专题20 勾股定理(解析版)

1
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应
用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
【详解】如图，连接 AD，
4
∵AB=AC，∠BAC=120°，D 为 BC 的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设 EA=x，
在 Rt△ADE 中，AD=2EA=2x，
在 Rt△ABD 中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
所以 BC＝ 102 -82 ＝6．
故选：C．
10
4．
（2019·湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船 A, B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知
此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30°方向上，在救助船 B 的西南方向上，
且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里．
1．
（2017·河北中考模拟）如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B，则它走过的路程最短
为（
）
A． 2 a
B．
（1+ 2 ）a
C．3a
D． 5 a
7
【答案】D
【解析】
详解：如图，则 AB=
AP 2 + PB2 = a 2 + 4a 2 = 5 a． 故选 D．
2．
（2016·山东中考模拟）如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 12cm，底面周长为 10cm，
∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.
故选 C.
12
2．
（2015·河北中考模拟）在△ABC 中，若 AC=15，BC=13，AB 边上的高 CD=12，则△ABC 的周长为（ ）
在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿 3cm 的点 A
处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是(
)
A．13cm
D．2√34cm
B．2√61cm
C．√61 cm
【答案】A
【解析】
试题解析：如图：
∵高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，
∵DE 垂直平分 AB，
∴DA=DB，∴∠B=∠DAB，∵AD 平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB， ∵∠C=90°，∴3∠CAD=90°，
∴∠CAD=30°， ∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，CD⊥AC， ∴CD=DE= BD， ∵BC=3， ∴CD=DE=1
考查题型三 利用勾股定理求几何体表面最短距离
分两种情况：
在图①中，由勾股定理，得
BD = AB2 − AD2 = 102 − 62 = 8 ;
CD = AC 2 − AD2 = (2 10)2 − 62 = 2 ;
∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.
在图②中，由勾股定理，得
BD = AB2 − AD2 = 102 − 62 = 8 ;
CD = AC 2 − AD2 = (2 10)2 − 62 = 2 ;
故选 D．
4．
（2018·安徽中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线交 BC 于 D，DE 是 AB 的垂
直平分线，垂足为 E，若 BC=3，则 DE 的长为（
A．1
B．2
C．3
）
D．4
【答案】A
【解析】
由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得∠B=∠CAD=∠DAB=30°，
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
1
方法一： 4S + S正方形EFGH = S正方形ABCD ， 4 ab + (b − a)2 = c 2 ，化简可证．
2
D
C
H
E
G
F
a
b
c
A
B

方法二：
b
a
a
c
c
b
b
c
c
a
a
b
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
即 A、B 两点间的最短距离是 10．
故选 C．
考查题型四 利用勾股定理解决实际问题
1．
（2019·重庆市全善学校中考模拟）如图，在高为 3 米，斜坡长为 5 米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长
度至少要（
A．4 米
）
B．5 米
C．6 米
D．7 米
【答案】D
【详解】
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为 x 尺，
则可列方程为
（
A． 2 − 6 = (10 − )2
B． 2 − 62 = (10 − )2
C．x2+6=(10-x)2
D．x2+62=(10-x)2
）
【答案】D
【详解】
解：如图，设折断处离地面的高度为 x 尺，则 AB=10-x，BC=6，
= 2 2 (小时)，
30
∵3 2 2 ，
∴救助船 B 先到达．
考查题型五 构造直角三角形利用勾股定理解题
1．
（2019·山东中考模拟）在△ABC 中，AB=10，AC=2 10 ，BC 边上的高 AD=6，则另一边 BC 等于（
A．10
B．8
C．6 或 10
）
D．8 或 10
【答案】C
【详解】
∵AB⊥AD，AD=4，
∴∠BAD=90°，BD=2AD=8，
∴∠DAC=120°-90°=30°，
∴∠DAC =∠C=30°，
∴AD=CD=4，
5
∴CB=DB+CD=12．
故选 C.
2．
（2019·丹东市第十七中学中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿 3cm 与饭粒相对的点 A 处，
∴A′D=5cm，BD=12-3+AE=12cm，
∴将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A′，
8
连接 A′B，则 A′B 即为最短距离，
A′B=√′ 2 + 2 = √52 + 122 = 13（cm）．
故选 A．
2
2
2
A
a
c
b
E
a
c
B
D
b
C
【考查题型汇总】
考查题型一 利用直角三角形的性质解题
1．
（2018·湖南中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，EF 为 AB 的垂直平分线，交 BC 于
点 F，交 AB 于点 E．求证：FC=2BF．
【答案】见解析
【详解】
证明：连接 AF，
∵EF 为 AB 的垂直平分线，
答：收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离为 60 2 海里；
11
(2)∵ PA = 120 海里， PB = 60 2 海里，救助船 A, B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出发，
∴救助船 A 所用的时间为
救助船 B 所用的时间为
120
=3 (小时)，
40
60 2
∴EB：EA=3x：x=3．
考查题型二 含 30°角的直角三角形解题方法
1．
（2018·黑龙江中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则 BC 的长为（
A．4
B．8
C．12
）
D．16
【答案】C
【详解】
∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=120°，
由勾股定理得： AB =
BC 2 + AC 2 = 2 7 ，
所以 Rt△ABC 的周长为 AB + BC + AC = 2 7 + 5 + 3 ．
3．
（2019·江苏中考模拟）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，D 为 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，
求 EB：EA 的值．
【答案】3
1
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 S = 4 ab + c 2 = 2ab + c 2
2
2
大正方形面积为 S = (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
所以 a 2 + b2 = c 2
1
1
1
方法三： S梯形 = (a + b) (a + b) ， S梯形 = 2SADE + SABE = 2 ab + c 2 ，化简得证 a 2 + b2 = c 2
在 Rt△ABC 中，AC2+BC2=AB2，即 x2+62=（10-x）2．
故选：D．
3．
（2019·湖北中考模拟）从电线杆离地面 8 米处拉一根长为 10m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电
线杆底部有(
A．2
)m．
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【详解】
解：由题意得，在 Rt△ABC 中，AC＝8，AB＝10，
【答案】 2 7 + 5 + 3 ；
21
7
【解析】
在 Rt△ADC 中，∠C＝90°， AC = 3 ，∠ADC＝60°，
因为 sin ADC =
AC
3
3
，即
，所以 AD＝2．
=
AD
AD
2
由勾股定理得： DC =
AD 2 − AC 2 = 1．
所以 BD＝2AD＝4，BC＝BD＋DC＝5．
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， AC = 3 ，BC＝5，
3．
（2018·南宫市奋飞中学中考模拟）如图,在底面周长为 12,高为 8 的圆柱体上有 A,B 两点,若沿圆柱的侧面
积运动，则 AB 之间的最短距离是(
A．10
)
B．3
C．5
D．4
【答案】A
【解析】
展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半是 6，
矩形的宽是圆柱的高是 8．
根据勾股定理求得矩形的对角线是 10．
（1）求收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离；
（2）若救助船 A，B 分别以 40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船 P 处搜救，
试通过计算判断哪艘船先到达．
【答案】
（1）收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离为 60 2 海里；（2）救助船 B 先到达．
∴AF=BF，
又 AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=∠BAF=30°，
∴∠FAC=90°，
3
∴AF= FC，
∴FC=2BF．
2.（2013·江苏中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 3 ，点 D 为 BC 边上一点，且 BD＝2AD，
∠ADC＝60°，求△ABC 的周长(结果保留根号)．
)
B．AD=BD
C．BD=2CD
D．CD=ED
【答案】D
【解析】
试题分析：在△ABC 中，
∵∠C=90°，∠B=30°，
6
∴∠CAB=60°，
∵AD 平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD=∠B，
∴AD=BD，AD=2CD，
∴BD=2CD，
根据已知不能推出 CD=DE，
只有 D 错误，选项 A、B、C 的答案都正确．
专题 20 勾股定理
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 直角三角形与勾股定理
直角三角形三边的性质：
1、 直角三角形的两个锐角互余。
2、 直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。
3、 直角三角形中 30°角所对的边是斜边的一半。
勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a 2 + b2 = c 2
9
∴AC＝
AB 2 − BC 2 ＝4 米，
∴可得地毯长度＝AC+BC＝7 米，
故选 D．
2．
（2019·福建中考模拟）
《九章算术》中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺。问折
高几何？意思是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈=10 尺）
，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地
处离竹子底部 6 尺远。
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选 B．
3．
（2018·湖北中考模拟）如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D,E 为 AB 上一点,
连接 DE,则下列说法错误的是(
A．∠CAD=30°
MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC，若 AN=1，则 BC 的长为（
A．4
B．6
C． 4 3
）
D．8
【答案】B
【解析】
∵在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
【详解】
(1)如图，作 PC ⊥ AB 于 C ，
则 PCA = PCB = 90o ，
由题意得： PA=120 海里， A=30o ， BPC =45o ，
∴ PC =
1
PA = 60 海里， BCP 是等腰直角三角形，
2
∴ BC = PC = 60 海里， PB =
PC 2 + BC 2 = 60 2 海里，