2016届高考数学(理)二轮专题复习同步专题1第2讲不等式及线性规划(含解析)(山东专用)

第2讲 不等式及线性规划
一、选择题
1．(2015·天津卷)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2
＋x －2＞0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 由|x －2|＜1得1＜x ＜3，由x 2
＋x －2＞0，得x ＜－2或x ＞1，而1＜x ＜3⇒x ＜－2或x ＞1，而x ＜－2或x ＞1⇒/ 1＜x ＜3，所以，“|x －2|＜1”是“x 2
＋x －2＞0”的充分而不必要条件，选A.
答案 A
2．(2015·临汾模拟)若点A(m ，n)在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，则mn 的最大值是( )
A ．3
B ．4
C ．7
D ．12
解析 因为点A(m ，n)在第一象限,且在直线x 3＋y 4＝1上,所以m ，n ∈R ＋,且m 3＋n 4＝1,所以m 3·n
4≤
(m 3＋n
42)2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”,所以m 3·n 4≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，即mn ≤3，
所以mn 的最大值为3.
答案 A
3．(2015·广东卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )
A.31
5 B ．
6 C.235
D ．4
解析 不等式组所表示的可行域如下图所示，由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋z
2，依题意当目
标函数直线l ：y ＝－32x ＋z 2经过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，45时，z 取得最小值，即z min ＝3×1＋2×45＝235，故
选C.
答案 C
4．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y)恒成立，则实数λ的最小值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析 ∵x ＞0，y ＞0，
∴x ＋2y ≥22xy(当且仅当x ＝2y 时取等号)． 又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y)可得λ≥x ＋22xy
x ＋y ，
而
x ＋22xy x ＋y ≤x ＋（x ＋2y ）
x ＋y
＝2，
∴当且仅当x ＝2y 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋22xy x ＋y max
＝2.
∴λ的最小值为2.
答案 B
5．(2015·衡水中学期末)已知约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1
表示的平面区域为D ，若区域D 内至
少有一个点在函数y ＝e x
的图象上，那么实数a 的取值范围为( ) A ．[e ，4) B ．[e ，＋∞) C ．[1，3)
D ．[2，＋∞)
解析 如图：点(1，e)满足ax －y ≥0，即a ≥e.
答案 B
二、填空题
6．(2015·福建卷改编)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，
则z ＝2x －y 的最小值等于
________．
解析 如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，由图形可知当y ＝2x －z 过点⎝
⎛⎭⎪⎫－1，12时z 最小，z min ＝2×(－1)－12＝－52.
答案 －5
2
7．(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，
lg （x 2＋1），x ＜1，
则f(f(－3))＝________，f(x)的
最小值是________．
解析 f(f(－3))＝f(1)＝0，当x ≥1时，f(x)＝x ＋2
x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，
取等号；当x ＜1时，f(x)＝lg(x 2
＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f(x)的最小值为22－3.
答案 0 22－3
8．(2015·日照模拟)已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 解析 由已知，得xy ＝9－(x ＋3y)，
即3xy ＝27－3(x ＋3y)≤⎝ ⎛⎭
⎪
⎫x ＋3y 22
，
令x ＋3y ＝t ，则t 2
＋12t －108≥0， 解得t ≥6或t ≤－18(舍)，即x ＋3y ≥6.
答案 6
三、解答题 9．已知函数f(x)＝2x
x 2
＋6
. (1)若f(x)＞k 的解集为{x|x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f(x)≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)f(x)＞k ⇔kx 2
－2x ＋6k ＜0.
由已知{x|x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2
－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－2
5
.
(2)因为x ＞0，f(x)＝2x x 2＋6＝2x ＋6x ≤226＝6
6
，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f(x)
≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥
66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫66，＋∞. 10．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千
米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2
(k ＞0)表示的
曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解 (1)令y ＝0，得
kx －120
(1＋k 2)x 2
＝0，
由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，
故x ＝20k 1＋k 2＝
20k ＋1k ≤20
2
＝10， 当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，
使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2
＋64＝0有正根⇔判别式Δ
＝(－20a)2
－4a 2
(a 2
＋64)≥0⇔a ≤6.
所以当a 不超过6千米时，可击中目标．
11．已知函数f(x)＝13
ax 3－bx 2
＋(2－b)x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，
且0＜x 1＜1＜x 2＜2. (1)证明：a ＞0；
(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围． (1)证明 求函数f(x)的导数 f′(x)＝ax 2
－2bx ＋2－b.
由函数f(x)在x ＝x 1处取得极大值， 在x ＝x 2处取得极小值，
知x 1、x 2是f′(x)＝0的两个根， 所以f′(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)． 当x ＜x 1时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，
由x －x 1＜0，x －x 2＜0得a ＞0.
(2)解 在题设下，0＜x 1＜1＜x 2＜2等价于⎩⎪⎨⎪
⎧f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －2b ＋2－b ＜0，4a －4b ＋2－b ＞0，化简得⎩⎪⎨⎪
⎧2－b ＞0，a －3b ＋2＜0，4a －5b ＋2＞0.
此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：
2－b ＝0，a －3b ＋2＝0，4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫47，67，
B(2，2)，C(4，2)． z 在这三点的值依次为16
7，6，8.
所以z 的取值范围为⎝
⎛⎭
⎪⎫167，8.。