2010年中考数学试题压轴题汇编(三)含完整解答过程

2010年中考数学试题压轴题汇编(三)
26．(某某市江津区)如图，抛物线2
1y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；
(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；
(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把A (1,0)-B (1,0)代入21y ax bx =++得：
1010a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：1
a b =-⎧⎨
=⎩ 21y x ∴=-+………………………………………………………………………3分
（2）令0x =，得1y =∴()0,1C ……………………………………………4分 ∵OA=OB=OC=1∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠ABC =45 ∵BD ∥CA ，∴∠AB D=∠BA C 45=︒
过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则∆BDE 为等腰直角三角形 令OE k =()0k >，则1DE k =+∴(),1D k k --- ∵点D 在抛物线2
1y x ∴=-+上∴()2
11k k --=--+
解得12k =，21k =-（不合题意，舍去）
()2,3D --∴DE=3
(说明：先求出直线BD 的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D 的坐标也可) ∴四边形ACBD 的面积S =
12AB •OC +1
2
AB •DE 11
2123422
=⨯⨯+⨯⨯=………………………………7分 （说明：也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4）
(3)存在这样的点M ……………………………………………………………………8分 ∵∠ABC=∠ABD=45∴∠DBC=90 ∵MN ⊥x 轴于点N ，∴∠ANM=∠DBC =90 在Rt △BOC 中，OB=OC=1有2 在Rt △DBE 中，BE=DE=3有BD=32设M 点的横坐标为m ，则M ()
2,1m m -+ ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MN ∽∆CDB 时，有
AN MN
BC BD
=
∵2
1,1AN m MN m =--=-
2232
=解得：1m =-（舍去）22m =- 则()2,3M --
(ⅱ) 当∆AMN ∽∆DCB 时，有
AN MN
BD BC
=
2322
=
解得11m =-（舍去）223m =（舍去）…………10分
②点M 在y 轴右侧时，则1m >
(ⅰ) 当∆AMN ∽∆DCB 时，有AN MN
BD BC
=
∵2
1,1AN m MN m =+=-
2
= 解得11m =-（舍去）24
3
m = ∴47,39M ⎛⎫-
⎪⎝⎭
(ⅱ) 当∆A MN ∽∆CDB 时，有
AN MN
BC BD
=
2
=
解得：11m =-（舍去）24m = ∴()4,15M -
∴M 点的坐标为()()472,3,,,4,1539⎛⎫
---- ⎪⎝
⎭…………………………12分
25．（黄冈市15分）已知抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线5
4
y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a ，b ，c 的值；
（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4
F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证
明此时△PFM 为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出
t 值，若不存在请说明理由.
解：（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0
（2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为14，横坐标为1132
+.此时，MP ＝MF ＝PF ＝1，故△MPF 为正三角形. （3）不存在.因为当t ＜5
4
，x ＜1时，PM 与PN 不可能相等， 同理，当t ＞5
4
，x ＞1时，PM 与PN 不可能相等.
26.(某某某某市)如图10，若四边形ABCD 、四边形CFED 都是正方形，显然图中有AG=CE ，AG ⊥CE.
(1)当正方形GFED 绕D 旋转到如图11的位置时，AG=CE 是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
(2)当正方形GFED 绕D 旋转到如图12的位置时，延长CE 交AG 于H ，交AD 于M. ①求证：AG ⊥CH;
②当AD=4，2CH 的长。

解：（1）AG CE =成立．
A
D
E
F G
A
B
C
D
E F
图10
G
A
D
图11
F E
B
C
G
A
D
B
C
E
F
H M
图12
四边形ABCD 、四边形DEFG 是正方形，
∴,,GD DE AD DC ==……………1分
∠GDE =∠90ADC =︒.
∴∠GDA =90°-∠ADE =∠EDC .
……………2分
∴△AGD ≅△CED .
∴AG CE =.
……………3分
（2）①类似（1）可得△AGD ≅△CED ， ∴∠1＝∠2…………………4分
又∵∠HMA ＝∠DMC .
∴∠AHM =∠ADC ＝90︒. 即.AG CH ⊥…………………5分 ② 解法一: 过G 作GP AD ⊥于P ,
由题意有sin 451GP PD ==︒=,
∴3AP =，则tan ∠1＝
1
3
GP AP =. ………6分 而∠1＝∠2，∴tan ∠2＝DM
DC
＝tan ∠1＝13.
∴43DM = ，即8
3
AM AD DM =-=. …………………7分
在Rt DMC ∆
中，CM =
………8分
而AMH ∆∽CMD ∆,∴AH AM
DC CM =
,
即8
4AH =,
∴AH …………………9分 再连接AC
，显然有AC =,
∴
CH = B
A
C
D
E F G
1
2
图12
H P
M
所求CH 的长为
5
10
8. …………………10分
解法二：研究四边形ACDG 的面积
过G 作GP AD ⊥于P ,
由题意有2sin 451O GP PD ==⨯=,
∴3AP =, 10AG =.
………………8分
而以CD 为底边的三角形CDG 的高=PD =1,
AGD
ACD
ACG
CGD
ACDG S
S
S S
S
+==+四边形,
∴4×1+4×4=10×CH+4 ×1. ∴CH =5
108.
………………10分
注：本题算法较多，请参照此标准给分.
25．(某某市)如图9，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°.半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与
边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P. （1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE=2，BD=BC ，求∠BPD 的正切值； （3）若1
tan 3
BPD ∠=，设CE=x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式.
图9 图10(备用) 图11(备
用)
解：（1）∵∠B ＝30°∠ACB ＝90°∴∠BAC ＝60° ∵AD=AE ∴∠AED ＝60°=∠CEP ∴∠EPC ＝30°
∴三角形BDP 为等腰三角形
B
A
C
D
E
F G
1
2
图12
H P
M
∵△AEP 与△BDP 相似
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30° ∴AE=EP=1
∴在RT △ECP 中，EC=
12EP=12
（2）过点D 作DQ ⊥AC 于点Q ，且设AQ=a ，BD=x ∵AE=1,EC=2 ∴QC=3－a ∵∠ACB ＝90° ∴△ADQ 与△ABC 相似 ∴AD AQ
AB AC
=
即
113a x =+，∴3
1
a x =
+ ∵在RT △ADQ
中DQ ==
∵
DQ AD
BC AB
=
∴
111
x x x +=
+ 解之得x=4，即BC=4 过点C 作CF//DP ∴△ADE 与△AFC 相似， ∴
AE AD
AC AF
=
，即AF=AC ，即DF=EC=2, ∴BF=DF=2
∵△BFC 与△BDP 相似 ∴
21
42
BF BC BD BP ===，即：BC=CP=4 ∴tan ∠BPD=
21
42
EC CP == (3)过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似,设AQ=a ，则QE=1－a
F
Q
A
E D P
C
B
∴
QE DQ
EC CP =
且1tan 3
BPD ∠= ∴()31DQ a =-
∵在Rt △ADQ 中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+ 即：()2
22131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得41()5
a a ==舍去 ∵△ADQ 与△ABC 相似
∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x
====
++ ∴5533,44
x x
AB BC ++=
=
∴三角形ABC 的周长553313344
x x
y AB BC AC x x ++=++=+++=+ 即：33y x =+，其中x>0
22.（某某市满分14分）
如图1，在平面直角坐标系中，点B 在直线2y x =上，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，OA=5。

若抛物线2
16
y x bx c =
++过点O 、A 两点。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若A 点关于直线2y x =的对称点为C ，判断点C 是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O 1是以BC 为直径的圆。

过原点O 作O 1的切线OP ，P 为切点（P 与点C 不重合），抛物线上是否存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与O 1相切？若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）把(0,0)O 、(5,0)A 分别代入2
16
y x bx c =
++， 得0,
2550.6c b c =⎧⎪⎨++=⎪⎩ 解得5,60.
b c ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩…………3分 ∴该抛物线的解析式为215
.66
y x x =
-……………4分 （2）点C 在该抛物线上． ………………………5分
理由：过点C 作CD x ⊥轴于点D ,连结OC ，设AC 与OB 相交于点E ． ∵点B 在直线2y x =上， ∴(5,10)B ∵点A 、C 关于直线2y x =对称，
∴OB AC ⊥,CE AE =,BC OC ⊥，5OC OA ==,10BC BA ==． 又∵AB x ⊥轴，，由勾股定理得55OB = ∵11
22
Rt OAB S AE OB OA AB ∆=
⋅=⋅，∴5AE = ∴5AC = ∵90OBA CAB ∠+∠=，90CAD CAB ∠+∠=，∴CAD OBA ∠=∠． 又∵90CDA OAB ∠=∠=，∴CDA ∆∽OAB ∆． ∴
CD AD AC
OA AB OB
==
． ∴4CD =,8AB =．∴(3,4)C -． ……8分
当3x =-时，15
9(3)466
y =
⨯-⨯-=． ∴点C 在抛物线215
66
y x x =-上． ………………9分
（3）抛物线上存在点Q ，使得以PQ 为直径的圆与
1O 相切．
过点P 作PF x ⊥轴于点F ；连结1O P ；过点1O 作1O H x ⊥轴于点H ． ∴CD ∥1O H ∥BA ．
∵(3,4)C -，(5,10)B ．点1O 是BC 的中点， 由平行线分线段成比例定理得，1
42
AH DH AD ==
= ∴1OH OA AH =-=，同理可得：17O H =．
∴点1O 的坐标为(1,7)． ……………………10分 ∵BC OC ⊥，∴OC 为1O 的切线．
又∵OP 为
1O 的切线，∴115OC OP O C O P ====．
∴四边形1OPO C 为正方形．∴90COP ∠=． ∴POF OCD ∠=∠．又∵PFO ∠＝90OCD ∠=， ∴CDO ∆≌OFP ∆．
∴CD OF =,OD PF =．∴(4,3)P ．…………12分 设直线1O P 的解析式为(0)y kx b k =+≠ 把1(1,7)O 、(4,3)P 分别代入y kx b =+，
得7,4 3.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得，4,325.3k b ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴直线1O P 的解析式为425.33
y x =-+ 若以PQ 为直径的圆与
1O 相切，则点Q 为直线1O P 与抛物线的交点．
可设点Q 的坐标为(,)m n ，则有42533n m =-
+，215
66
n m m =-．
∴2425153366
m m m -
+=-．整理得23500m m +-=， 解得32092m -±=．∴点Q 的横坐标为32092-+或3209
2
--．……14分
24．(日照市本题满分10分)
如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 与E ，交BC 与D ．求证： （1）D 是BC 的中点； （2）△BEC ∽△ADC ； （3）BC 2
=2AB ·CE ．
解：（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90° ，
即AD 是底边BC 上的高． ………………………………………1分 又∵AB =AC ，∴△ABC 是等腰三角形，
∴D 是BC 的中点；………………………………………………………3分 (2) 证明：∵∠CBE 与∠CAD 是同弧所对的圆周角，
∴∠CBE =∠CAD ．…………………………………………………5分 又∵∠BCE =∠ACD ，
∴△BEC ∽△ADC ；…………………………………………………6分 （3）证明：由△BEC ∽△ADC ，知
BC
CE
AC CD =，
即CD ·BC =AC ·CE ． …………………………………………………8分
∵D 是BC 的中点，∴CD=
2
1
BC ． 又∵AB =AC ，∴CD ·BC =AC ·CE =2
1
BC ·BC=AB ·CE
即BC 2=2AB ·CE ．……………………………………………………10分
27．(某某省凉山州)已知：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y ，顶点C （1，-4），与x
轴交于A 、B 两点，A （-1，0）． （1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线的对称轴交于
E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点Q 为AB 上一个动点（Q 与A 、B 两点不重合），过点
Q 作QF⊥AE 于F ，QG⊥DB 于G ，请判断 是否为定值，若是，请求出此定值，若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点H 是线段EQ 上一点，过点H 作MN⊥EQ ，
MN 分别与边AE 、BE 相交于M 、N （M 与A 、E 不重合，N 与E 、B 不重合），
请判断 是否成立，若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
解：（1）设抛物线解析式为4)1(2--=x a y ………………1分 将A （-1，0）带入4)1(2--=x a y
得1=a ……………………………………………2分
AD
QG BE QF +
EN EM QB QA =
（第27题）
NE ME
EF QF =∴4)1(2--=x y
即322--=x x y ……………………………………3分 （2） 是定值1…………………………………4分 ∵AB 是直径
∴∠AEB=90° ∵QF⊥AE
∴QF∥BE ∴ 同理可得 ………………………………5分 ∴ ∴ 为固定值1.…………………………6分 （3） 成立……………………………………7分 ∵直线EC 为抛物线对称轴
∴EC 垂直平分AB ∴AE=EB
∴∠FAQ=45°
∴AF=FQ …………………………………………8分
∵QF∥BE ∴ ∴ ………………………………………9分 ∵MN⊥EQ
∴∠QEF=∠MNE
又∵∠QFE=∠MEN=90° ∴△QEF≌△MNE
∴ ……………………………………10分 ∴ ……………………………………11分
28．（某某省某某市本题满分10分）如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm
的正三角形，三个
侧面都是矩形．现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AM 裁剪成一个平行四边形ABCD （如
EF
AF QB QA =EF QF QB QA =NE EF ME QF =
EN EM QB QA =AD QG BE QF +AB
QB AD QG =
AB
AQ BE QF =
1==+=+=+AB AB AB QB AQ AB QB AB AQ AD QG BE QF AD QG BE QF +EN EM QB QA =
图2），然后用这条平行四边形纸带按如图 3 的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴
（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部 包贴满．
（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD ；
（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．
解:（1）由图2的包贴方法知：AB 的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30 ∵纸带宽为15，∴sin ∠DAB=sin ∠ABM=151302
AM AB
==,∴∠DAB=30°．
（2）在图3中，将三棱柱沿过点A 的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，
图1
图
3
将图甲种的△ABE 向左平移30cm ，△CDF 向右平移30cm ，拼成如图乙中的平行四边
形ABCD ， 此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD
由题意得，知：BC=BE+CE=2CE=2
×
cos 30CD =︒
∴所需矩形纸带的长为MB+BC=30·cos30°
+
=．
28．（某某省宿迁市 本题满分12分）已知抛物线c bx x y ++=2
交x 轴于)0,1(A 、)0,3(B ，
交y 轴于点C ，其顶点为D ．
（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴；
（2）连接BC ，过点O 作直线BC OE ⊥交抛物线的对称轴于点E ．求证：四边形ODBE 是等腰梯形；
（3）问Q 抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的
3
1
？若
E C 图甲
存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解:（1）求出：4-=b ，3=c ，抛物线的对称轴为：x=2……3分
(2) 抛物线的解析式为342
+-=x x y ，易得C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（2，-1） 设抛物线的对称轴DE 交x 轴于点F ，易得F 点坐标为（2，0），连接OD ，DB ，BE ∵∆OBC 是等腰直角三角形，∆DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2）， ∴∠BOE= ∠OBD=
45∴OE ∥BD
∴四边形ODBE 是梯形 ………………5分 在ODF Rt ∆和EBF Rt ∆中， OD=5122222=+=+DF OF ，BE=5122222=+=+FB EF
∴OD= BE
∴四边形ODBE 是等腰梯形 ……………7分
(3) 存在， ……8分 由题意得：2
9
332121=⨯⨯=⋅=DE OB S ODBE 四边形………………9分 设点Q 坐标为（x ，y ）， 由题意得：y y OB S OBQ 2321=⋅=
三角形=2
3293131=⨯=ODBE S 四边形
（第28题）
（第28题2）
∴1±=y
当y=1时，即1342
=+-x x ，∴221+
=x ，222-=x ，
∴Q 点坐标为（2+2，1）或(2-2，1)…………11分 当y=-1时，即1342
-=+-x x ， ∴x=2， ∴Q 点坐标为（2，-1）
综上所述，抛物线上存在三点Q 1（2+2，1），Q 2 (2-2，1) ，Q 3（2，-1） 使得OBQ S 三角形=ODBE S 四边形3
1
． ………………12分
26．(某某省某某市)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，
82OA = cm ， OC=8cm ，现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发，P 在线段OA 上沿OA
方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在线段CO 上沿CO 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．
（1）用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；
（2）求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值，并求出这个定值；
E
F
Q 1 Q 3
Q 2
（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时，抛物线2
14
y x bx c =
++经过B 、P 两点，过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ，当线段MN 的长取最大值时，求直线MN
把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．
解：(1) ∵CQ ＝t ，OP
，CO =8 ∴OQ =8－t
∴S △OPQ
＝
2
1
(8)22
2
t t -=-
+（0＜t ＜8） …………………3分 (2) ∵S 四边形OPBQ
＝S 矩形ABCD －
S △PAB －S △CBQ
＝11
88
)22
⨯⨯-⨯⨯＝
5分 ∴四边形O PBQ 的面积为一个定值，且等于…………6分
（3）当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时, △QPB 必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB ＝90°
又∵BQ 与AO 不平行 ∴∠QPO 不可能等于∠PQB ，∠APB 不可能等于∠PBQ ∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ ∽△
PBQ ∽△ABP ………………7分
=
解得：t ＝4 经检验：t ＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度） 此时P
（，0） ∵B （8）且抛物线2
14
y x
bx c =
++经过B 、P 两点， 第26题图
∴抛物线是2
12284
y x x =
-+，直线BP 是：28y x =-…………………8分 设M （m ,28m -）、N (m ，2
12284
m m -+)
∵M 在BP 上运动 ∴4282m ≤≤ ∵2
112284
y x x =
-+与228y x =-交于P 、B 两点且抛物线的顶点是P ∴当4282m ≤≤时，12y y >………………………………9分 ∴12MN y y =-＝21
(62)24
m -
-+∴当62m =时，MN 有最大值是2 ∴设MN 与BQ 交于H 点则(62,4)M 、(62,7)H ∴S △BHM ＝
1
3222
⨯⨯＝32 ∴S △BHM ：S 五边形QOPMH ＝32:(32232)-＝3:29 ∴当MN 取最大值时两部分面积之比是3：29． ……10分
28.（某某市8分）如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止，连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连结EG 、FG 。

（1）设AE=x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围；
（2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 的运动路线的长。

解：（1）当点E 与点A 重合时，x=0 y=2222
1
=⨯⨯; 当点E 与点A 不重合时，0<x ≤2 在正方形ABCD 中 ∠A=∠ADC=90°, ∴∠MDF=90°,∴∠A=∠MDF. ∵AM=DM ∠AME=∠DMF. ∴△AME ≌△DMF.∴ME=MF
在Rt △AME 中，AE=x,AM=1,21x ME += EF=2ME=221x +
过M 作MN ⊥BC 于N ，则∠MNG=90°, ∠AMN=90° MN=AB=AD=2AM ∴∠AME+∠EMN=90°
∵∠EMG=90°∴∠NMG+∠EMN=90°
∴∠AME=∠GMN ∴Ｒt △AME ∽Ｒt △NMG ∴
MG ME MN AM = 即2
1
=MG ME
∴MG=2ME=221x + ∴2
1
21=⋅=
MG EF y ×221x +×221x +=2+2x 2 ∴y=2 x 2
+2 (0≤x ≤2) (2) Ｐ的运动路线的长为2．
25．（某某省某某市12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过O （0，0）、A （4，0）、B （3，
23
3
-
）三点. （1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA 的中点M 为圆心，OM 长为半径作⊙M ，在（1）中的抛物线上是否存在这样的
l ′
点P ，过点P 作⊙M 的切线l ，且l 与x 轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）
解：（1）设抛
物线的解析式为：
2(0)y ax bx c a =++≠
由题意得：0164023933⎧
⎪=⎪⎪
++=⎨⎪
⎪++=-⎪⎩
c a b c a b c ……………1分
解得：2383
,,099
a b c =
=-=………………2分 ∴抛物线的解析式为：22383
99
y x x =-………………3分
（2）存在 ………………4分
抛物线299y x x =
-
的顶点坐标是(2,9
-，作抛物线和⊙M （如图）， 设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B ，与⊙M 相切于点C 连接MC ，过C 作CD⊥x 轴于D
∵MC = OM =2, ∠CBM=30°, C M⊥BC
∴∠BCM=90° ，∠BM C = 60° ，BM=2CM=4 , ∴B (-2, 0) 在Rt△CDM中，∠DCM =∠CDM -∠CMD = 30° ∴D
∴
) 设切线l 的解析式为:(0)y
kx b k ，点B 、C 在l 上，可得：
20
k b k b ⎧+=⎪⎨
-+=⎪⎩ 解得：
k b ==∴切线BC
的解析式为：33
y x =
+ ∵点P 为抛物线与切线的交点
由233
y x x y x ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
解得：11
122x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪
⎩226
x y =⎧⎪⎨=
⎪⎩
∴点P
的坐标为：11(,22P -
，
2(6,3
P ………………8分 ∵
抛物线2y x x =
的对称轴是直线2=x 此抛物线、⊙M 都与直线2=x 成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线2=x 的对称直线 l ′(如图) 得到B 、C 关于直线2=x 的对称点B 1、C 1
l ′满足题中要求，由对称性，得到P 1、P 2关于直线2=x 的对称点：
39(2P
，4(P -即为所求的点.
∴这样的点P 共有4
个：11(,22P -
，2(6,3P
，39(,22P
，4(2,3
P -……12分
（本题其它解法参照此标准给分）
25．(某某省)课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证
设旋转角∠A 1A 0B 1＝α（α＜∠A 1A 0B 1），θ1，θ2，θ3，θ4，θ5，θ6所表示的角如图所示．
图1 图2 图3 图4
α
θ4
H
B 2
B 3
A 3
A 2
2
A 2
B 10
A 1
A 0
1
1
（1）用含α的式子表示角的度数：θ3＝_________，θ4＝_________，θ5＝_________； （2）图1－图4中，连接A 0H 时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；
归纳与猜想
设正n 边形A 0A 1A 2…A n-1与正n 边形A 0B 1B 2…B n-1重合（其中，A 1与B 1重合），现将正n 边
形A 0B 1B 2…B n-1绕顶点A 0逆时针旋转α（n
1800<<α）． （3）设θn 与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn 的度数；
（4）试猜想在正n 边形且不添加其他辅助线的情形下，是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．
解: （１）60,,36ααα︒-︒-． ………………………3分 说明：每写对一个给1分.
（２）存在·下面就所选择图形的不同分别给出证明: 选图１，图１中有直线0A H 垂直平分21A B ．证明如下: 方法一:
证明：∵△210A A A 与△210B B A 与是全等的等边三角形， ∴0201A A A B =. ∴021012A A B A B A ∠=∠. 又∠︒=∠=601020H B A H A A . ∴.2112A HB B HA ∠=∠
∴21A H B H =.∴点H 在线段21A B 的垂直平分
线上.
又,1020B A A A =∴点0A 在线段21A B 的垂直平分线上.
所以直线0A H 垂直平分21A B ．………………………………….6分 方法二:
证明: ∵△210A A A 与△210B B A 与是全等的等边三角形， ∴0201A A A B =. ∴021012A A B A B A ∠=∠.
又∠H B A H A A 1020∠=. ∴.2112A HB B HA ∠=∠ ∴21A H B H =.
在△H A A 10与△H B A 10中,
∵,,,1020121020H B A H A A HB HA B A A A ∠=∠== ∴△H A A 10≅△H B A 10.∴H A B H A A 0102∠=∠. ∴H A 0是等腰三角形102B A A 的顶角平分线. ∴直线H A 0垂直平分.12B A . …………..6分
H A 0垂直平分22B A ，证明如下：
∵,2020A A B A =
∴220220B A A A B A ∠=∠. 又∵,45320120︒=∠=∠A A A B B A ∴.2222B HA A HB ∠=∠
∴22HA HB =,∴点H 在线段22B A 的垂直平分线上. 又2020A A B A =,∴点0A 在线段22B A 的垂直平分线上.
所以直线0A H 垂直平分22B A ． …………………………….6分. 说明:(i)在图2中选用方法二证明的，参照上面的方法二给分； （i i ）选图 3或图4给予证明的，参照上述证明过程评分.
（３）当n 为奇数时，αθ-︒
=
n
n 180 ， 当n 为偶数时，n θα=． …………………………………….8分. （４）存在，当n 为奇数时，直线0A H 垂直平分112
2
n n A B +-．
当n 为偶数时，直线0A H 垂直平分2
2
n n A B ．……………………….10分.
说明：第（３）、（４）问中，每写对一个得1分.
26.(某某省某某市)如图17，抛物线F ：2
(0)y ax bx c a =++>与y 轴相交于点C ，直线1L 经过点C 且平行于x 轴，将1L 向上平移t 个单位得到直线2L ，设1L 与抛物线F 的交点为C 、D ，2L 与抛物线F 的交点为A 、B ，连接AC 、BC （1）当12a =
，3
2
b =-，1
c =，2t =时，探究△ABC 的形状，并说明理由； （2）若△ABC 为直角三角形，求t 的值（用含a 的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，若点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对称轴上，连接A ’C ，BD ，求四边形A ’CDB 的面积（用含a 的式子表示）
解：（1）结论：ABC △是直角三角形. 1分
由题意：213
122
y x x =-+ 令
213
1322
x x -+= 解得1214x x =-=，
∴点A B 、的坐标分别为(13)(43)A B -，、，
设2l 与y 轴相交于点P ，在Rt ACP △和Rt BCP △中
225AC AP CP =+=
22222
204(1)5BC BP CP AB AC BC AB =+==--=∴+= ABC ∴△是直角三角形 ························· 2分
（2）由题意，90ACB ∠=︒，设点B 的坐标为()m c t +，
2c t am bm c ∴+=++ ························· 3分 2t am bm ∴=+ ···························· 4分
设E 为AB 的中点，则点E 的坐标为2b c t a ⎛⎫
-
+ ⎪⎝⎭
， ABC ∴△为直角三角形
EC EB ∴= ······························ 5分
2
2
22b b t m a a ⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ······················ 6分 22at am bm t ∴=+= ·························· 7分
121
0t t a
∴==，（舍去） ························ 8分
（3）依题意，点A '与点E 重合
A '在抛物线F 的对称轴上，A 与A '关于y 轴对称
222b b A B AA PA a a ⎛⎫
'''∴===⨯-=- ⎪⎝⎭
CD x ∥轴
222b b CD PA A B a a ⎛⎫
''∴==⨯-=-= ⎪⎝⎭
A B CD '∥
∴四边形A CDB '是平行四边形 ······················ 9分
在Rt ABC △中A C AA ''=
A 与A '关于y 轴对称 AC A C AA ''∴==
ACA '∴△为等边三角形 ·························
10分
2
22(30)A CDB
S
A B CP PA CP t t '''∴===︒=
···tan ? ········· 11分
2
3a =
································ 12分
25、(某某省)问题探究
(1)请你在图①中做一条．．
直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分； （2）如图②点M 是矩形ABCD 内一点，请你在图②中过点M 作一条直线，使它将矩形ABCD 分成面积相等的两部分。

问题解决
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处。

为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l 将直角梯形OBCD 分成面积相等的了部分，你认为直线l 是否存在？若存在求出直线l 的表达式；若不存在，请说明理由
解：（1）如图①
（2）如图②连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。

作直线MP，直线MP即为所求。

（3）如图③存在直线l
过点D的直线只要作DA⊥OB与点A
则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心
∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可
易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA 面积平分。

从而，直线PH平分梯形OBCD的面积
即直线 PH为所求直线l
设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2)
∴2=4k+b 即b=2－4k
∴y=kx+2－4k
∵直线OD的表达式为y=2x
∴
24
2
y kx k
y x
=+-
⎧
⎨
=
⎩
解之
24
2
48
2
k
x
k
k
x
k
-
⎧
=
⎪⎪-
⎨
-
⎪=
⎪-
⎩
∴点H的坐标为（
24
2
k
x
k
-
=
-
，
48
2
k
y
k
-
=
-
）
∴PH与线段AD的交点F（2,2－2k）∴0＜2－2k＜4
∴－1＜k＜1
∴S△DHF=12411 (422)(2)24 2222
k
k
k
-
-+•-=⨯⨯⨯
-
∴解之，得
32k =。

（3
2
k
=舍去） ∴b=8－∴直线l 的表达式为y=
3
82
x +-
24．(某某省某某市本小题满分9
分)
如图所示，抛物线22
3y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，直线BD 的函数表达式为y =+l 与直线BD 交于点C 、与x 轴交于点E ．
⑴求A 、B 、C 三个点的坐标．
⑵点P 为线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），以点A 为圆心、以AP 为半径的圆弧与线段AC 交于点M ，以点B 为圆心、以BP 为半径的圆弧与线段BC 交于点N ，分别连接AN 、BM 、MN ．
①求证：AN =BM ．
②在点P 运动的过程中，四边形AMNB 的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.
D
C M
N
O A B P 第24题图
l
x
y
F
E
解：⑴令2230x x -++=，
解得：121,3x x =-=， ∴A (－1，0)，B (3，0)2分 ∵223y x x =-++=2(1)4x --+， ∴抛物线的对称轴为直线x =1，
将x =1代入333y x =+y 3
∴C （1，3. ········ 3分 ⑵①在Rt △ACE 中，tan ∠CAE =3CE
AE
= ∴∠CAE =60º，
由抛物线的对称性可知l 是线段AB 的垂直平分线， ∴AC=BC ，
∴△ABC 为等边三角形， ··················· 4分 ∴AB = BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB = 60º， 又∵AM=AP ，BN=BP ， ∴BN = CM ，
∴△ABN ≌△BCM ， ∴AN =BM . 5分
②四边形AMNB 的面积有最小值． ············· 6分 设AP=m ，四边形AMNB 的面积为S ， 由①可知AB = BC= 4，BN = CM=BP ，S △ABC 3×42
=3， ∴CM=BN= BP=4－m ，=m ，
x
x
过M 作MF ⊥BC ,垂足为F , 则MF =MC
)m -
， ∴S △CMN =12CN MF =1
2
m
)m -=2
+，······· 7分
∴S =S △ABC －S △CMN =2
） 22)m -+
···················· 8分 ∴m =2时，S 取得最小值分
23.（红河州 本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy 中，O 是坐标原点，点A 在x 正半轴上，OA=312cm ，点B 在y 轴的正半轴上，OB=12cm ，动点P 从点O 开始沿OA 以32cm/s 的速度向点A 移动，动点Q 从点A 开始沿AB 以4cm/s 的速度向点B 移动，动点R 从点B 开始沿BO 以2cm/s 的速度向点O 移动.如果P 、Q 、R 分别从O 、A 、B 同时移动，移动时间为t （0＜t ＜6）s. （1）求∠OAB 的度数.
（2）以OB 为直径的⊙O ‘
与AB 交于点M ，当t 为何值时，PM 与⊙O ‘
相切？
（3）写出△PQR 的面积S 随动点移动时间t 的函数关系式，并求s 的最小值及相应的t 值.
（4）是否存在△APQ 为等腰三角形，若存在，求出相应的t 值，若不存在请说明理由.
解：（1）在Rt △AOB 中：
x
tan ∠OAB=
3
3
31212=
=OA OB ∴∠OAB=30°
（2）如图10，连接O ‘
P ，O ‘
M. 当PM 与⊙O ‘
相切时，有∠PM O ‘
=∠PO O ‘
=90°， △PM O ‘
≌△PO O ‘
由（1）知∠OBA=60° ∵O ‘
M= O ‘B
∴△O ‘BM 是等边三角形 ∴∠B O ‘M=60°
可得∠O O ‘
P=∠M O ‘
P=60° ∴OP= O O ‘
·tan ∠O O ‘
P =6×tan60°=36 又∵OP=32t ∴32t=36，t=3 即：t=3时，PM 与⊙O ‘
相切. （3）如图9，过点Q 作QE ⊥x 于点E ∵∠BAO=30°，AQ=4t ∴QE=
2
1
AQ=2t AE=AQ ·cos ∠OAB=4t ×
t 322
3
= ∴OE=OA-AE=312-32t
∴Q 点的坐标为（312-32t ，2t ） S △PQR = S △OAB -S △OPR -S △APQ -S △BRQ =
)32312(22
1
2)32312(21)212(32213121221t t t t t t -⋅-⋅---⋅⋅-⋅⋅ =372336362
+-t t
x
=318)3(362
+-t （60＜＜t ）
当t=3时，S △PQR 最小=318 （4）分三种情况：如图11. ○
1当AP=AQ 1
=4t 时， ∵OP+AP=312
∴32t+4t=312
∴t=
2
336+
或化简为t=312-18 ○
2当PQ 2
=AQ 2
=4t 时 过Q 2点作Q 2D ⊥x 轴于点D ， ∴PA=2AD=2A Q 2·cosA=34t 即32t+34t =312 ∴t=2
○
3当PA=PQ 3
时，过点P 作PH ⊥AB 于点H AH=PA ·cos30°=（312-32t ）·2
3
=18-3t AQ 3=2AH=36-6t 得36-6t=4t ， ∴
综上所述，当t=2，t=3.6，t=312-18时，△APQ 是等腰三角形.。