浙江省十校联盟2019届高三数学4月适应性考试试题(PDF)

当 t 5 2 时 ，等号成立
3
3
即当点 N 在线段 DC 靠近 C 的三等分点时，直线 MN 与平面 PAB 所成角最大，最大角的
正弦值为 35 7
20．
……………………………………15 分
（1）由题意，得：
Sn

t
t
1
(an

2)
4 月适应性考试 数学 参考答案 第 2 页 共 7 页
AE∥ DC 同理， AE∥ 平面PDC 又 AE ME E …………………………………6 分
平面AME∥ 平面PDC
………………………………………7
分
（2）以 A 为原点，分别以 AD,AB,AP 所在直线为 X,Y,Z 轴建立空间直角坐标系，则
A(0，0，0), B(0，2，0),C(2，2，0), D(1，0，0),P(0，0，2),M (0，1，1)
18．
（1）由正弦定理，得： a c sin A sin C
sin A a sin C 2 c3
sin C sin A ，且 A 为锐角
………………………………………3 分
cos C 6 , cos A 5 ;
3
3
sin B sin( A C) sin Acos C cos Asin C 2 6 15 9
……….…….…….……15 分
（1）已知 b a 2(a 0), f (x) x 2 bx a ln x ，
f '(x) 2x b a (x 1)(2x a) ，
x
x
由 f '(x) 0
可得
x1

1，x2

a 2
，……………………………………………2
设直线 MN
MN 与平面 MA AD
PDANB所成 角1为，2
， DN
1，1

DC
则
浙考联盟资料群提供700292070
取平面 PAB 的法向量为 n (1, 0, 0) 则
………9 分
sin = cos MN, n
………………………………………7 分
（2） g(x) x3 bx2 ax ln x ， g '(x) 3x2 2bx a ln x a ，
g(x) 在1, e 上不单调，
g '(x) 在 1, e 上有正有负， g '(x) 0 在 1, e 上有解，
b


1 2
……………………………………………12 分

C


0,
3

2C
+
3


3
，

sin

2C

3


0,1
……………………………………………15 分

f
C

3 2
,
3 2

3
4 月适应性考试 数学 参考答案 第 1 页 共 7 页
可得：k 2 (1 m2 ) 1，

t 1

2
又由（1）可设内切圆的圆心为
(t
,0).
则



1 m2 k(t 1)
1 k2

2 ，
2
2
………….……11 分
4 月适应性考试 数学 参考答案 第 4 页 共 7 页
22.（解）
即：
21k2m(t21)22(t11)
分
又由 x1 x2 ＞1, 知
a ＞2 2
f (x)
在
1,
a 2

上单调递减，

f
x1
f
x2

f
1
f

a 2


a2 4
a ln
a1 2
………………………………4
4 月适应性考试 数学 参考答案 第 5 页 共 7 页
分
令 t a 2 ，记 h t t2 2t ln t 1 ，则 h 't 2t 2 ln t 2
当
n
1ຫໍສະໝຸດ 时，得S1t
t 1
(a1

2)
，得
a1

2t
……………………2 分
由
Sn

t
t
1
(an

2)
Sn-1

t
t 1
(an-1

2)
an tan1
故 an 2t n
………………………………………5 分 ………………………………………7 分
（2）由 bn
1 Sn
1
t
t (2tn 1
2)
1
2t (tn t 1
1)
…………………………8 分
由bn 为等比数列可知： b22 b1b3
，求得 t 1 3
…………………………10 分
所以， bn


1 n 3
，即 cn

2n 3n
故c1

c2



cn

3 2

2n 3＜ 2 3n
……….…….…….……11 分

22((aa
1)2 1)2
1 1
m2 n2
，两式相减可得：
8a

m2

n2
(2)
由 (1), (2) 得： a 1 ； 8
……….…….…….……13 分
n2 2(a 1)2 1 34 , n 34 ,
64
8
直线 PA 的方程为： x 34 y 1 0 . 8
n2 m2

4a
a r2 4
②由题得， S r2 r2 1 a 1
2
2
8
（解法一）
1 1+m2 2


1 8

12
………………….……10 分
m 34 8
所以直线 PA 的方程为 x 34 y 1 0 8
（解法二）
.……….………3 分
于是，有：

y1 y2 4m， y1y2 4，
k1
k2

y1 x1 1
y2 x2 1
y1x2 y2 x1 y1 y2 x1 x2 x1x2 1
，
.……….………4 分
又
y1x2

y2 x1

y1

y2

1 4
记 G(x)

ln x x2
，G
'( x)

1
2 ln x3
x
，
G(x) 在 1, e 上单调增，在 e,e 上单调减.
G(x)max G(
e) 1 2e
于是知
………………………………………12 分
3
（i）当

1
即 a 6e 时， F '(x) 0 恒成立， F x 在 1, e 上单调增，
3 2
…………………………………………………12 分 …………………………………………15 分
21.（解） （1）设过 F 的直线 x my 1 交抛物线于 P(x1, y1), A(x2 , y2 )，M (1,0)
x my 1
联立方程组

y
2

4x
，得： y2 4my 4 0
1

( 1)2 (2 1)2 1
( 1) 2 5 2 2 3
令 +1=t
1, 2
，则
( 1)2 5 2 2
3
=
5t2
t2 2t

3

1
5
10(1)2 121 5 7
t
t
所以 sin 35 7
………………………………………12 分
.………………….……7 分

P

mn nm
,
n
2 m

在抛物线 y2 4x
n2 m2 1
.………………….……8 分
a 1 1 m2
a 1 1 n2

r

r
2
r 2
1 m2 1 n2
a 12
r2
a 12
……………………………7 分
（2）
f C
3 sin 2C 3 1 cos 2C
2
2
3

1 2
sin
2C

3 2
cos
2C

3 2

3
sin

2C

3


3 2
……………………10 分
cos C

a2
b2 c2 2ab

11 4 b
19．
解 ： （ 1 ） E 为 BC 中 点 ， 证 明 如 下 ：
……………………………………………………2 分
M、E 分
别为 PB, BC 中点，
ME∥ PC
又 ME 平面PDC ,PC 平面PDC
ME∥ 平面PDC
…………………………………………
…4 分
又 EC∥AD 四边形EADC为平行四边形
2b 3x2 a ln x a x (1, e) ， x
………………………………………10 分
2b 1 4e恒成立 a
记 F x 3x a a ln x 1
x
a
，则
F
'x

3x2
a ln x2
x

a

3 a

ln x x2

，
设内切圆半径为 r ，则 r 2 .设直线 PM 的斜率为 k ，则： 2
直线 MP 的方程为： y k(x 1) 代入直线 PA 的直线方程，
可得
P(1 1

mk mk
,
1
2k mk
)
.
于是有： ( 2k )2 4 1 mk ，
1 mk
1 mk
……….…….…….………9 分
2
k
2
，解得：

t

1 8
m
34 8
所以，直线 PA 的方程为： x 34 y 1 0 . 8
……….…….…….……15 分
（解法三）
设直线 PM 的方程为： x my 1，PA 的方程为： x ny 1，
由
x

x

my ny
1 1
，解得交点
2
h ''(t) 2 2 2(t 1) 0 h '(t) 在 2，+ 上单调递增；
tt
h '(t) h '(2) 2(1 ln 2) 0 ， h(t) 在 2，+ 上单调递增；
h(t) h(2) 3-4 ln 2 0 ，
f (x1) f (x2 )＞3 4 ln 2

y1 y2 ( y1

y2 )

( y1

y2 )

1 4
(4) 4m

4m

0，
k1 k2 0
.………………….……6 分
4 月适应性考试 数学 参考答案 第 3 页 共 7 页
（2）①设
G a, 0 ，联立 PA, PM
的直线方程：
x x

my 1 ny 1
a 2e
F e 3e 2a 1 4e ，
ea
2a2 e2a e 0 ， e2 e4 8e a e2 e4 8e .
4
4
（ii）当 a 6e 时，
4 月适应性考试 数学 参考答案 第 6 页 共 7 页
F e 3 e 3a 1 3 e 3 6e 12 e 4e ,故不满题意.
2e a
2e
综上所述，
a


e2

e4 8e ，e2
e4

8e

.

4
4

………………………15 分
4 月适应性考试 数学 参考答案 第 7 页 共 7 页
P(
m m

n n
,
m
2
n
)
；
又 P 在抛物线 y2 4x 上，得：
……….…….…….………9 分
2 2 4 m n ，化简得：m2 n2 1 （1）,
mn
mn
由（1）可设内切圆的圆心 G(a,0),. 则由相切，得：
a 1 a 1 2 , 1 m2 1 n2 2
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浙江省十校联盟 2019 年 4 月适应性考试
数学参考答案
1-5 B A C C D
6-10 B A C B B
16
11.
52
29
12. 1 ； 70 13. 6； 2
14. 2 ；1
15. 3 1
16.1296
17. [15，19 ) (13 , 21] 8 10 5 8