2018届高考数学理科全国通用一轮总复习习题：第三章 三角函数、解三角形 课时提升作业 二十四 3.6 含答案

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课时提升作业二十四
正弦定理和余弦定理
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2016·潍坊模拟)在△ABC中,sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当sinA=sinB时,则有A=B,则△ABC为等腰三角形,故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件,反之,当△ABC为等腰三角形时,不一定是A=B,若当A=C≠60°时,则sinA≠sinB,故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分不必要条件.
2.在△ABC中,若A=错误！未找到引用源。

,B=错误！未找到引用源。

,BC=3错误！未找到引用源。

,则AC=( )
A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.2错误！未找到引用源。

D.4错误！未找到引用源。

【解析】选C.由正弦定理可得:错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
即有AC=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

.
3.(2016·滨州模拟)在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
【解析】选C.由余弦定理:a2+b2-2abcosC=c2,
因为a2+b2<c2,所以2abcosC<0,
所以C为钝角,△ABC是钝角三角形.
4.(2016·济宁模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,则B= ( )
A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选C.将已知等式利用正弦定理化简得:错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,即c2-b2=ac-a2,
所以a2+c2-b2=ac,所以cosB=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
因为B为三角形的内角,所以B=错误！未找到引用源。

.
5.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=错误！未找到引用源。

a,则( )
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.a与b的大小关系不能确定
【解析】选A.由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,
即错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

-1=0,错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

<1,故b<a.
【一题多解】由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,b=错误！未找到引用源。

,由a<a+b得,b<a.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB= .
【解析】由正弦定理可得错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,所以sinB=错误！未找到引用源。

,
再由b<a,可得B为锐角,
所以cosB=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
答案:错误！未找到引用源。

7.(2016·淄博模拟)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=错误！未找到引用源。

sinAsinC,则B= .
【解析】在△ABC中,因为sin2A+sin2C-sin2B=错误！未找到引用源。

sinAsinC,
所以利用正弦定理得:a2+c2-b2=错误！未找到引用源。

ac,
所以cosB=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,所以B=错误！未找到引用源。

. 答案:错误！未找到引用源。

8.(2016·临沂模拟)如图,在△ABC中,∠B=45°,D是BC边上的点,AD=5,
AC=7,DC=3,则AB的长为.
【解析】在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,
由余弦定理得cos∠ADC=错误！未找到引用源。

=-错误！未找到引用源。

,所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.
在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,
由正弦定理得错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
所以AB=错误！未找到引用源。

.
答案:错误！未找到引用源。

三、解答题(每小题10分,共20分)
9.△ABC中,点D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.
(1)求错误！未找到引用源。

.
(2)若∠BAC=60°,求B.
【解析】(1)如图,由正弦定理得:
错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
因为AD平分∠BAC,BD=2DC,
所以错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引
用源。

.
(2)因为C=180°-(∠BAC+B),∠BAC=60°,
所以sinC=sin(∠BAC+B)
=错误！未找到引用源。

cosB+错误！未找到引用源。

sinB,
由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=错误！未找到引用源。

,即B=30°.
10.(2016·兰州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.
(1)求cosB的值.
(2)若错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

=2,且b=2错误！未找到引用源。

,求a
和c的值.
【解析】(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,
即sin(B+C)=3sinAcosB,
可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0,
因此cosB=错误！未找到引用源。

.
(2)由错误！未找到引用源。

·错误！未找到引用源。

=2,可得accosB=2,
又cosB=错误！未找到引用源。

,故ac=6,
由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,
所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=错误！未找到引用源。

.
(20分钟40分)
1.(5分)(2016·临沂模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC= ( )
A.错误！未找到引用源。

B.-错误！未找到引用源。

C.±错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选A.由C=2B得sinC=sin2B=2sinBcosB,
由正弦定理及8b=5c得cosB=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2×错误！未找到引用源。

-1=错误！未找到引用源。

.
2.(5分)(2016·淄博模拟)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=A+错误！未找到引用源。

,b=2a,则角B= ( )
A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选D.由正弦定理及b=2a得sinB=2sinA,
由B=A+错误！未找到引用源。

,则sin错误！未找到引用源。

=2sinA,
错误！未找到引用源。

sinA+错误！未找到引用源。

cosA=2sinA,
3sinA=错误！未找到引用源。

cosA,tanA=错误！未找到引用源。

,0<A<π,即有A=错误！未找到引用源。

,B=错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
3.(5分)(2016·荆门模拟)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,
sin∠BAC=错误！未找到引用源。

,AB=3错误！未找到引用源。

,AD=3,则BD的长为.
【解析】因为sin∠BAC=错误！未找到引用源。

,且AD⊥AC,
所以sin错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
所以cos∠BAD=错误！未找到引用源。

,在△BAD中,由余弦定理得,
BD=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
答案:错误！未找到引用源。

【加固训练】(2016·菏泽模拟)在△ABC中,C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=错误！未找到引用源。

,则sin∠BAC= .
【解题提示】分别在Rt△ABC和△ABM中应用勾股定理和正弦定理.
【解析】设AC=b,AB=c,BC=a,
在△ABM中由正弦定理得
错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

①,
因为sin∠BMA=sin∠CMA=错误！未找到引用源。

,
又AC=b=错误！未找到引用源。

,AM=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
所以sin∠BMA=错误！未找到引用源。

.
又由①得错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,
所以sin∠BAC=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
答案:错误！未找到引用源。

4.(12分)(2016·枣庄模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点(a,b)在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上.
(1)求角C的值.
(2)若2cos2错误！未找到引用源。

-2sin2错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,且
A<B,求错误！未找到引用源。

.
【解析】(1)将(a,b)代入直线解析式得:a(sinA-sinB)+bsinB=csinC,
由正弦定理错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

得:
a(a-b)+b2=c2,即a2+b2-c2=ab,
由余弦定理得cosC=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
因为0<C<π,所以C=错误！未找到引用源。

.
(2)因为2cos2错误！未找到引用源。

-2sin2错误！未找到引用源。

=1+cosA-1+
cosB=cosA+cos错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

cosA+错误！未找到引用源。

sinA=sin错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
因为A+B=错误！未找到引用源。

,且A<B,
所以0<A<错误！未找到引用源。

,
所以错误！未找到引用源。

<A+错误！未找到引用源。

<错误！未找到引用源。

,即A+错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
所以A=错误！未找到引用源。

,B=错误！未找到引用源。

,C=错误！未找到引用源。

,
则错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
5.(13分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=错误！未找到引用源。

.
(1)求cos∠CAD的值.
(2)若cos∠BAD=-错误！未找到引用源。

,sin∠CBA=错误！未找到引用源。

,求BC的长. 【解题提示】利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解.
【解析】(1)在△ADC中,由余弦定理,
得cos∠CAD=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

. (2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.
因为cos∠CAD=错误！未找到引用源。

,cos∠BAD=-错误！未找到引用源。

,
所以sin∠CAD=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
sin∠BAD=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
=错误！未找到引用源。

×错误！未找到引用源。

-错误！未找到引用源。

×错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
在△ABC中,由正弦定理得,错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

.
故BC=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=3.
【加固训练】(2015·石家庄模拟)在△ABC中,a=3,b=2错误！未找到引用源。

,B=2A.
(1)求cosA的值.
(2)求c的值.
【解析】(1)由正弦定理得错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
所以错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

,
即cosA=错误！未找到引用源。

.
(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,
所以32=(2错误！未找到引用源。

)2+c2-2×2错误！未找到引用源。

c×错误！未找到引用源。

, 即c2-8c+15=0,解得c=5或c=3(舍).
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