新北师大版高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(答案解析)(4)

一、选择题
1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A ．21
1
x y x -=-与1y x =+
B ．y x =与log x
a y a =（0a >且1a ≠）
C
．y =
1y x =-
D ．lg y x =与21
lg 2
y x =
2．下列等式成立的是（ ） A ．222log (35)log 3log 5+=+ B ．2
221
log 3
log 32-=
C ．222log 3log 5log (35)⋅=+
D ．2
31
log 3log 2
= 3．若lg 2a =，lg3b =，则5log 12等于（ ）
A ．21a b a
++
B ．21a b a
+
C ．21a b a
D ．21a b a
-
4．若关于x 的不等式34log 2x
a x -≤在10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
5．若()(
)2
2ln 1f x x x e =+≤≤(e 为自然对数的底数)，则函数()()2
2y f x f x =+⎡⎤⎣⎦
的
最大值为（ ） A ．6
B ．13
C ．22
D ．33
6．已知函数22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R ．则实数a 的取值范围是（ ） A ．5
[1,]3
B ．5(1,]3
C ．(]5,1(,)3
-∞-⋃+∞
D ．()5,1[1,)3
-∞-
7．设log a m 和log b m 是方程2420x x -+=的两个根，则log a b
m 的值为（
）
A
B ．
2
C ．
D ．2
±
8．已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=，且当(1x ∈，3]时，
4()log f x x =，则(2021)f =（ ）
A ．
12
B ．0
C ．4log 3
D ．1
9．若函数112x
y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ）
A ．1m ≤-
B ．10m -≤<
C ．m 1≥
D ．01m <≤
10．已知函数()()
213
log f x x ax a =--对任意两个不相等的实数1x 、21,2x ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭
，
都满足不等式
()()
2121
0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,-+∞
B ．(],1-∞-
C ．11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
D ．11,
2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
11．已知0.22a =，0.20.4b =，0.60.4c =，则（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．b c a >>
12．函数32
ln ||
()x x f x x
-=
的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知常数0a >，函数()22x
x f x ax =+的图象经过点65P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q pq +=，则a =______．
14．函数f （x ）=lg （x 2-3x -10）的单调递增区间是______．
15．已知函数2223,1,
()log (6),1
x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数，则m 的取值范围
是__.
16．72log 23
3
8log
272lg 5lg 47-+++=______.
17．已知函数()
4
sin 22
x
x
f xπ
=+
+
，则
122019
101010101010
f f f
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++=
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
______.
18．如图，在面积为2的平行四边形OABC中，AC CO
⊥，AC与BO交于点E.若指数函数()
01
x
y a a a
=>≠
,经过点E，B，则函数()a
f x x
x
=-在区间[]
1,2上的最小值为
________.
19．设函数()
1
2
2,1
2log,1
x x
f x
x x
+
⎧≤
=⎨
->
⎩
，若()
()
4
f f x=则
x ______.
20．已知函数()()
log21101
a
y x a a
=-+>≠
,的图象过定点A，若点A也在函数()2x
f x b
=+的图象上，则()2
log3
f=________.
三、解答题
21．已知函数()
1,0
2,0
x
x x
f x
x
+≤
⎧
=⎨
>
⎩
（Ⅰ）求()
()
()1
f f f-的值；
（Ⅱ）画出函数()
f x的图象，根据图象写出函数()
f x的单调区间；
（Ⅲ）若()112f x f x ⎛⎫
+-
> ⎪⎝⎭
，求x 的取值范围． 22．计算下列各式的值： （1）11
00.75
3
270.064
()160.258
---++;
（2）53log 425log lg lg 45
2
++-.
23．计算：(1)0
11
3
27(0.064)0.258-
⎛⎫--+ ⎪⎝⎭
； (2)22
lg25lg8lg5lg20(lg2)3
+
+⋅+.
24．（Ⅰ）)
23
2
1812-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
；
（Ⅱ）解关于x 的不等式：
12
a
a x >--. 25．已知：2256x ≤且21log 2
x ≥ （1）求x 的取值范围；
（2）求函数f （x ）＝2
log 2x ⎛⎫
⎪⎝⎭
⎝⎭
的最大值和最小值. 26．已知函数2
()log (9)(0,1)a f x x ax a a =-+->≠. （1）当10a =时，求()f x 的值域和单调减区间； （2）若()f x 存在单调递增区间，求a 的取值范围．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】
A ．21
1
x y x -=-的定义域为{}
1x x ≠，1y x =+的定义域为R ，所以不是同一个函数；
B ．y x =与log x
a y a =的定义域均为R ，且log x
a y a =即为y x =，所以是同一个函
数； C
．y =(]
[),11,-∞-+∞，1y x =-的定义域为R ，所以不是同一个
函数；
D ．lg y x =的定义域为()0,∞+，21
lg 2
y x =的定义域为{}0x x ≠，所以不是同一个函数， 故选：B. 【点睛】
思路点睛：同一函数的判断步骤：
（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；
（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.
2．D
解析：D 【分析】
根据对数的运算法则和换底公式判断． 【详解】
22222log 3log 5log (35)log 15log (35)+=⨯=≠+，A 错误；
22221
log 32log 3log 32
-=-≠，B 错误；
222log 3log 5log (35)⋅≠+，C 错误； 3233log 31
log 3log 2log 2
=
=，D 正确． 故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查对数的运算法则．log log log ()a a a M N MN +=，
log log n a a b n b =，一般
log ()log log a a a M N M N +≠+．log ()log log a a a MN M N ≠⋅， 1
log log n a a b b n
≠
． 3．C
解析：C 【分析】
利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示. 【详解】
根据对数的换底公式得，
5lg12lg3lg 4lg32lg 22log
12lg5lg10lg 21lg 21a b
a
+++=
===---， 故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.
4．A
解析：A 【分析】
转化为当10,2
x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦
时，函数3
42
x
y =-
的图象不在log a y x =的图象的上方，根据图象列式可解得结果. 【详解】
由题意知关于x 的不等式34log 2x
a x -
≤在10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
恒成立， 所以当10,2
x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦时，函数3
42
x
y =-
的图象不在log a y x =的图象的上方，
由图可知01
11log 22a a <<⎧⎪
⎨≥⎪⎩
，解得114a ≤<.
故选：A 【点睛】
关键点点睛：利用函数3
42
x
y =-
的图象与函数log a y x =的图象求解是解题关键. 5．B
解析：B 【分析】
先依题意求函数定义域，再化简函数，进行换元后求二次函数在区间上的最大值即可. 【详解】 由21x e ≤≤及()2
f x
知2
21x
e ≤≤，故定义域为[]1,e ，
又()()
()()()2
22
22
2ln 2ln ln 6ln 61y f x f x x x x x x e =+=+++=++≤≤⎡⎤⎣⎦
令[]ln 0,1t x =∈，则266y t t =++，易见y 在[]0,1t ∈上单调递增， 故当1t =时，即x e =时，max 16613y =++=. 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用换元法求函数最值时，要注意函数的定义域，否则求得的易出错.
6．A
解析：A 【分析】
当函数的值域为R 时，命题等价于函数()
()2
2
111y a x a x =-+++的值域必须包含区间
()0+∞，
得解 【详解】
22()lg[(1)(1)1]f x a x a x =-+++的值域为R
令()
()2
2
111y a x a x =-+++，则
()
()22111y a x a x =-+++的值域必须包含区间()0+∞，
当210a -=时，则1a =± 当1a =时，21y x =+符合题意； 当1a =-时，1y =不符合题意；
当1a ≠±时，()()
2
22
101410a a a ⎧->⎪
⎨∆=+--≥⎪⎩
，解得513a <≤ 5
13a ∴≤≤，即实数a 的取值范围是5[1,]3
故选：A 【点睛】
转化命题的等价命题是解题关键.
7．D
解析：D 【分析】
利用换底公式先求解出+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果，然后利用换底公式将
log a b
m 变形为
1
log log m m a b
-，根据+log log m m a b 、log log m m a b ⋅的结果求解出
log log m m a b -的结果，则log a b
m 的值可求.
【详解】
因为log log 4log log 2a b a b m m m m +=⎧⎨⋅=⎩，所以114log log 112log log m m m m a b a b
⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩ ，所以log +log 4log log 1
log log 2m m m m
m m a b a b a b ⎧=⎪⋅⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，所以
log +log 2
1log log 2m m m m a b a b =⎧⎪⎨⋅=⎪⎩
， 又因为
11
log log log log a m m b
m
m a
a b b
=
=
-，
且()()2
2
log log =log log lo +42g log m m m m m m a b a b b a -⋅=-
，所以
log log m m a b -=
所以log 2a b
m ==±，
故选：D. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是在于换底公式的运用，将
log a b
m 变形为
1
log log m m a b
-，
再根据方程根之间的关系求解出结果.
8．A
解析：A 【分析】
根据题意，由(3)()f x f x +=可得()f x 是周期为3的周期函数，则有(2021)f f =（2），结合函数的解析式计算可得答案. 【详解】
根据题意，定义在R 上的函数()f x 满足(3)()f x f x +=，则()f x 是周期为3的周期函数，
则(2021)(23673)(2)f f f =+⨯=，
又由当(1x ∈，3]时，4()log f x x =，则f （2）41log 22
==， 故1(2021)2
f =， 故选：A. 【点睛】
关键点点睛：根据函数的周期性将(2021)f 化为(2)f ，再利用函数解析式求值是解题关键.
9．B
解析：B 【分析】
11()+2x y m -=与x 有公共点，转化为11()2x
y -=与y m =-有公共点，结合函数图象，可
得结果. 【详解】
11()+2x y m -=与x 有公共点，即11()2x y -=与y m =-有公共点，11()2
x
y -=图象如图
可知0110m m <-≤⇒-≤< 故选：B 【点睛】
本题考查了函数的交点问题，考查了运算求解能力和数形结合思想，属于基础题目.
10．C
解析：C 【分析】
由题意可知，函数()()2
13log f x x ax a =--在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭上单调递增，利用复合函数的单调性可知，内层函数2u x ax a =--在区间1,2⎛
⎫
-∞- ⎪⎝⎭
上单调递减，且0>u 对任意的1,2x ⎛⎫
∈-∞- ⎪⎝⎭
恒成立，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】
因为()()21210f x f x x x ->-，所以()()213f x log x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭上是增函数， 令2
u x ax a =--，而
13
log y u =是减函数，所以
2
u x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭上单调递
减，
且20u x ax a =-->在1,2⎛⎫
-∞- ⎪⎝⎭上恒成立，所以2
122110
22a a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪----≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得1
12
a -≤≤
. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用对数型复合函数在区间上的单调性求参数，解题时还应注意真数要恒为正数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
11．A
解析：A 【解析】
分析：0.20.4b =， 0.60.4c =的底数相同，故可用函数()0.4x
f x =在R 上为减函数，可得
0.60.200.40.40.41<<=．用指数函数的性质可得0.20221a =>=，进而可得0.20.20.620.40.4>>．
详解：因为函数()0.4x
f x =在R 上为减函数，且0.2<0.4 所以0.60.200.40.40.41<<= 因为0.20221a =>=． 所以0.20.20.620.40.4>>． 故选A ．
点睛：本题考查指数大小的比较，意在考查学生的转化能力．比较指数式的大小，同底数的可利用指数函数的单调性判断大小，底数不同的找中间量1，比较和1的大小．
12．A
解析：A 【分析】
判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项． 【详解】
解：函数的定义域为{0}x
x ≠∣， 因为332
2
()ln ||
ln ||
()()()
x x x x f x f x x x
-----=
=
=-，
所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,
又因为当0x >时，322
ln ln ()x x x
f x x x x
-==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B
故选：A. 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．
二、填空题
13．6【分析】直接利用函数的关系式利用恒等变换求出相应的a 值【详解】函数f （x ）=的图象经过点P （p ）Q （q ）则：整理得：=1解得：2p+q=a2pq 由于：2p+q=36pq 所以：a2=36由于a ＞0故
解析：6 【分析】
直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值． 【详解】
函数f （x ）=22x
x ax
+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．
则：2261
12255
p q p
q ap aq +=-=++， 整理得：2
2222222p q p q p q
p q p q aq ap aq ap a pq
+++++++++=1， 解得：2p+q =a 2pq ， 由于：2p+q =36pq ， 所以：a 2=36， 由于a ＞0， 故：a=6． 故答案为6 【点睛】
本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．
14．（5+∞）【分析】确定函数的定义域考虑复合函数的单调性即可得出结论【详解】由x2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5∵u=x2-3x-10在（5+∞）单调递增而y=lgu 是增函数由复合函数的同增异减
解析：（5，+∞） 【分析】
确定函数的定义域，考虑复合函数的单调性，即可得出结论． 【详解】
由x 2-3x-10＞0可得x ＜-2或x ＞5，
∵u=x 2-3x-10在（5，+∞）单调递增，而y=lgu 是增函数
由复合函数的同增异减的法则可得，函数f （x ）=lg （x 2-3x-10）的单调递增区间是（5，+∞）
故答案为（5，+∞）． 【点睛】
本题考查对数函数的单调性和应用，考查学生的计算能力，属于中档题
15．【分析】根据对数部分函数为单调递增所以整个函数为递增函数两段函数各自递增且左段的右端点小于等于右段的左端点即可求得的取值范围【详解】函数在上是单调函数因为当时为增函数所以整个函数在上是单调递增函数因 解析：[5,4]--
【分析】
根据对数部分函数为单调递增,所以整个函数为递增函数.两段函数各自递增,且左段的右端点小于等于右段的左端点,即可求得m 的取值范围. 【详解】
函数2223,1,
()log (6),1
x mx x f x x m x ⎧---≤=⎨+>⎩在(,)-∞+∞上是单调函数
因为当1x >时, 2()log (6)f x x m =+为增函数,所以整个函数在(,)-∞+∞上是单调递增函数
因而满足60x m +>对1x >恒成立,则6m ≥-. 当1x ≤时,2
()23f x x mx =---为增函数,则14
m -
≥ 即26
14(1)log (6)
m m
f m ≥-⎧⎪⎪
-≥⎨⎪≤+⎪⎩,即2645log (6)0
m m m m ≥-⎧⎪≤-⎨⎪+++≥⎩
因为2()5log (6)g x x x =+++在(6,)-+∞为增函数,且(5)0g -=, 所以5m ≥-.
综上可知54m -≤≤-,即[5,4]m ∈-- 故答案为:[5,4]-- 【点睛】
本题考查了分段函数的单调性判断,根据函数单调性求参数的取值范围,属于中档题.
16．【分析】根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得【详解】故答案为：【点睛】此题考查指数对数的综合运算关键在于熟练掌握运算法则和相关公式准确化简求值
解析：3
2
【分析】
根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得. 【详解】
72log 23
38log 2lg 5lg 47-+++
()
732log 232
3
32
log 32lg52lg 27=-++++
3
4222
=-+++
32
=
故答案为：32
【点睛】
此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值.
17．2019【分析】观察的特点探究得再利用倒序相加法求解【详解】因为所以故答案为：2019【点睛】本题主要考查了函数求值中的倒序相加法还考查了抽象概括的能力属于中档题
解析：2019 【分析】 观察122019101010101010⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+++
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
f f f 的特点，探究得()(2)2+-=f x f x ，再利
用倒序相加法求解. 【详解】
因为()()()244
2sin sin 222222
x x f x f x x x πππ-+-=
+++-=++ 所以1220192[]101010101010⎛⎫
⎛⎫⎛⎫+
++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
f f f
12019120191010101010101010f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22019=⨯
1220192019101010101010f f f ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
∴+
++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
故答案为：2019.
【点睛】
本题主要考查了函数求值中的倒序相加法，还考查了抽象概括的能力，属于中档题.
18．【分析】设点则点B 的坐标为由题意得则再根据平行四边形的面积求得由此得得函数的解析式从而得函数的的单调性与最值【详解】解：设点则点B 的坐标为∵∴∵平行四边形OABC 的面积又平行四边形OABC 的面积为2 解析：3-
【分析】
设点()
,t
E t a ，则点B 的坐标为(
)2,2t
t a
，由题意得22t
t a
a =，则2t a =，再根据平行四
边形的面积求得1
2
t =，由此得4a =，得函数()f x 的解析式，从而得函数()f x 的的单调性与最值． 【详解】
解：设点()
,t
E t a ，则点B 的坐标为(
)2,2t
t a ，
∵22t t a a =，∴2t a =，
∵平行四边形OABC 的面积24t S OC AC a t t =⨯⨯==， 又平行四边形OABC 的面积为2，
∴42t =，1
2t =
，所以122a =，4a =， ∴()4
f x x x
=-在[]1,2为增函数，
∴函数()f x 的最小值为()4
111
f =-=3-， 故答案为：3-． 【点睛】
本题主要考查指数函数的图象和性质，考查利用函数的单调性求最值，属于中档题．
19．或2【分析】已知复合函数值求自变量从外层求出里层设求出对应的的值再由求出即可【详解】令则当若若当（舍去）故答案为：或【点睛】本题考查由函数值求自变量涉及到简单指数和对数方程考查分类讨论思想和数学计算
解析：1-或2 【分析】
已知复合函数值求自变量，从外层求出里层，设0()t f x =，求出()4f t =对应的t 的值，再由0()t f x =求出0x 即可. 【详解】
令0()t f x =，则()4f t =，当11,24,1t
t t +≤==，
若01
0001,()2
1,1x x f x x +≤===-，
若00202001,()2log 1,log 1,2x f x x x x >=-===， 当221
1,()2log 4,log 2,4
t f t t t t >=-==-=（舍去） 故答案为：1-或2. 【点睛】
本题考查由函数值求自变量，涉及到简单指数和对数方程，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于中档题.
20．2【分析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点再将该定点的坐标代入函数中求出最后即可求出相应的函数值得到结果【详解】因为函数的图
象恒过定点将代入得所以所以则故答案为：【点睛】该题考查的是有关函
解析：2 【分析】
先利用函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数()2x f x b =+中求出b ，最后即可求出相应的函数值2(log 3)f ，得到结果. 【详解】
因为函数log (21)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过定点(1,1)， 将1,1x y ==代入()2x
f x b =+，得121b +=，所以1b =-，
所以()21x
f x =-， 则2lo
g 3
2(log 3)21312f =-=-=，
故答案为：2. 【点睛】
该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目.
三、解答题
21．（Ⅰ）2；（Ⅱ）图象见解析，单调递增区间为(),-∞+∞；（Ⅲ）14
x >-． 【分析】
（Ⅰ）依次求出()1f -，()()1f
f -，()()()1f f f -即可
（Ⅱ）根据函数解析式即可画出图象，根据图象即可得出单调区间； （Ⅲ）分段讨论可解出不等式. 【详解】
解：（Ⅰ）()1110f -=-+=，
所以()()1011f
f -=+=， 所以()()()1
122f f f -==；
（Ⅱ）函数图象如下：
由图可知，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，无单调递减区间； （Ⅲ）①当0x ≤时，1
02
x -
≤， 所以()1f x x =+，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭ 所以()132122f x f x x ⎛
⎫+-=+> ⎪⎝⎭，解得14
x >-， 所以01
4
x -
<≤； ②当1
02x <≤
时，102
x -<， 所以()2x
f x =，1111222f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭， 所以()112122
x
f x f x x ⎛
⎫+-=++> ⎪⎝⎭显然成立， 所以1
02
x <≤符合题意； ③当12x >
时，1
02
x ->， 所以()2x
f x =，12122x f x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
所以()1212212x x
f x f x ⎛
⎫
- ⎪⎝⎭⎛⎫+-=+> ⎪⎝
⎭显然成立，
所以1
2
x >
符合题意， 综上所述：x 的取值范围为1,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
关键点睛：本题考查函数不等式的求解，解题的关键是分段讨论x 的取值范围，根据不同范围函数的解析式求解. 22．（1）10 （2）0 【分析】
（1）利用指数幂的运算性质求解即可； （2）利用对数的运算性质求解即可. 【详解】 解:（1）1
1
00.75
3
270.064
()160.258
---++
()
1
133
3
2
44
2112
54-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
511822
10=
（2
）53
log 425
log lg lg 452
++-
3
4
223log 2log 2lg 5lg 22lg 24
=-+-+- ()331lg5lg 244=-++- 331144
=
-+- 0=
【点睛】
本题考查指数幂的运算,考查对数的运算. 23．(1)10；(2)3. 【分析】
（1）根据根式定义化根式为分数指数幂，再由幂的运算法则计算； （2）由对数运算法则计算． 【详解】 (1)解：原式(
)()
1323
12
0.4
10.5-=-+
1
321511218105222-⎛⎫
=-++=-++= ⎪⎝⎭
.
(2)解：原式2
322
lg5lg2lg5(2lg2lg5)(lg2)3
=+
+++ 222lg52lg 22lg5lg 2(lg5)(lg 2)=++++ 22(lg5lg 2)(lg5lg 2)213=+++=+=.
【点睛】
本题考查根式与分数指数幂的互化，考查幂和对数的运算法则，掌握幂与对数运算法则是解题关键．
24．（Ⅰ）2；（Ⅱ）答案见解析. 【分析】
（Ⅰ）利用指数幂的运算性质，即可得出结果.
（Ⅱ）将分式不等式化简转化为()()()122020a x a x x ⎧⎡⎤-+-->⎪⎣⎦⎨-≠⎪⎩
，分类讨论1a -，解一元二次不等式即可得出结果. 【详解】
解：（Ⅰ）原式
)
23
2
1812-⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
()
()233
2
431ππ=-+--+
443π1π2=-+--+=.
（Ⅱ）
12a a x >--，则()102
a
a x -->-， 即()()1202
a x a x -+->-，即
()()()122020
a x a x x ⎧⎡⎤-+-->⎪⎣⎦⎨
-≠⎪⎩， ①当10a -=，即1a =时，不等式为20x ->，解集为()2,+∞； ②当10a ->，即1a >时，原不等式与()2201a x x a ⎡-⎤
⎛⎫-->
⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦
同解， 当
2
21
a a -≥-，即01a ≤<时，与1a >矛盾，故此情况不存在； 当221a a -<-，即0a <或1a >时，即1a >时，不等式的解集为()2,2,1a a -⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪-⎝
⎭； ③当10a -<，即1a <时，原不等式与()2201a x x a ⎡-⎤
⎛⎫-->
⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦
同解， 当
221a a ->-，即01a <<时，不等式的解集为22,1a a -⎛⎫
⎪-⎝⎭
；
当2
21
a a -=-，即0a =时，不等式无解，即解集为∅； 当
221
a a -<-，即0a <或1a >时，即0a <时，不等式的解集为2,21a a -⎛⎫
⎪-⎝⎭； 所以，综上所述： 当1a >时，解集为()2,
2,1a a -⎛
⎫
-∞⋃+∞ ⎪-⎝
⎭
， 当1a =时，解集为()2,+∞， 当01a <<时解集为22,
1a a -⎛
⎫
⎪-⎝⎭
， 当0a =时，解集为∅， 当0a <时，解集为2,21a a -⎛⎫
⎪-⎝⎭
. 【点睛】
本题考查利用指数幂的运算性质进行化简求值，考查含参数的分式不等式的解法和一元二次不等式的解法，考查分类讨论思想和计算能力.
25．（18x ；（2）min max 1(),()24
f x f x =-= 【分析】
（1）利用指数与对数不等式求出x 的范围，求出交集即可．
（2）通过x 的范围求出log 2x 的范围，化简函数表达式，通过二次函数的最值求出函数的最值即可． 【详解】
（1）由2x ≤256得x≤8，21log 2
x >得2,28x x ∴.
（2）由（18x 得
21
log 32
x ，
f （x ）＝2
log 2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
⎝⎭
＝（log 2x ﹣log 22）(
)
2
=（log 2x ﹣1）（log 2x ﹣2）＝2
231log 24x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
当log 2x ＝
32，f （x ）min ＝﹣1
4
； 当log 2x ＝3，f （x ）max ＝2． 【点睛】
本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查换元，配方法，考查学生的计算能力，属于中档题．
26．（1）(][
),16;5,9lg -∞（2）6a > 【分析】
（1）当10a =时，()()
()(
2
2
1010log 109log [516f x x x x ⎤=-+-=--+⎦
，令
2109t x x =-+-，求出2109t x x =-+-的单调区间与取值范围，即可得出结果；
（2）若()f x 存在单调递增区间，则当1a >，则函数29t x ax =-+-存在单调递增区间即可，当01a <<，则函数29t x ax =-+-存在单调递减区间即可，根据判别式即可得出结果. 【详解】
解：（1）当10a =时，()()
()(
2
2
1010log 109log [516f x x x x ⎤=-+-=--+⎦
，
设()2
2109516t x x x =-+-=--+，
由21090x x -+->，得21090x x -+<，得19x <<，即函数的定义域为()1,9， 此时()(]2
5160,16t x =--+∈，
则1010log log 16y t =≤，即函数的值域为(]
,16lg -∞，
要求()f x 的单调减区间，等价为求()2
516t x =--+的单调递减区间，
()2
516t x =--+的单调递减区间为[)5,9，
()f x ∴的单调递减区间为[)5,9．
（2）若()f x 存在单调递增区间，
则当1a >，则函数29t x ax =-+-存在单调递增区间即可，则判别式2360a ∆=->得
6a >或6a <-舍，
当01a <<，则函数29t x ax =-+-存在单调递减区间即可，则判别式2360a ∆=->得
6a >或6a <-，此时a 不成立， 综上实数a 的取值范围是6a >． 【点睛】
本题主要考查对数型复合函数的单调性、以及已知函数单调性求参数的问题，熟记对数函数以及二次函数的单调性即可，属于常考题型.。