,0()(1),0x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩，方程a x x f +=)(有且只有两相不等实数根，则实数a的取值范围为（ ）A. [)3,4B.)4,1(C.]3,(-∞D.),4[+∞ 第Ⅱ卷二、（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.不等式252(1)x x +-≥的解集 . 14.设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，则目标函数65z x y =+取得最大值的点(,)x y 的坐标是 .15.问题：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，图3a n ，共n 个数据．我们规定所测量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a 1，a 2，…，a n 推出的=a .16.已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，△12PF F 是以1PF 为底边的等腰三角形．若1PF ＝10，双曲线的离心率的取值范围为)2,1(，则该椭圆的离心率的取值范围是 ． 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）△ABC 中，角A 的对边长等于2，向量m =()222cos 12B C +-，，向量n =()sin ,12A -.（1）求m ·n 取得最大值时的角A ；（2）在（1）的条件下，求△ABC 面积的最大值.18. （本小题满分12分）某社区举办北京奥运知识宣传活动，现场的“抽卡有奖游戏”特别引人注目，游戏规则是：盒子中装有8张形状大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“奥运福娃”或“奥运会徽”，要求参加游戏的4人从盒子中轮流抽取卡片，一次抽2张，抽取后不放回，直到4人中一人一次抽到2张“奥运福娃” 卡才能得到奖并终止游戏．（1）游戏开始之前，一位高中生问：盒子中有几张“奥运会徽” 卡？主持人说：若从盒中任抽2张卡片不都是“奥运会徽” 卡的概率为2528．请你回答有几张“奥运会徽” 卡呢？ （2）现有甲、乙、丙、丁4人参加游戏，约定甲、乙、丙、丁依次抽取．用ξ表示4人中的某人获奖终止游戏时总共抽取卡片的次数，求ξ的概率分布及ξ的数学期望．19. （本小题满分12分）如图4，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，AB ＝4，PA ＝3，A 点在PD 上的射影为G 点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PDC. （1）求证：AG ∥平面PEC ；（2）求AE 的长；（3）求二面角E —PC —A 的正弦值.P A BDCG E 图420.（本小题满分12分）如图5，已知位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，且被x 轴分成的两段弧长之比为21:，过点(0,)H t 的直线l 与圆C 相交于,M N 两点，且以MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．（1）求圆C 的方程；（2）当1t =时，求出直线l 的方程； （3）求直线OM 的斜率k 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数2()ln f x ax x =+，21145()ln 639f x x x x =++，221()22f x x ax =+，a ∈R ． （1）求证：函数()f x 在点(e,(e))f 处的切线恒过定点，并求出定点坐标；（2）若2()()f x f x <在区间()1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； （3）当23a =时，求证：在区间()1,+∞上，满足12()()()f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲]已知ABC ∆中，AC AB =，D 是ABC ∆外接圆劣弧AC 上的点（不与点A 、C 重合），延长BD 至点E ． 求证：AD 的延长线平分CDE ∠.图5 BACDE（第22题图）23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=,sin 42,cos 41θθy x （θ为参数），直线l 经过定点)5,3(P ，倾斜角为3π. （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程； （2）设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求PB PA ⋅的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数x x x f -+=52)(.（1）求证：5)(≤x f ，并说明等号成立的条件；（2）若关于x 的不等式2)(-≤m x f 恒成立，求实数m 的取值范围.KS5U2015江苏高考压轴卷文科数学答案一、选择题1.D2. A3.D4.A5.C6.B7.A8.D9.D 10.B 11.D 12.A 解析： 1i z +=21i i i 5152422-=--=，即该复数z 对应的点在第四象限.故选D. 2.{3,2}B =-，则{}A B =I 2.故选A. 3.1sin cos sin 22y x x x πππ==，周期1T =.故选D.4.log log a a x =6log a =，1log 52a y =5log a =，log log a a z =7log a =，又01a <<，即对数函数在其定义域内为减函数，所以有5log 6log 7log a a a<<，即y x z <<.故选A.5. 解法一：6种颜色中选三色、两色、一色填涂，共有2161623263336=+⋅+⋅C A C A C （种）； 解法二：涂眼睛有16C 种，涂鼻子有16C 种，涂嘴巴有16C 种，共有216161616=C C C 种.故选C.6. 在直方图中，小长方形的面积等于这组数的频率，小长方形的面积之和为1.设中间一个小长方形面积为x ，则1(1)5x x =-，解得16x =，∴中间一组的频数为1300506⨯=.故选B.7. 123411,1,,122a a a a =-==-=，……，∴201111005110065022S =⨯-⨯=.故选A.8. 当焦点在x 轴上时，渐近线方程可写为13y x =-，于是可设3,1a b ==，则c =，∴e =点在y 轴上时，渐近线可写为3x y =-，∴可设1,3a b ==，则c =，∴e =.故填写故选D. 9. 第3项，第5项的系数分别为22)(i C n-，44)(i C n-.由题意有143)()(4422-=--i C i C n n ，整理得05052=--n n ，解得10=n 符合题意.由r r rr n i xxC T )(2220101-⋅⋅⋅=--+，当02220=--r r 时，有8=r ，故常数项为45)(2108810==-C i C .故选D. 10.)(n f =11()11nnn ni i i i i i +-⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭,分n =4k ,n =4k +1,n =4k+2,n =4k +3(k ∈N )四种情况，分别代入可得的值为2,0,2-.故选B.11. 取AB 的中点N ，连结MN ，DN ，则MN ∥SB ，∴∠DMN 就是异面直线DM 与SB 所成的角 ∵M 为SA 的中点 ∴MN ＝12SB＝2.在Rt △SAD 中，DM=12SA=12=2在Rt △AND 中，在Rt △DMN 中，MN 2+DM 2=DN 2=54，∴△DMN 为直角三角形，∠DMN=90°. ∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°.故选D. 12.作出函数图象，由数形结合可知，a x x f +=)(经过)4,1(时有2个交点，因此可得3=a ，所以实数a 的取值范围[)3,4.故选A. 二、填空题13. (]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U ，， 14.)3,2( 15. 12n a a a a n ++⋅⋅⋅+= 16.⎪⎭⎫⎝⎛52,31解析： 13. 由252(1)x x +-≥，整理得03522≤--x x ，解得321≤≤-x .又01≠-x ，即1≠x，A所以原不等式的解集为(]11132⎡⎫-⎪⎢⎣⎭U ，，. 14. 在坐标平面上画出可行域，研究目标函数的取值范围. 欲求65z x y =+的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，在(2, 3) 点处目标函数65z x y =+取得最大值.15. 本题涉及的数量较多，关键在于对题目所给信息的提炼、加工.仔细读题后发现可以写出“最佳近似值”a 的函数表达式，这样问题就转化为函数的最值问题了，即关于a 的二次函数22212()()()()n f a a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+-222212122()n n na a a a a a a a =-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+有最小值，而此时12na a a a n++⋅⋅⋅+=.16. 如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为1a ，c ，双曲线的半实轴长，半焦距分别为2a ，c ，1PF ＝m ，2PF ＝n ，则1222102m n a m n a m n c +=⎧⎪-=⎪⎨=⎪⎪=⎩，，，，，得1255a c a c =+⎧⎨=-⎩，，问题转化为1＜5c c -＜2，求5c c+的取值范围． 设5c c -＝x ，则c ＝51x x +，所以5c c +＝21x x +＝12－142x +． 因为1＜x ＜2，所以12－16＜12－142x +＜12－110，即13＜12－142x +＜25．三、解答题17. 解：（1）m ·n ＝2sin 2A－()22cos 12sin cos()22B C A B C +-=-+. 因为 A ＋B ＋C π=，所以B ＋C π=－A ，于是m ·n ＝2sin 2A ＋cos A ＝－22sin 2sin 122A A ++＝－2213(sin )222A -+.因为()π0,22A ∈，所以当且仅当sin 2A ＝12，即A ＝π3时，m ·n 取得最大值32.故m ·n 取得最大值时的角A ＝π3.（2）设角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，由余弦定理，得 b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，即bc c b bc 2422≥+=+，所以4≤bc ，当且仅当2==c b 时取等号.又343sin 21≤==∆bc A bc S ABC .当且仅当2===c b a 时，△ABC 的面积最大为3. 18. 解：（1）设盒子中有“会徽卡”n 张，依题意有，28251282=-C C n ，解得3=n .即盒中有“会徽卡”3张．（2）因为ξ表示某人一次抽得2张“福娃卡”终止时，所有人共抽取了卡片的次数，所以ξ的所有可能取值为1，2，3，4.145)1(2825===C C P ξ；2211235354222286862(2)7C C C C C P C C C C ξ⋅==⋅+⋅=； 211111122221131535353424242222222228648648643(3)14C C C C C C C C C C C C C P C C C C C C C C C ξ⋅⋅⋅⋅==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=； 11111123513242222286421(4)7C C C C C C C P C C C C ξ⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=， 概率分布表为：12 3 4P 145143ξ∴的数学期望为71571414337221451=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 19. 解（1）证明：∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA . ∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥AG ， 又PD ⊥AG ，∴AG ⊥平面PC D. 作EF ⊥PC 于F ，则面PEC ⊥面PCD . ∴EF ⊥平面PCD ∴EF ∥AG. 又AG ⊄面PEC ，EF ⊂面PEC ，∴AG ∥平面PEC.（2）由（1）知A 、E 、F 、G 四点共面，又AE ∥CD ， ∴ AE ∥平面PCD.∴AE ∥GF. ∴四边形AEFG 为平行四边形，∴AE ＝G F .∵PA ＝3，AB ＝4. ∴PD ＝5，AG ＝125，又PA 2＝PG •PD ， ∴59=PG .又PD PG CD GF =，∴25365459=⨯=GF ， ∴2536=AE . （3）过E 作EO ⊥AC 于O 点，易知EO ⊥平面PAC ，又EF ⊥PC ，∴OF ⊥PC ∴∠EFO 即为二面角E —PC —A 的平面角.2521822253645sin =⨯=⋅=οAE EO ， 又512==AG EF . PA BDCGE∴ 102312525218sin =⨯==∠EF EO EFO . 20.解：（1）因为位于y 轴左侧的圆C 与y 轴相切于点(0,1)，所以圆心C 在直线1y =上． 设圆C 与x 轴的交点分别为A 、B ，由圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为21:得23ACB π∠=， 所以2CA CB ==，圆心C 的坐标为(2,1)-，所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y ++-=.……4分（2）当1t =时，由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为1y mx =+，由221,(2)(1)4y mx x y =+⎧⎨++-=⎩得0,1x y =⎧⎨=⎩或2224,141.1x m m m y m -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩不妨令222441(,),(0,1)11m m M N m m --+++，因为以MN 为直径的圆恰好经过原点O ， 所以2222244141(,)(0,1)0111m m m m OM ON m m m --+-+⋅=⋅==+++u u u u r u u u r ，解得2m =，所以所求直线l方程为(21y x =+或(21y x =+．（3）设直线MO 的方程为y kx =2，解之得34k ≤，同理得，134k-≤，解之得43k ≤-或>0k ．由（2）知，=0k 也满足题意． 所以k 的取值范围是43(,][0,]34-∞-U ． .21. 解：（1）因为1()2f x ax x '=+，所以()f x 在点(e,(e))f 处的切线的斜率为12k ae e=+， 所以()f x 在点(,())e f e 处的切线方程为21(2)()1y ae x e ae e=+-++，整理得11(2)()22e y ae x e -=+-，所以切线恒过定点1(,)22e ．（2）令x ax x a x f x f x p ln 2)21()()()(22+--=-=<0，对(1,)x ∈+∞恒成立，因为21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x p x a x a x x x--+---'=--+==（*）①当112a <<时，有2121x a =-11=>x ，即112a <<时，在（2x ，+∞）上有()0p x '>，此时)(x p 在区间2(,)x +∞上是增函数，并且在该区间上有)(x p ∈2((),)p x +∞，不合题意；②当1a ≥时，有2121x a =-11=≤x ， 同理可知，)(x p 在区间(1,)+∞上，有)(x p ∈((1),)p +∞，也不合题意；③当12a ≤时，有210a -≤，此时在区间(1,)+∞上恒有()0p x '<，从而)(x p 在区间(1,)+∞上是减函数； 要使0)(<x p 在此区间上恒成立，只须满足021)1(≤--=a p 12a ⇒≥-，所以1122a -≤≤． 综上可知a 的范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （3）当23a =时，2214()23f x x x =+，21145()ln 639f x x x x =++， 记22115()()ln ,(1,)39y f x f x x x x =-=-∈+∞． 因为225650399x x y x x-'=-=>，所以21()()y f x f x =-在(1,)+∞上为增函数， 所以21211()()(1)(1)3f x f x f f ->-=， 设11()()(01)3R x f x λλ=+<<,则12()()()f x R x f x <<, 所以在区间()1,+∞上，满足12()()()f x g x f x <<恒成立的函数()g x 有无穷多个．22. 证明：：设F 为AD 延长线上一点因为D C B A ,,,四点共圆，所以CDF ABC ∠=∠.又AC AB =,所以ACB ABC ∠=∠,且ACB ADB ∠=∠,所以CDF ADB ∠=∠，对顶角ADB EDF ∠=∠，故CDF EDF ∠=∠，即AD 的延长线平分CDE ∠.23. 解析：（1）曲线16)2()1(:22=-+-y x C ，直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,235,213:t y t x l （t 为参数）.（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得03)332(2=-++t t .设21,t t 是方程的两个根，则321-=t t ，所以32121===t t t t PB PA .24. 解析：（1）由柯西不等式得[]25)5()()12()52(22222=-++≤-+x x x x . 所以552)(≤-+=x x x f ，当且仅当152x x -=，即4=x 时等号成立. （2）关于x 的不等式2)(-≤m x f 恒成立，等价于52≥-m ，解得7≥m 或3-≤m . 故m 的取值范围为),7[]3,(+∞--∞∈Y m。
辽宁省沈阳市(新版)2024高考数学统编版(五四制)真题(押题卷)完整试卷
辽宁省沈阳市（新版）2024高考数学统编版（五四制）真题(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（ ）A．采用第一种方案划算B．采用第二种方案划算C．两种方案一样D．采用哪种方案无法确定第(2)题“”是“函数（且）在上单调递减”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(3)题已知函数，其中，为自然对数的底数.若函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知如图所示的几何体中，底面是边长为4的正三角形；侧面是正方形，平面平面为棱上一点，，且，则与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．第(5)题执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题下了函数中，满足“”的单调递增函数是（）A．B．C．D．第(7)题设集合，，集合中恰好含有2个元素，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题执行右面的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点、、，且的面积为，则（）A．点的纵坐标为1B．在上单调递增C ．点是图象的一个对称中心D．的图象可由的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位得到第(2)题已知数列满足，记为数列的前n项和，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．第(3)题已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线的斜率分别为，若，则（）A．直线过定点B．为定值C．的最大值为2D．的最小值为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为__________.第(2)题某圆柱两个底面面积之和等于其侧面面积，则该圆柱底面半径与高的比值为________．第(3)题的展开式中的系数为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆C：的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求四边形AMBN面积的最大值．第(2)题如图，在三棱柱中，，平面平面为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：.第(3)题在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知．(1)求角A的大小；(2)若b，a，c成等比数列，判断△ABC的形状．第(4)题设双曲线的离心率为，且顶点到渐近线的距离为．已知直线过点，直线l与双曲线C的左、右两支的交点分别为M、N，直线l与双曲线C的渐近线的交点为P、Q，其中点Q在y轴的右侧．设、、的面积分别是、、．(1)求双曲线C的方程；(2)求的取值范围．第(5)题已知函数．（1）若曲线在点处的切线与曲线相切，求的值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围．。
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2017全国卷Ⅱ高考压轴卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3] （C ）(2,3) （D ）(1,4)-2．已知i z i 32)33(-=⋅+（是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．若()()()()2,1,1,1,2//a b a b a mb ==-+-，则m =（）A ．12 B ．2 C ．-2 D ．12- 4.甲、乙等人在微信群中每人抢到一个红包，金额为三个元，一个元，则甲、乙的红包金额不相等的概率为（） (A)14(B)12(C) (D)345.已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A -2 ()B 12 ()C -5 ()D -76.下列函数中，与函数()3x xe ef x --=的奇偶性、单调性均相同的是（）A．ln(y x = B ．2y x = C ．tan y x = D ．x y e =（7）若正整数N 除以正整数m 后的余数为，则记为(mod )N n m ≡，例如104(mod 6)≡，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入2a =，3b =，5c =，则输出的N =（）(A) 11 (B) 3 (C)12 (D)218.已知函数，且f （a ）=-3，则f （6-a ）=（A ）-74 （B ）-54 （C ）-34 （D ）-149.设，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =（A ）-5 （B ）3 （C ）-5或3 （D ）5或-310.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P ABCD -的侧面积等于4(1,则该外接球的表面积是(A) 4π (B)12π (C)24π (D)36π11.直线过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是（）A .e >2B.1<e <3C.e >5D.1<e <512.已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为，若也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（）A ．012x <<0B ．012x <<1C ．2220<<x D0x <第Ⅱ卷注意事项：须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
若在试卷上作答，答案无效。
本卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题~ 第23题为选考题，考生根据要求做答。
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13.已知sin()6πθ-=，则cos(2)3πθ-=______ ．14．已知圆22(1)4x y ++=与抛物线2(0)y mx m =≠的准线交于A 、B两点，且||AB =m的值为__________15.老师给出一个函数=y )(x f ，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对于R x ∈，都有)1()1(x f x f -=+；乙：在(]0,∞-上函数递减；丙：在()+∞,0上函数递增；丁：函数的最小值为０.如果其中恰有三人说得正确，请写出一个这样的函数16．若中心在原点，一个焦点为F 1(0，50)的椭圆截直线y ＝3x －2所得弦的中点的横坐标为12，是该椭圆的方程为________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）如图，一山顶有一信号塔CD (CD 所在的直线与地平面垂直)，在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为,α沿倾斜角为的山坡向上前进米后到达B 处，测得C 的仰角为β. (1) 求BC 的长；(2) 若24,45,75,30,l αβθ︒==︒==︒求信号塔CD 的高度.AEDCBαβθ18. （本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2016年1月—2016年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：（1）若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为）的关系为：0,01004400,1003001500,300t P t t t ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失C (200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++19．（本小题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E ．F 在圆O 上，EF AB //，矩形和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD ．（Ⅰ）求证：⊥AF 平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （Ⅲ）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为ABCD F V -CBE F V -:．20.（本小题满分12分）已知点(1,0)F ，点P 为平面上的动点，过点P 作直线:1l x =-的垂线，垂足为H ，且HP HF FP FH ⋅=⋅ .(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 过点F 的直线与轨迹C 交于点,A B 两点，在,A B 处分别作轨迹C 的切线交于点N ，求证：NF AB k k ⋅为定值.21．（本小题满分12分）已知函数3()ln f x a x bx =-，a ，b 为实数，0b ≠， e 为自然对数的底数，e 2.71828≈…． （1）当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()=0f x 在区间(1e]，上有两个不同实数解，求ab的取值范围．请考生在第22题和第23题中任选一题做答，做答时请在答题卡的对应答题区写上题号，并用2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （为参数），以原点O 为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （Ⅱ）设直线与曲线C 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4πα=时，PA PB +的值.23.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()|2|f x x =-（I ）解不等式：()(1)2f x f x ++≤（II ）若0a <，求证：()(2)()f ax f a af x -≥文科数学1. 解析312|1|≤≤-⇔≤-x x ；42086<<⇔<+-x x x ，()U C A B =],32(.选B2. 解析：23213332iii z --=+-=，故选C. 3.解析：由()1,2=，()1,1-=，得()3,32=+，()m m m -+=-1,2，由于()()m -+//2，故()()m m +=-2313，解得21-=m ，故选D.4.解析总的基本事件有四个，甲、乙的红包金额不相等的事件有两个，∴选B ．5.解析472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-选D 6.解析：A ，C 都为奇函数，C 为周期函数不符题意，选A 7.解析经验证1,2,3,4,5N =必须返回，6N =时通过，∴选A.8.解析：由题意知1127log (1)3,7,(67)(1)224x x f f ---+=-=-=-=-=-，答案选A9.四棱锥的侧面积211224(122a a ⋅+⋅=，2a =，球的半径r =12S π=，选B.10.解析：画出不等式组对应的平面区域，如图所示.在平面区域内，平移直线0x ay +=，可知在点 A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处，z 取得最值，故117,22a a a -++=解之得a 5或a 3.但a 5时，z 取得最大值，故舍去，答案为a 3. 选B.11.【解析】如图设直线的倾斜角为α，双曲线渐近线 m 的倾斜角为β.显然。
当β＞α时直线与双曲线的两个交点分别在左右两支上.由2222tan tan 245b c a e a aβαβα->⇒>⇒>⇒>⇒>. ∵双曲线中1e >，故取e >5.选C.题12D 由题x x f 2)(='，200)(x x f =，所以的方程为2000)(2x x x x y +-=2002x x x -=，因为也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为)ln ,(11x x ，x y 1='，所以的方程为1ln 111-+=x x x ，这样有⎪⎩⎪⎨⎧=-=20110ln 112x x x x ，所以2002ln 1x x =+，()01,x ∈+∞,令12ln )(2--=x x x g ，()1,x ∈+∞，所该函数的零点就是0x ，排除A 、B 选项，又因为x x x g 12)(-='xx 122-=，所以)(x g 在()1,+∞上单调增，又02ln )1(<-=g ，022ln 1)2(<-=g，20g =-0x <D.13.21cos(2)12sin ()363ππθθ-=--=.14 815.|2|)(2x x x f -=解析：若甲、乙、丁正确，丙不正确的一个函数可以是|2|)(2x x x f -=；若乙、丙、丁正确，甲不正确可以是2)(x x f =.答案不唯一，写出一个即可.16.设椭圆的标准方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)由F 1(0，50)，得a 2－b 2＝50. ① 把直线方程y ＝3x －2代入椭圆方程，整理得(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0，设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12b 2a 2＋9b 2，又弦AB 的中点的横坐标为12，∴x 1＋x 22＝6b 2a 2＋9b 2＝12，∴a 2＝3b 2. ② 联立①②，解得a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的方程为x 225＋y 275＝1.答案 x 225＋y275＝117.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查利用解三角形的思想解决实际问题，对考生的抽象概括能力和运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求.【试题解析】解：(1) 在ABC ∆中，,(),CAB ABC ACB αθπβθβα∠=-∠=--∠=-，由正弦定理，sin()sin()BC l αθβα-=-.(6分)(2) 由(1)及条件知，sin()sin()BC l αθβα-==-，9015BCD β∠=︒-=︒，45CBD βθ∠=-=︒，120BDC ∠=︒，由正弦定理得，sin 4524sin120CD BC ︒=⋅=-︒18.解：（1）设在这一年内随机抽取一天， 该天经济损失(200,600]P ∈元为事件A ， 由2004400600t <-≤得150250t <≤， 频数为39，39()100P A ∴=.2K 的观测值2100(638227) 4.575 3.84185153021k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关. 19．（Ⅰ）证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥, 平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴，⊥∴AF 平面CBF 。