天津市红桥区高三二模数学(文)试卷 (2).docx

天津市红桥区2016年高三二模数学（文）试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！ 参考公式：
● 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A
B P A P B =+．
● 柱体体积公式：V sh =，其中s 表示柱体底面积，h 表示柱体的高． ● 锥体体积公式：1
3
V sh =
，其中s 表示柱体底面积，h 表示柱体的高． ● 球体表面积公式：2
4πR S =, 其中R 表示球体的半径． ● 球体体积公式：3
4π3
V R =
，其中R 表示球体的半径． 第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共8题，共40分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{}
2|10,A x x x =-∈R ≥，{|03,}B x x x =<∈R ≤，则A B =
（A ）{|13}x x x <<∈R ， （B ）{|13}x x x ∈R ≤≤，
（C ）{|13}x x x <∈R ≤，
（D ）{|03}x x x <<∈R ，
（2）已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 的横坐标为3，且满足||2MF p =，则抛物线
方程为
（A ）22y x = （B ）24y x =
（C ）21
2
y x =
（D ）26y x = （3）某程序框图如下图所示，若输出的26S =， 则判断框内为
（A ）3?k > （B ）4?k >
（C ）5?k > （D ）6?k >
（4）函数()|2|x f x x e =--+的零点所在的区间是
（A ）(1,0)- （B ）(0,1) （C ）(1,2) （D ）(2,3) （5）“2x >” 是“220x x ->”成立的
（A ）既不充分也不必要条件
（B ）充要条件
（C ）必要而不充分条件 （D ）充分而不必要条件
（6）函数13()sin 2cos2,22f x x x x =+∈R ,将函数()f x 的图象向右平移π
3
个单位长度，
得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间ππ
[,]63
-上的最小值为
（A ）0
（B ）32
- （C ）1-
（D ）12
（7）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，以C 的右焦点(,0)F c 为圆心，以a 为半径
的圆与C 的一条渐近线交于,A B 两点，若2
3
AB c =，则双曲线C 的离心率为
（A ）
35
5
（B ）
32613 （C ）6
2 （D ）
3
2
（8）已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1
f （x ）
，若f (x )在[－1，0]上是减函数，记0.5(log 2)a f =，2(log 4)b f =，0.5(2)c f =则
（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）b c a >> （D ）b a c >>
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．．．．．．．．．。

2．本卷共12题，共110分。

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （ 9 ）已知i 是虚数单位，则(2i)(13i)+-= ．
（10）若直线l 过点(1,2)-且与直线350x y -+=垂直，则直线l 的方程是 ． （11）当10<x a <
时，若函数(1)y x ax =-的最大值为1
12
，则a = ． （12）如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图均
为边长为1的正方形，则该几何体外接球的表面积为 ．
（13）如图，已知圆内接四边形ABCD ,边AD 延长线交BC 延长线于点P ，连结AC ，BD ，若6AB AC ==，9PD =则AD = ．
（14）已知等腰ABC ∆，点D 为腰AC 上一点，满足2BA BC BD +=，且||3BD =，则ABC ∆面积的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）
在钝角．．ABC △中，内角A
B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知7a =，3b =．11
cos 14
C =
， （Ⅰ）求c 和角A 的大小；
（Ⅱ）求sin(2)6C π
-的值．
（16）（本小题满分13分）
某工厂要安排生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，这些产品要在,,,A B C D 四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，每件产品在各设备上需要加工的时间，及各设备限制最长使用时间如下表： 设备 产品Ⅰ每件需要加工时间 产品Ⅱ每件需要加工时间
设备最长使用时间
A 2小时 2小时 12小时
B 1小时 2小时 8小时
C 4小时 0小时 16小时 D
0小时
4小时
12小时
设计划每天生产产品Ⅰ的数量为x （件），产品Ⅱ的数量为y （件），
（Ⅰ）用x ，y 列出满足设备限制使用要求的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）已知产品Ⅰ每件利润2（万元）产品Ⅱ每件利润3（万元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品Ⅰ，产品Ⅱ各生产多少会使利润最大，并求出最大利润.
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PBC 是直角三角形，90PCB ∠=,点E 是PC 的中点，且平面PBC ⊥平面ABCD .
(Ⅰ)证明：//AP 平面BED ； (Ⅱ)证明：平面APC ⊥平面BED ； （Ⅲ）若2BC PC ==，60ABC ∠=， 求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值．
（18）（本小题满分13分）
设椭圆:C 22
221(0)x y a b a b +=>>，过点(2,1)Q ，右焦点(2,0)F ,
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-（0k >）分别交x 轴，y 轴于,C D 两点，且与椭圆C 交于,M N 两点，若CN MD =,求k 值,并求出弦长||MN .
（19）（本小题满分14分）
已知数列{}n a 是等差数列，公差0d >，12a =，其前n 项为n S （n *∈N ）．且145,,2a a S +成等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n S ；
（Ⅱ）若4n n a b =，数列{}2n n b b +的前n 项和为n T ，证明：对n *∈N ，4
33
n T <≤．
（20）（本小题满分14分）
已知函数21
()ln 2
f x a x bx x =++，（,a b ∈R ）
（Ⅰ）若函数()f x 在121,2x x ==处取得极值，求,a b 的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；
（Ⅱ）若函数()f x 在（1,(1)f ）处的切线的斜率为1，存在[1,]x e ∈，使得
21
())2
f x x a x x -+≤(+2)(-成立，求实数a 的取值范围；
(Ⅲ) 若2
()()(1)2
b h x x f x x +=+-，求()h x 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值.
2016红桥区高三二模
数 学（文）参考答案
一、选择题：每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C
B
A
B
D
C
A
B
二、填空题：每小题5分，共30分． 题号 9
10 11 12 13 14
答案
55i -
3++1=0x y
112
3π 3
6
三、解答题：共6小题，共80分． （15）（本小题满分13分）
在钝角．．ABC △中，内角A
B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知7a =，
3b =．11cos 14
C =
， （Ⅰ）求c 和角A 的大小；
（Ⅱ）求sin(2)6
C π
-的值．
（Ⅰ）因为7a =，3b =．11
cos 14
C =
，所以253sin 1cos 14C C =-=
由余弦定理知：22211
2cos 4992372514
c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，故5c =.
由正弦定理知：
sin sin a c
A C
=
，53
7sin 314sin 52
a C A c ⨯
===， 因为钝角．．
ABC △，a c b >>，所以A 为钝角，故120A =︒. （Ⅱ）sin(2)sin 2cos cos2sin 666
C C C πππ
-=-
2
2
5311311171
2(21)1414214298
=⨯⨯⨯-⨯-=
（16）（本小题满分13分）
某工厂要安排生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，这些产品要在,,,A B C D 四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，每件产品在各设备上需要加工的时间，及各设备限制最长使用时间如下表：
设备 产品Ⅰ每件需要加工时间 产品Ⅱ每件需要加工时间 设备最长使用时间
A 2小时 2小时 12小时
B 1小时 2小时 8小时 C
4小时
0小时
16小时
D 0小时 4小时 12小时
设计划每天生产产品Ⅰ的数量为x （件），产品Ⅱ的数量为y （件），
（Ⅰ）用x ，y 列出满足设备限制使用要求的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）已知产品Ⅰ每件利润2（万元）产品Ⅱ每件利润3（万元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品Ⅰ，产品Ⅱ各生产多少会使利润最大，并求出最大利润. 解：（Ⅰ）产品Ⅰ的数量为x ，产品Ⅱ的数量为y ，
x ，y 所满足的数学关系式为：221228416412x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤0≤≤0≤≤，即62843
x y x y x y +⎧⎪+⎪
⎨⎪⎪⎩≤≤0≤≤0≤≤
画出不等式组6
2843
x y x y x y +⎧⎪+⎪
⎨⎪⎪⎩≤≤0≤≤0≤≤所表示的平面区域，即可行域（图中阴影部分）
（Ⅱ）设最大利润为z （万元），则目标函数23z x y =+，
将23z x y =+变形233z y x =-+，这是斜率为23-，随z 变化的一组平行直线，3
z
是直线在
y
轴上的截距，当
3
z
取得最大值时，z 的值最大，又因为x ，y 所满足的约束条件，所以由图可知，当直线233z y x =-+经过可行域上的点M 时，截距3z
最大，联立方程组：
28
416x y x +=⎧⎨
=⎩
得点M 坐标为(4,2)，此时243214z =⨯+⨯=. 所以，每天安排生产4件产品Ⅰ，2件产品Ⅱ，会使利润最大为14（万元） （17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，侧面PBC 是直角三角形，90PCB ∠=,点E 是PC 的中点，且平面PBC ⊥平面ABCD .
(Ⅰ)证明：//AP 平面BED ；
(Ⅱ)证明：平面APC ⊥平面BED ；
（Ⅲ）若2BC PC ==，60ABC ∠=，求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值． (Ⅰ)设AC
BD O =，ABCD 是平行四边形，故O 为BD
中点。

连结OE ， 因为点E 是PC 的中点， 所以//AP OE
OE ⊂平面BED ,AP ∉平面BED
所以//AP 平面BED
(Ⅱ) 因为平面PBC ⊥平面ABCD ,90PCB ∠=
故PC ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD 所以PC BD ⊥,
而底面ABCD 是菱形，故AC BD ⊥ 又AC
PC C =
所以BD ⊥平面APC
BD ⊂平面BED ，
所以平面APC ⊥平面BED .
（Ⅲ）由(Ⅰ)因为//BC AD ，故PAD ∠为异面直线AP 与BC 所成的角， 由已知2BC PC ==，60ABC ∠=，底面ABCD 是菱形 故2AB BC AC PC ====，
所以在直角三角形DPC 中，2PC DC ==，故22DP =， 取BC 中点H ，则AH BC ⊥，AH ⊥平面PBC ，
在直角三角形AHP 中，5PH =，3AH =，故22AP =, 所以，22AP =，在三角形APD 中，
122cos 4
AD
PDF AP ∠==
． 所以异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为2
4
． （18）（本小题满分13分）
设椭圆:C 22
221(0)x y a b a b +=>>，过点(2,1)Q ，右焦点(2,0)F ,
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-（0k >）分别交x 轴，y 轴于,C D 两点，且与椭圆C 交于,M N 两点，若CN MD =,求k 值,并计算弦长||MN .
解：（Ⅰ）因为过点(2,1)Q ，故有
22
21
1a b +=，由已知2c = 联立22222
112
a b
a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得：22
4,2a b ==，所以椭圆C 的方程为22142x y +=． （Ⅱ）直线:(1)l y k x =-与x 轴交点(1,0)C ， y 轴交点(0,)D k - 联立2224(1)
x y y k x ⎧+=⎨=-⎩消元得：2222(12)4240k x k x k +-+-=①
设1122(,),(,)M x y N x y ，则2
122412k x x k +=+
22(1,)CN x y =-，11(,)MD x k y =---，
由CN MD =得：2
122
41
12k x x k +==+，解得：22k =±．由0k >得22k =代入① 得：22230x x --=
121x x +=，123
2x x =-，
221212342||1()41622
MN k x x x x =++-=
+=
（19）（本小题满分14分） 已知数列{}n a 是等差数列，公差0d >，12a =，其前n 项为n S （n *∈N ）．且145,,2a a S +成等比数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n S ；
（Ⅱ）若4n n a b =，数列{}2n n b b +的前n 项和为n T ，证明：对n *∈N ，433
n T <≤． （Ⅰ）由12a =和145,,2a a S +成等比数列，得
(2＋3d )2＝2(12＋10d )，
解得d ＝2或109
d =-.由0d > 所以d ＝2，
所以2(1)22n a n n =+-⨯=即数列{}n a 的通项公式为2n a n =
2n S n n =+
（Ⅱ）由4n n a b =，得2n b n =
， 因为，2
4112()(2)2
n n b b n n n n +==-++ 1111111111112(1)2(1)332435112212
n T n n n n n n =-+-+-+-+-=+--<-++++ 又140(2)
n n T T n n --=>+， 所以n T 递增，对n *∈N ， 143
n T T =≥ 故，对n *∈N 有433
n T <≤
（20）（本小题满分14分）
已知函数21()ln 2
f x a x bx x =++，（,a b ∈R ） （Ⅰ）若函数()f x 在121,2x x ==处取得极值，求,a b 的值，并说明分别取得的是极大值还
是极小值；
（Ⅱ）若函数()f x 在（1,(1)f ）处的切线的斜率为1，存在[1,]x e ∈，使得
21())2
f x x a x x -+≤(+2)(-成立，求实数a 的取值范围； (Ⅲ) 若2
()()(1)2b h x x f x x +=+-，求()h x 在[1,e ]上的最小值及相应的x 值.
解：（Ⅰ）因为()1a f x bx x '=++，(1)10f a b '=++=①，1(2)2102
f a b '=++=②。

由①②解得：23a =-，13
b =-. 此时221()ln 36f x x x x =--+，(1)(2)()3x x f x x
---'=， x （0，1） 1 （1,2）
2 （2，+∞） ()f x ' - 0 +
0 - ()f x 减 极小 增
极大 减 所以，在1x =取得极小值，在2x =取得极大值
（Ⅱ）若函数()f x 在（1,(1)f ）处的切线的斜率为1，则(1)11f a b '=++=，则a b =- 故2()ln 2
a f x a x x x =-+ 若221()ln )22
a f x x a x x a x x -=-+≤(+2)(-成立，则2(ln )a x x x x --≥2成立， ∵],1[e x ∈, ∴ln 1x x ≤≤且等号不能同时取，所以x x <ln ，即0ln >-x x ．
因而22ln x x a x x
--≥(],1[e x ∈)． 令x x x x x g ln 2)(2--=（],1[e x ∈），又2
)ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='， 当],1[e x ∈时，10,ln 1x x -≥≤，0ln 22>-+x x ，
从而()0g x '≥（仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数．
故)(x g 的最大值为12)(2--=e e e e g ，所以实数a 的取值范围是),1
2[2+∞--e e e ． (Ⅲ) 22()()(1)()ln 2
b h x x f x x h x a x x +=+-⇒=+ 22()(0)x a h x x x +'=>，当],1[e x ∈，]2,2[222e a a a x ++∈+.
若2-≥a ，()h x '在],1[e 上非负（仅当2-=a ，1x =时，()0h x '=），故函数()h x 在
],1[e 上是增函数，此时min [()]h x =1)1(=f ．
若222-<<-a e ，
当2
a x -=时，()0h x '=； 当21a x -<
≤时，()0h x '<，此时()h x 是减函数； 当e x a ≤<-2
时，()0h x '>，此时()h x 是增函数． 故min [()]h x =)2(a f -2
)2ln(2a a a --=．
若22e a -≤，()h x '在],1[e 上非正（仅当2e 2-=a ，x e =时，0)(='x f ），故函数()
h x 在],1[e 上是减函数，此时min [()]()h x h e ==2e a +．
综上可知，当2-≥a 时，()h x 的最小值为1，相应的x 值为1；
当222-<<-a e 时,()h x 的最小值为
2
)2ln(2a a a --,相应的x 值为2a -； 当22e a -≤时，()h x 的最小值为2e a +，相应的x 值为e ．。