人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习检测试卷

人教版八年级初二数学第二学期平行四边形单元 期末复习检测试卷
一、选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 落在y 轴上，点C 落在x 轴上，随着顶点C 由原点O 向x 轴正半轴方向运动，顶点A 沿y 轴负半轴方向运动到终点O ，在运动过程中OD 的长度变化情况是（ ）
A ．一直增大
B ．一直减小
C ．先减小后增大
D ．先增大后减少
2．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，且AB=AE ，过点A 作AF ⊥BE ，垂足为F ，交BD 于点G ，点H 在AD 上，且EH ∥AF.若正方形ABCD 的边长为2，下列结论：①OE=OG ；②EH=BE ；③AH=222-，其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3．如图，菱形ABCD 的边，8AB =，60B ∠=,P 是AB 上一点，3BP =，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ．当'CA 的长度最小时，'C Q 的长为（ ）
A ．5
B ．7
C ．8
D ．132
4．如图，在长方形ABCD 中，AD=6，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连结PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
5．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC 上一动点(且点P 不与点B 、C 重合)，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点.设AM 的长为x ，则x 的取值范围是( )
A ．4≥x ＞2.4
B ．4≥x≥2.4
C ．4＞x ＞2.4
D ．4＞x≥2.4
6．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C =90°，AB =8，AD =CD =5，点M 为BC 上异于B 、C 的一定点，点N 为AB 上的一动点，E 、F 分别为DM 、MN 的中点，当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积为 ( )
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．6
7．如图，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 交于O ，E 为CD 延长线上的一点，且CD DE =，连结BE 分别交AC ，AD 于点F ，G ，连结OG 则下列结论：①12
OG AB =；②与EGD ∆全等的三角形共有5个；③ABF S S ∆>四边形ODGF ；④由点A ，B ，D ，E 构成的四边形是菱形．其中正确的是（ ）
A ．①④
B ．①③④
C ．①②③
D ．②③④ 8．如图，在ABCD 中，AD=2AB ，C
E AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，
F 、
G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点
H ，则下列结论：
①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC CEF S S =；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正
确结论的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．将矩形沿AC 折叠，CD ′与AB 交于点F ，则AF ：BF 的值为（ ）
A ．2
B ．53
C ．54
D ．3
10．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E 且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线相交于点F ，连接AC 、CF .下列结论：①ABC EAD △≌△；②ABE △是等边三角形；③BF AD =；④BEF ABC S S =△△；⑤CEF ABE S S =△△；其中正确的有( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题
11．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．
12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为_____．
13．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度．
14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD的边上，若△AEF为等腰三角形，则EF的长为_____．
15．如图,长方形纸片ABCD中,AB＝6 cm,BC＝8 cm点E是BC边上一点，连接AE并将
△AEB沿AE折叠, 得到△AEB′，以C，E，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE的长为
___________cm.
16．菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（30），∠DOB＝
60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．
17．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．
18．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．
19．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF=20°，则∠AED 等于__度．
20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.
常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，
折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.
三、解答题
21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE
（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；
（2）当D 为AB 中点时，A ∠等于 度时，四边形BECD 是正方形．
22．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；
（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两
点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；
（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．
23．如图，ABC 是等腰直角三角形，90,ACB ∠=︒分别以,AB AC 为直角边向外作等腰直角ABD △和等腰直角,ACE G 为BD 的中点，连接,,CG BE ,CD BE 与CD 交于点F ．
（1）证明：四边形ACGD 是平行四边形；
（2）线段BE 和线段CD 有什么数量关系，请说明理由；
（3）已知2,BC =求EF 的长度(结果用含根号的式子表示)．
24．如图，在正方形ABCD 中，点M 是BC 边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，用连线的方法，分别在图（1）、图（2）中按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）.
（1）在如图（1）的AB 边上求作一点N ，连接CN ，使CN AM =； （2）在如图（2）的AD 边上求作一点Q ，连接CQ ，使CQ AM .
25．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：
如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：
（动手操作，归纳发现）
（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想
（推理探索，尝试证明）
为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：
（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G
则90CGB ∠=
90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，
AB BC =，90ABC ∠=
则90CBG ABO ∠+∠=
GCB ABO ∴∠=∠
在CBE ∆与ABE ∆中，
（类比探究，拓展延伸）
（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．
26．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．
(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；
(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．
①求证：13h h =；
②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．
27．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段AC，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。

如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝
∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC。

请再找一对这样的角来＝
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF 的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由。

（3）在第（2）题的条件下，若此时AB＝3，BD＝42，求BC的长。

28．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是AC的一点，连接EB，过点A做AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）猜想：如图（1）线段OE与线段OF的数量关系为；
（2）拓展：如图（2），若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图（2）给出证明；如果不成立，请说明理由．
29．如图，在矩形 ABCD中， AB=16 ， BC=18 ，点 E在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点B、C 重合的一个动点，把△EBF沿 EF 折叠，点B落在点 B' 处.
(I)若 AE=0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；
(II)若 AE=3 时，且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；
(III)若AE=8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.
30．已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP．将△AEF绕点A逆时针旋转．
（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为，数量关系为．
（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．
（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据运动开始，OD是正方形的边长CD，运动过程中B与O点重合时，OD是对角线，在运动A与O点重合，OD是边长AD，可得答案．
【详解】
从C离开O点到B到O点，OD由边长到对角线在增大，由B离开O点到A到O点，OD由正方形的对角线减少到正方形的边长．
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，OD 由正方形的边长到正方形的对角线，再由正方形的对角线到正方形的边长．
2．D
解析：D
【分析】
根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质即可分别求证判断.
【详解】
在正方形ABCD 中，AO=BO ，∠AOG=∠BOE ，AC ⊥BD
∵AF ⊥BE ，∴∠EAF+∠BEO=∠BEO+∠OBE=90°，
∴∠OAG=∠OBE ，∴△OAG ≌△OBE ，故OE=OG ，①正确；
∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB ，
∵EH ∥AF ∴HE ⊥BE ，
∴∠AEF+∠AEH=∠ABE+∠CBE,∴∠AEH=∠CBE
又∵AE=AB=CB,∠HAE=∠ECB=45°，∴△AEH ≌△CBE ，
∴EH=BE ，②正确；
∵△AEH ≌△=
∴AH=CE=AC-AE=，③正确.
故选D
【点睛】
此题主要考查正方形的性质与线段的证明，解题的关键是熟知正方形的性质定理及全等三角形的判定与性质.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
作CH AB ⊥于H ，如图，根据菱形的性质可判断ABC ∆为等边三角形，则
CH AB ==4AH BH ==，再利用7CP =勾股定理计算出，再根据折叠的性质得点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，然后证明CQ CP =即可．
【详解】
解：作CH AB ⊥于H ，如图，
菱形ABCD 的边8AB =，60B ∠=，
ABC ∆∴为等边三角形，
2
CH AB ∴==，4AH BH ==， 3PB =，
1HP ∴=，
在Rt CHP ∆中，32(43)17CP =+=，
梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点'A ，
∴点'A 在以点P 为圆心，PA 为半径的弧上，
∴当点'A 在PC 上时，'CA 的值最小，
APQ CPQ ∴∠=∠，
而//CD AB ，
APQ CQP ∴∠=∠，
CQP CPQ ∴∠=∠，
7CQ CP ∴==.
故选：B ．
【点睛】
考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了折叠的性质．解决本题的关键是确定A′在PC 上时CA′的长度最小．
4．C
解析：C
【分析】
连接EG 、FH ，根据题意可知△AEF 与△CGH 全等，故EF=GH ，同理EG=FH ，再证四边形EGHF 为平行四边形，所以△PEF 和△PGH 的面积和是平行四边形的面积一半，平行四边形EGHF 的面积等于矩形ABCD 的面积减去四周四个小的直角三角形的面积即可求得.
【详解】
连接EG 、FH ，如图所示，
在矩形ABCD 中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，
∴AE=AB-BE=4-1=3，CH=CD-DH=3，
∴AE=CH,
在△AEF 和△CGH 中，AE=CH,∠A=∠C=90°，AF=CG,
∴△AEF ≌△CGH ，
∴EF=GH,
同理可得△BGE ≌△DFH ，
∴EG=FH,
∴四边形EGHF 为平行四边形，
∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，
∴△PEF和△PGH的面积和=1
2
⨯平行四边形EGHF的面积，
求得平行四边形EGHF的面积=4⨯6--1
2
⨯2⨯3-
1
2
⨯1⨯（6-2）-
1
2
⨯2⨯3-
1
2
⨯1⨯（6-2）=14，
∴△PEF和△PGH的面积和=1
14
2
⨯=7.
【点睛】
此题主要考察矩形的综合利用.
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出
AM=1
2
EF=
1
2
AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．
【详解】
解：连接AP．
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100，∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF中点，
∴AM=1
2
EF=
1
2
AP，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC=1
2
×6×8=
1
2
×10×AP，
AP=4.8，
即AP的范围是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．
∵P为边BC上一动点，当P和C重合时，AM=4，
∵P和B、C不重合，
∴x＜4，
综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定的应用，直角三角
形的性质，关键是求出AP的范围和得出AM=1
2 AP．
6．A
解析：A
【分析】
取MB的中点P，连接FP，EP，DN，由中位线的性质，可得当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为∆EFP，求出当点N与点A重合时，FP的值，以及FP上的高，进而即可求解．
【详解】
取MB的中点P，连接FP，EP，DN，
∵FP是∆MNB的中位线，EF是∆DMN的中位线，
∴FP∥BN，FP=1
2
BN，EF∥DN，EF=
1
2
DN，
∴当N从A到B的运动过程中，点F在FP所在的直线上运动，即：线段EF扫过图形为∆EFP．
∴当点N与点A重合时，FP=1
2
BN=
1
2
BA=4，
过点D作DQ⊥AB于点Q，
∵AB∥CD，∠C=90°，AB=8，AD=CD=5，∴AQ=8-5=3，
∴4
==，
∴当点N与点Q重合时，EF=11
2
22
DN DQ
==，EF∥DQ，即：EF⊥AB，即：EF⊥FP，
∴∆EFP 中，FP 上的高=2，
∴当N 从A 到B 的运动过程中，线段EF 扫过图形的面积=12
×4×2=4． 故选A ．
【点睛】
本题主要考查中位线的性质定理，勾股定理以及三角形的面积公式，添加合适的辅助线，构造三角形以及三角形的中位线，是解题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
连结AE ，可说明四边形ABDE 是平行四边形，即G 是BE 的中点；由有题意的可得O 是BD 的中点，即可判定①；运用菱形和平行四边形的性质寻找判定全等三角形的条件，找出与其全等的三角形即可判定②；证出OG 是△ABD 的中位线，得出OG//AB ，OG=12AB ，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S 四边形0DGF =S △ABF .即可判定③；先说明△ABD 是等边三角形,则BD=AB,即可判定④．
【详解】
解：如图：连结AE ．
DE CD AB ==，//CD AB ，
∴四边形ABDE 是平行四边形， G ∴是BE 的中点，
∵O 是BD 的中点
1122
OG DE AB ∴==，①正确； 有BGA ∆，BGD ∆，AOD ∆，COD ∆，COB ∆，AOB ∆，共6个，②错误； ∵OB=OD ，AG=DG ，
∴OG 是△ABD 的中位线，
∴OG//AB，OG=12
AB ， ∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∵△GOD 的面积=
14
△ABD 的面积，△ABF 的面积=△OGF 的面积的4倍，AF:OF=2:1， ∴△AFG 的面积=△OGF 的面积的2倍，
又∵△GOD 的面积=△A0G 的面积=△B0G 的面积，
.∴=ABF S S ∆四边形ODGF ；不正确；③错误；
60AB AD BAD =⎧⎨∠=︒⎩
ABD ∴∆是等边三角形．
BD AB ∴=，
ABDE ∴是菱形，④正确．
故答案为A ．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；考查知识点较多、难道较大，解题的关键在于对所学知识的灵活应用．
8．C
解析：C
【分析】
由点F 是AD 的中点，结合ABCD 的性质，得FD=CD ，即可判断①；先证
∆AEF ≅∆DHF ，再证∆ECH 是直角三角形，即可判断②；由EF=HF ，得2HEC CEF S S =，
由CE AB ⊥，CE ⊥CD ，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x ，则∠H=x ，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x ，由FD=CD ，∠DFC=∠FCH=x ，由
FG ∥CD ∥AB ，得∠AEF=∠EFG=x ，由EF=CF ，∠EFG=∠CFG=x ，进而得到
3DFE AEF ∠=∠，即可判断④．
【详解】
∵点F 是AD 的中点，
∴2FD=AD ， ∵在ABCD 中，AD=2AB ，
∴FD=AB=CD ，
∴∠DFC=∠DCF ，
∵AD ∥BC ，
∴∠DFC=∠BCF ，
∴∠DCF=∠BCF ，即：12
DCF BCD ∠=∠， ∴①正确；
∵AB ∥CD ，
∴∠A=∠FDH ，∠AEF=∠H ，
又∵AF=DF ，
∴∆AEF ≅∆DHF （AAS ），
∴EF=HF ，
∵CE AB ⊥，
∴CE ⊥CD ，即：∆ECH 是直角三角形，
∴EF CF ==
12EH ， ∴②正确；
∵EF=HF ，
∴2HEC CEF S S =
∵CE AB ⊥，CE ⊥CD ，垂足E 在线段AB 上，
∴BE CH <,
∴BEC HCE S
S <, ∴2BEC CEF
S S <， ∴③错误；
设∠AEF=x ，则∠H=x ，
∵在Rt ∆ECH 中，CF=FH=EF ，
∴∠FCH=∠H=x ，
∵FD=CD ，
∴∠DFC=∠FCH=x ，
∵点F ，G 分别是EH ，EC 的中点，
∴FG ∥CD ∥AB ，
∴∠AEF=∠EFG=x ，
∵EF=CF ，
∴∠EFG=∠CFG=x ，
∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x ，
∴3DFE AEF ∠=∠．
∴④正确．
故选C ．
【点睛】
本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
由折叠的性质可得∠DCA ＝∠ACF ，由平行线的性质可得∠DCA ＝∠CAB ＝∠ACF ，可得FA ＝FC ，设BF ＝x ，在Rt △BCF 中，根据CF 2＝BC 2+BF 2，可得方程（8﹣x ）2＝x 2+42，可求BF ＝
3，AF＝5，即可求解．
【详解】
解：设BF＝x，
∵将矩形沿AC折叠，
∴∠DCA＝∠ACF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，
∴FA＝FC＝8﹣x，
在Rt△BCF中，∵CF2＝BC2+BF2，∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴BF＝3，
∴AF＝5，
∴AF：BF的值为5
3
，
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．B
解析：B
【分析】
由平行四边形的性质和角平分线的定义得出∠BAE=∠BEA，得出AB=BE=AE，得出②正确；由△ABE是等边三角形得出∠ABE=∠EAD=60°，由SAS证明△ABC≌△EAD，得出①正确；由S△AEC=S△DEC，S△ABE=S△CEF得出⑤正确；③和④不正确．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EAD=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形；②正确；
∴∠ABE=∠EAD=60°，
在△ABC和△EAD中，
AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；①正确；
∵△FCD 与△ABC 等底（AB =CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），
∴S △FCD =S △ABC ，
又∵△AEC 与△DEC 同底等高，
∴S △AEC =S △DEC ，
∴S △ABE =S △CEF ；⑤正确．
若AD 与BF 相等，则BF =BC ，
题中未限定这一条件，
∴③不一定正确；
若S △BEF =S △ACD ；则S △BEF =S △ABC ，
则AB =BF ，
∴BF =BE ，题中未限定这一条件，
∴④不一定正确；
正确的有①②⑤．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积关系；此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．
二、填空题
11
． 4
【解析】
分析：当△A′EF 为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB 的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC 是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
详解：当△A′EF 为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=22
84=43
；
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为43或4；
故答案为43或4.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
12．45
【分析】
设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，证
明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN＝1
2 x，
BN＝FN＝5，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．【详解】
解：设EF＝x，
∵点E、点F分别是OA、OD的中点，
∴EF是△OAD的中位线，
∴AD＝2x，AD∥EF，
∴∠CAD＝∠CEF＝45°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，
∴∠ACB＝∠CAD＝45°，
∵EM⊥BC，
∴∠EMC＝90°，
∴△EMC是等腰直角三角形，
∴∠CEM＝45°，
连接BE，
∵AB＝OB，AE＝OE
∴BE⊥AO
∴∠BEM＝45°，
∴BM＝EM＝MC＝x，
∴BM＝FE，
易得△ENF≌△MNB，
∴EN＝MN＝1
2
x，BN＝FN＝5，
Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2，
即2221
5()2
x x =+
解得，x ＝
∴BC ＝2x ＝
故答案为：
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题．
13．24
【分析】
由菱形的性质可得OD ＝OB ，∠COD ＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可
得OH ＝
12
BD ＝OB ，可得∠OHB ＝∠OBH ，由余角的性质可得∠DHO ＝∠DCO ，即可求解． 【详解】 【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OD ＝OB ，∠COD ＝90°，∠DAB ＝∠DCB ＝48°，
∵DH ⊥AB ，
∴OH ＝
12
BD ＝OB ， ∴∠OHB ＝∠OBH ，
又∵AB ∥CD ，
∴∠OBH ＝∠ODC ， 在Rt △COD 中，∠ODC +∠DCO ＝90°，
在Rt △DHB 中，∠DHO +∠OHB ＝90°，
∴∠DHO ＝∠DCO ＝
12∠DCB ＝24°， 故答案为：24．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH 是BD 的一半，和∠DHO ＝∠DCO 是解决本题的关键．
14．3或
2 【分析】
△AEF 为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：当AE AF =时，如图，过点A 作AH EF ⊥于H ，
E 是AB 的中点， 132AE AB ∴==， =AE A
F ，AH EF ⊥，120A ∠=︒，
30AEF AFE ∴∠=∠=︒，FH
EH =， 1322AH AE ∴==，3332
EH AH ==， 233EF EH ∴==，
当AF EF =时，如图2，
过点A 作AN CD ⊥于N ，过点F 作FM AB ⊥于M ，
图2
在平行四边形ABCD 中，6AB =，4BC =，120A ∠=︒，
4AD BC ∴==，60ADC ∠=︒，
30DAN ∴∠=︒，
122
DN AD ∴==，323AN DN ==， //AB CD ，AN CD ⊥，FM AB ⊥，
23AN MF ∴==，
AF EF =，FM AB ⊥，
32
AM ME ∴==， 22957124EF ME MF ∴=+=+
=； 当3AE EF ==时，如图3，
图3
3EF ∴=，
综上所述：EF的长为33或3或57
2
．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
15．3或6
【详解】
①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，
由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=1
2
×90°=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AB=6cm；
②∠EB′C=90°时，如图2，
由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，
∴A、B′、C在同一直线上，
AB′=AB，BE=B′E，
由勾股定理得，2222
68
AB BC
+=+，
∴B′C=10-6=4cm，
设BE=B′E=x，则EC=8-x，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，
即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
即BE=3cm，
综上所述，BE的长为3或6cm．
故答案为3或6．
1619
【分析】
先根据菱形的性质可得OC垂直平分BD，从而可得=
DP BP，再根据两点之间线段最短可得EP BP
+的最小值为DE，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．
【详解】
如图，连接BP、DP、EP、DE、BD，过点D作DA OB
⊥于点A，
(23,0)B ， 23OB ∴=，
四边形ABCD 是菱形，
OC ∴垂直平分BD ，23OB OD ==，
点P 是对角线OC 上的点，
DP BP ∴=，
EP BP EP DP ∴+=+，
由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ， ,60OB OD DOB =∠=︒，
BOD ∴是等边三角形，
DA OB ⊥，
132
OA OB ∴==，2222(23)(3)3AD OD OA =-=-=， (3,3)D ∴，
又(0,1)E -，
22(30)(31)19DE ∴=-++=，
即EP BP +的最小值为19，
故答案为：19．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP +的最小值为DE 是解题关键．
17．
83
或4433 【分析】 连接AC 交BD 于O ，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，可证四边形BEGF 是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B ，点G ，点D 三点共线，由直角三角形性质可求3AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
【详解】
如图，连接AC 交BD 于O ，
∵菱形ABCD 的边长是4，∠ABC=60°，
∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，
∵EG ∥BC ，FG ∥AB ，
∴四边形BEGF 是平行四边形，
又∵BE=BF ，
∴四边形BEGF 是菱形，
∴∠ABG=30°，
∴点B ，点G ，点D 三点共线，
∵AC ⊥BD ，∠ABD=30°，
∴AO=12
AB=2，22224223AB AO --= ∴BD=3AC=4，
同理可求3BE ，即3
， 若AD=DG'=4时，
∴BG'=BD-DG'=434，
∴BE'4344343
-==； 若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，
∴AH=HD=2，
∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，
∴DG''=2HG''，
∵222HD HG''DG''+=，
解得：HG''33=，DG''=2HG''433
=， ∴BG''=BD-DG''=438343-
= ∴BE''=83
， 综上所述：BE 为
83或434- 【点睛】
本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
18
．【详解】
解析：∵在正方形ABCD 中，
AC=
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF 与AD 交点为O ，O 是AD 的中点,
∴AO=3
以AD 为对角线的所有▱AEDF 中，当EF ⊥AC 时，EF 最小，
即△AOE 是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，
， ∴
EF=2OE=19．65
【分析】
先由正方形的性质得到∠ABF 的角度，从而得到∠AEB 的大小，再证△AEB ≌△AED ，得到∠AED 的大小
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形
∴∠ACB=∠ACD=∠BAC=∠CAD=45°，∠ABC=90°，AB=AD
∵∠FBC=20°，∴ABF=70°
∴在△ABE 中，∠AEB=65°
在△ABE 与△ADE 中 45AB AD BAE EAD AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ABE≌△ADE
∴∠AED=∠AEB=65°
故答案为：65°
【点睛】
本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出∠AEB 的大小.
20
12
a 【分析】
（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；
（2）结合（1）可知，AE AM ==
，因为EC=3BM ，所以有1BM 2
FM =，求出BM ，继而可得解．
【详解】
解：（1）由折叠的性质可得， CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=， ∴AB=AE ，
∵AE ==
∴AB =．
（2）结合（1）可知，AE AM ==，
∴FM a =-，
∵EC=3BM ， ∴1BM 2
FM =
∴BM 2
a -=
∴1AB 22a a -=
+=．
． 【点睛】 本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．
三、解答题
21．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒
【分析】
（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；
（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．
【详解】
解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：
∵DE BC ⊥，
90DFE ∴∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，
ACB DFB ∴∠=∠，
//AC DE ∴，
∵//MN AB ，即//CE AD ，
∴四边形ADEC 是平行四边形，
CE AD ∴=； D 为AB 中点，
AD BD ∴=，
BD CE ∴=，
∵//BD CE ，
∴四边形BECD 是平行四边形，
∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，
12
CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；
（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：
∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，
45ABC ∴∠=︒，
∵四边形BECD 是菱形，
12
ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，
∴四边形BECD 是正方形．
故答案为：45︒．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．
22．（1）见解析；（2）MN 2=ND 2+DH 2，理由见解析；（3）EG=4，MN=【分析】
（1）根据高AG 与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解． （2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．
（3）设EG=BE=x ，根据正方形的边长得出CE ，CF ，EF ，在Rt △CEF 中利用勾股定理得到方程，求出EG 的长，设MN=a ，根据MN 2=ND 2+BM 2解出a 值即可．
【详解】
解：（1）在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，AB=AG ，AE=AE ，
∴Rt △ABE ≌Rt △AGE （HL ）．
∴∠BAE=∠GAE ．
同理，∠GAF=∠DAF ．
∴∠EAF ＝12
∠BAD ＝45°； （2）MN 2=ND 2+DH 2．
∵∠BAM=∠DAH ，∠BAM+∠DAN=45°，
∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．
∴∠HAN=∠MAN ，
又∵AM=AH ，AN=AN ，
∴△AMN ≌△AHN （SAS ）．
∴MN=HN ，
∵∠BAD=90°，AB=AD ，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°，
∴NH 2=ND 2+DH 2，
∴MN 2=ND 2+DH 2；
（3）∵正方形ABCD 的边长为12，
∴AB=AG=12，
由（1）知，BE=EG ，DF=FG ．
设EG=BE=x ，则CE=12-x ，
∵GF=6=DF ，
∴CF=12-6=6，EF=EG+GF=x+6，
在Rt △CEF 中，
∵CE 2+CF 2=EF 2，
∴（12-x ）2+62=（x+6）2，
解得x=4，
即EG=BE=4，
在Rt △ABD 中， 22AB AD +2，
在（2）中，MN 2=ND 2+DH 2，BM=DH ，
∴MN 2=ND 2+BM 2．
设MN=a ，则a 2＝()(2212222a
+， 即a 2=()(22
232a +， ∴a=52MN ＝52
【点睛】
本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．
23．（1）见解析；（2）BE =CD ，理由见解析；（3）EF
【分析】 （1）利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC ，因为G 为BD 的中点，可得BG=BC ，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD ∥CG ，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC ∥BD ，得出四边形ACGD 为平行四边形；
（2）利用全等三角形的判定证得△DAC ≌△BAE ，由全等三角形的性质得BE=CD ；首先证得四边形ABCE 为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE ≌△CAD ，易得∠CBE=∠ACD ，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出结论．
（3）先证明△DBF 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵△ABC 和△ABD 都是等腰直角三角形
∴∠CAB =∠ABD = 45°，BD
AB
BC =2BC =2AC
∴AC ∥BD
又∵G 为BD 的中点，
∴BD =2DG ，
∴AC =DG ，AC ∥DG
∴四边形ACGD 为平行四边形；
（2）BE =CD ，理由如下
∵△AEC 和△ABD 都是等腰直角三角形AE =AC ，AB =AD
∠EAB =∠EAC +∠CAB =90°+45°=135°，
∠CAD =∠DAB +∠BAC =90°+45°=135°，
∴∠EAB =∠CAD ，
在△DAC 与△BAE 中，
AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△DAC ≌△BAE ，
∴BE =CD ；
（3） ∵△DAC ≌△BAE
∴∠AEB=∠ACD
又∵∠EAC=90°
∴∠EFC=∠DFB=90°
∴ △DBF 是直角三角形
∵BC
，
∴BD
根据勾股定理得CD
，
∴11
••22
CD BF BC
BD
=
∴
1
2
10
⨯BF=
1
2
2
⨯•22
∴BF=
2
10
5
∴EF=BE-BF=CD-BF= 10
2
10
5
- =
3
10
5
．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N．可先证明△AOD≌△COD，再证明△MOB≌NOB，从而可得NB=MB；
（2）连接MO并延长与AE交于点Q，连接QC，则CQ∥AM．理由如下：由正方形的性质以及平行线等分线段可证QO=MO，从而可知四边形AQCM为平行四边形，从而可得
CQ∥AM．
【详解】
解：（1）如图（1），
连接BD，BD与AM交于点O，连接CO并延长交于AB，则CO与AB的交点为点N，则CN 为所作．
理由：在△AOD与△COD中，
∵
AD CD
ADO CDO
OD OD
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△AOD≌△COD（SAS），
∴∠OAD=∠OCD，
∴∠BAM=∠BCN．
在△ABM与△CBN中，。