江苏省南京市金陵中学河西分校2014-2015学年高一上学

江苏省南京市金陵中学河西分校2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题
一、填空题（每小题5分，共70分）
1. 设集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B ＝ ▲ .
2. 设U ＝{x |x ≤ 1} ，A ＝{x |x ＜0} ，则∁U A ＝ ▲ .
3. 函数f (x )＝ log 2
1
x －3
的定义域是 ▲ . 4. (lg 5)2＋lg 2×lg 50＝ ▲ .
5. 已知函数f (x )＝(α－2)x α是幂函数，则函数f (x )的奇偶性是 ▲ .
6. 方程3x ＝x ＋2解的个数是 ▲ .
7. 已知函数f (x )的定义域为R ，下列命题中正确的是 ▲ （填命题序号）. ①. 若f (3)＞f (2)，则f (x )在定义域R 上是单调增函数； ②. 若f (3)＞f (2)，则f (x )在定义域R 上不是单调减函数； ③. 若 f (x )在定义域R 上是单调增函数，则必有f (3)＞f (2)； ④. 若f (3)＜f (2)，则f (x )在定义域R 上不是单调增函数. 8. 设a ＝log 75，b ＝log 67，则a 、b 的大小关系是 ▲ .
9. 已知函数f (x )＝x 3－bx ＋1，a 、b ∈R ，若f (－2)＝－1，则f (2)＝ ▲ .
10. 已知函数f (x )是奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝ ▲ . 11. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且在区间(—∞，0)上是增函数，则下列命题中正确的是 ▲ （填命题序号）.
①. f (－1)＜f (－2)， ②. f (1)＜f (2)， ③. f (－1)＜f (2)， ④. f (－1)＞f (2)
12. 若 a ＋1a ＝3，则a 2－1
a 2 ＝ ▲ . 13. 已知函数f (x )＝a ＋
1
4x
＋1
是奇函数，则常数a ＝ ▲ . 14. 若ax x x f 2)(2
+-=与x
a x g -+=1)1()(在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是
▲ .
二、解答题（共计90分）
15. （本题满分14分）记函数f(x)＝3－x＋x－1 的定义域为集合M，
函数g(x)＝x2－2x＋3的值域为集合N，求M∩N和M∪N.
（答案写在答卷纸上相应的位置）
16. （本题满分14分）
（1）说明由函数y＝log3(x－1)作怎样的变换可以得到函数y＝log3(x＋2)的图象；（2）画出函数y＝log3 |x| 的图象，根据图象指出其奇偶性与单调区间（不需证明）.
（答案写在答卷纸上相应的位置）O
y
x
17. （本题满分14分）复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法。

某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息。

（1）写出x 年后，需要还款总数y （单位：万元）和x (单位：年)之间的函数关系式；
（2）计算5年后的还款总额(精确到元)
（3）如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x 元，分5次还清，
求每次还款的金额x . (精确到元)
(参考数据：1.073＝1.2250，1.074＝1.3108，1.075＝1.402551，1.076＝1.500730)
（答案写在答卷纸上相应的位置）
18. （本题满分16分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|log 4
x |，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4，
（1）画出函数f (x )的图象；
（2）若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．
（答案写在答卷纸上相应的位置）
O
y
x
19. （本题满分16分）已知函数f （x ）的定义域为A ，
①如果对于任意x 1 、x 2∈A ， x 1 ≠x 2，都有f (x 1 ＋ x 22)＜1
2[f (x 1)＋f (x 2)]， 则称函数f (x )是凹函数.
②如果对于任意x 1 、x 2∈A ， x 1 ≠x 2，都有f (x 1 ＋ x 22)＞1
2[f (x 1)＋f (x 2)]， 则称函数f (x )是凸函数.
(1) 判断函数y ＝x 2是凹函数还是凸函数，并加以证明； (2) 判断函数f (x )＝log 2x 是凹函数还是凸函数，并加以证明.
（答案写在答卷纸上相应的位置）
20. （本题满分16分）已知函数f (x )＝x ＋1—a
a —x a ∈R (1)证明：f (x )＋2＋f (2a —x )＝0对定义域内所有x 都成立.
(2)当f (x )的定义域为[a ＋1
2， a ＋1]时，求证：f (x )的值域为[—3，—2]； (3) 设函数g (x )＝x 2 ＋|(x —a ) f (x )| ，求g (x )的最小值.
（答案写在答卷纸上相应的位置）
参考答案：
一、填空题（每小题5分，共70分）
6. 方程3x＝x＋2解的个数是_____________.答案：2
7. 已知函数f(x)的定义域为R，下列命题中正确的是__________________（填命题序号）.
①. 若f(3)＞f(2)，则f(x)在定义域R上是单调增函数；
②. 若f(3)＞f(2)，则f(x)在定义域R上不是单调减函数；
③. 若f(x)在定义域R上是单调增函数，则必有f(3)＞f(2)；
④. 若f(3)＜f(2)，则f(x)在定义域R上不是单调增函数. 答案：②③④
8. 设a＝log75，b＝log67，则a 、b的大小关系是_____________.答案：a＜b
9. 已知函数f(x)＝x3－bx＋1，a、b∈R，若f(－2)＝－1，则f(2)＝____________.答案：3
答案：（0，1]
二、解答题（共计90分）
15. （本题满分14分） 记函数f (x )＝3－x ＋x －1 的定义域为集合M ，
函数g (x )＝x 2－2x ＋3的值域为集合N ，求M ∩N 和M ∪N .
解：由⎩⎨⎧3－x ≥0x －1≥0．
得M ＝[1，3]， …… …… …… …… 4分
又g (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，所以N ＝[2，＋∞) …… …… …… …… 8分 ∴ M ∩N ＝[2，3] …… …… …… …… 11分 M ∪N ＝[1，＋∞) …… …… …… ……1 4分
14.0255，…… …… …… ……9分
答：5年后的还款总额为140255元（或14.0255万元）。

…… …… …… ……9分 （3）由已知得x (1＋1.07＋1.072＋1.073＋1.074)＝14.0255…… …… …… ……13分
解得x ＝2. 4389…… …… …… ……14分
答：每次还款的金额为24389元（或2.4389万元）。

…… …… …… ……15分
18. （本题满分16分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|log 4x |，0<x ≤4，－12x ＋3，x >4，
（1）画出函数f (x )的图象；
（2）若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围． 解：（1）图象略…… …… …… ……8分
（2）由图象可知－log 4a ＝log 4b ，即ab ＝1，…… ……
……12分 所以abc ＝c
由图象可知c ∈（4,6）…… …… …… ……16分
证明如下：
∀x 1 、x 2∈(0，＋∞)， x 1 ≠x 2，
O
y
x
f (x 1 ＋ x 22)＝lo
g 2(x 1 ＋ x 22)，12[f (x 1)＋f (x 2)]＝12log 2 x 1＋12log 2 x 2＝1
2 log 2 x 1 x 2 ∵ f (x 1 ＋ x 22)－1
2[f (x 1)＋f (x 2)]
＝log 2(
x 1 ＋ x 22)－12 log 2 x 1 x 2＝log 2(x 1 ＋ x 2
2)－log 2
x 1 x 2＝log 2(x 1 ＋ x 2
2x 1 x 2
)
而x 1 ＋x 2－2x 1 x 2＝(x 1－x 2 )2＞0，所以x 1 ＋ x 22x 1 x 2＞1，log 2(x 1 ＋ x 2
2x 1 x 2)＞0，
所以f (x 1 ＋ x 22)＞1
2[f (x 1)＋f (x 2)]，即函数f (x )＝log 2x 是凸函数. ………… ……16分
f max (x )＝f （a ＋1）＝—1＋1
a —（a ＋1）
= —2，
即f （x ）的值域为[—3，—2]；…… …… …… ……10分 (3) g （x ）＝x 2 ＋|(x —a ) f （x ）| ＝ x 2＋|x —(a —1) |
＝⎩⎨⎧x 2＋x —(a —1) x ≥a —1x 2—x ＋(a —1) x ＜a —1．
…… …… …… ……12分 当a —1≤— 12 ，即a ≤ 12时，g min (x )＝g （12）＝a —3
4，…… …… …… ……13分 当— 12 <a —1≤ 12 ，即 12<a ≤ 3
2 时，
g min
(x )＝min {g (12)，g (—1
2)}＝⎩⎨⎧a —34 12<a ≤ 3
434 —a 34 < a ≤ 32．
…… …… …… ……14分
当a —1> 12 ，即a > 32 时，g min (x )＝g (— 12)＝3
4 — a ，…… …… …… ……15分
综上所述，可得g min
(x )＝⎩⎨⎧a —3
4 a ≤ 3
434 —a a >34．
…… …… …… ……16分。