高中数学课件-点到直线的距离公式
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点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
Q
. P(x0,y0)
o
x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
y
P
l
Q
P（x0，y0）
l:Ax+By+C=0 x O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 PQ .
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
AB边上的高h就是点C到AB的距离
AB边所在直线的方程为 y 3 x 1
即x y 4 0
13 31
点C（-1,0）到x y 4 0的距离
h=|-1+0-4| 5
12 12
2
因此，S
ABC=
1 2
2
2
5 5 2
例7： 判断直线2x-7y-8=0与6x-21y-1=0是否平行？
y
8x+y-18=0
(提示：Ｍ(
9 4
,0),N(0,
3
2 ),
MN
3
13 4
x-4y+6=0 N
o
P
直线MN方程：4x+6y-9=0,
M
P(2,2)到直线MN的距离d=
2
11 13
,
x ∴Ｓ四边形OMPN ＝ Ｓ△OMN+Ｓ△PMN
＝ 15 . 4
小结：
（1）点到直线距离公式： d Ax0 By0 C ， A2 B2
A
B
y
l R
Q
O
P d
x
S
d Ax0 By0 C A2 B2
注： 在使用该公式前，须将 ❖ A=0或B=0，此公式也成立， 直线方程化为一般式． 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
例5:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
2 1 1 2 10
d
2 5
22 12
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
d 2 (1) 5
3
3
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样？
例6已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ΔABC的面积。
yA hB
CO x
解：设AB边上的高为h，则
SΔABC=1/2·|AB|·h
规律总结：上面我们用两种思路作了解答， 不难发现解法2比解法1简捷的多，这足以显示 数形结合的威力，在学习解析几何过程中，一 定要有意识的往形上联系，以促进数形结合能 力的提高和思维能力的发展．
若A(1,4)，B(－3,1)，过点B的直线l与点A的距 离为d.
(1)d的取值范围为________；
[答案] (1)C (2)2x－y＋1＝0
[分析] (1)求两平行线间的距离的依据是什么？
(2)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线应如何 表示？
•距离公式的应用
两互相平行的直线分别过 A(6,2)、B(－3，－1)， 并且各自绕着 A、B 旋转，如果两条平行线间的距离为 d，
(1)求 d 的变化范围； (2)求当 d 取得最大值时的两条直线方程．
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB 0,这时l与x轴, y轴都相交, l
y
过p作x轴的平行线,交l与点R x1, y0 ; R
P
作yAx1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0
d Q
x1
By0 C A
反馈练习：
1.点（3，m）到直线l：x 3y 4 0的距离等于1，
则m等于
（D）
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3或 3
3
3
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点，
则OP的最小值是
（B ）
A. 10
B.2 2
C. 6
D.2
3.若点（4，a）到直线4x 3y 1的距离不大于3，
By0 A2 B2
C2
Ax0 By0 C1 PQ
C2 C1 A2 B2
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
(1)两直线 3x＋4y－2＝0 与 6x＋8y－5＝0 的距离等于
()
A．3
B．7
C．110
D．12
(2)已知直线 l 与两直线 l1：2x－y＋3＝0 和 l2：2x－y－1＝ 0 平行且距离相等，则 l 的方程为________．
∴0≤d≤5. (2)当 d＝5 时，kl＝－k1AB， kAB＝1－4－－13＝34， ∴l 方程 y－1＝－43(x＋3)，即：4x＋3y＋9＝0.
(3)设 l：y－1＝k(x＋3)，即：kx－y＋3k＋1＝0， 由 A(1,4)到 l 距离为 4 知 |k－41＋＋3kk2＋1|＝4，∴k＝－274， 故所求直线方程为：7x＋24y＋45＝0.
y
若平行求出两直线间的距离。
l1:2x-7y-8=0 l2: 6x-21y-1=0
两平行线间的 距离处处相等
A(4,0)
O
x
在l1上任取一点，例如A(4,0)
A到l2的距离等于l1与l2的距离
6 4 21 0 1
d
23
23 53
62 212
3 53 159
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
则a的取值范围
A.0,10
B.0,10
D. ,0 10,
C.13 ,133
（A）
4.已知两直线3x 2y 3 0与6x my 1 0互相
平行，则它们之间的距离等于
（D）
A.4
B. 2 3
C.5 3
D.7 13
13
26
26
5、求直线x-4y+6=0和8x+y-18=0与两坐 标轴围成的四边形的面积．
[解析] 解法 1：(1)设两条直线方程分别为 y＝kx＋b1 和 y＝kx＋b2， 则2－＝16＝k＋－b31k，＋b2， 即bb12＝＝23－k－61k，， 而 d＝|b21－＋bk12|＝|91k－＋3k2|，两边平方整理得 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0， 由于 k∈R， 所以 Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0， 整理得 4d2(d2－90)≤0，∴0<d≤3 10.
,
y2
Ax0 C B
O
Sx
PR
x0 x1
Ax0 By0 C A
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
RS
PR2 PS 2
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离： d C2 C1 ， A2 B2
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
(2)因 d＝3 10时，k＝81－5940×2＝－3， 故两直线方程分别为 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0. 解法 2：(1)由图形可知，当两平行线均与线段 AB 垂直时， 距离 d＝|AB|＝3 10最大，当两直线都过 A、B 点时距离 d＝0 最小，但平行线不能重合． ∴0<d≤3 10. (2)两直线方程分别是：3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
y P l1 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
Q l2
O
x
任意两条平行直线都可以写 成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点Px0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q
则点P到直线l2的距离为: PQ Ax0 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
(2)当d取最大值时，直线l的方程为________．
(3)当d＝4时，直线l的方程为________．
[答案] (1)[0,5] (2)4x＋3y＋9＝0 (3)24x＋ 7y＋65＝0
[解析] (1)用数形结合法容易得到，当直线 l⊥AB 时，d 取最大值，当 l 经过 A、B 时，d 取最小值，
●误区警示 易错点 求直线方程时，忽略斜率不存在的情况
已知直线 l 过点 A(1,2)，且原点到直线 l 的距离 为 1，求直线 l 的方程．
[错解] 由题意设 l 的方程为 y－2＝k(x－1)，即 kx－y－k ＋2＝0.因为原点到直线 l 的距离为 1，所以|－kk2＋＋21|＝1，解得 k ＝34.所以所求直线 l 的方程为 y－2＝34(x－1)，即 3x－4y＋5＝0.
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
Q
. P(x0,y0)
o
x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
y
P
l
Q
P（x0，y0）
l:Ax+By+C=0 x O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标，
然后用两点间的距离公式求得 PQ .
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
AB边上的高h就是点C到AB的距离
AB边所在直线的方程为 y 3 x 1
即x y 4 0
13 31
点C（-1,0）到x y 4 0的距离
h=|-1+0-4| 5
12 12
2
因此，S
ABC=
1 2
2
2
5 5 2
例7： 判断直线2x-7y-8=0与6x-21y-1=0是否平行？
y
8x+y-18=0
(提示：Ｍ(
9 4
,0),N(0,
3
2 ),
MN
3
13 4
x-4y+6=0 N
o
P
直线MN方程：4x+6y-9=0,
M
P(2,2)到直线MN的距离d=
2
11 13
,
x ∴Ｓ四边形OMPN ＝ Ｓ△OMN+Ｓ△PMN
＝ 15 . 4
小结：
（1）点到直线距离公式： d Ax0 By0 C ， A2 B2
A
B
y
l R
Q
O
P d
x
S
d Ax0 By0 C A2 B2
注： 在使用该公式前，须将 ❖ A=0或B=0，此公式也成立， 直线方程化为一般式． 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
例5:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
解： ①根据点到直线的距离公式，得
2 1 1 2 10
d
2 5
22 12
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
d 2 (1) 5
3
3
x l:3x=2
用公式验证，结果怎样？
例6已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ΔABC的面积。
yA hB
CO x
解：设AB边上的高为h，则
SΔABC=1/2·|AB|·h
规律总结：上面我们用两种思路作了解答， 不难发现解法2比解法1简捷的多，这足以显示 数形结合的威力，在学习解析几何过程中，一 定要有意识的往形上联系，以促进数形结合能 力的提高和思维能力的发展．
若A(1,4)，B(－3,1)，过点B的直线l与点A的距 离为d.
(1)d的取值范围为________；
[答案] (1)C (2)2x－y＋1＝0
[分析] (1)求两平行线间的距离的依据是什么？
(2)与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线应如何 表示？
•距离公式的应用
两互相平行的直线分别过 A(6,2)、B(－3，－1)， 并且各自绕着 A、B 旋转，如果两条平行线间的距离为 d，
(1)求 d 的变化范围； (2)求当 d 取得最大值时的两条直线方程．
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB 0,这时l与x轴, y轴都相交, l
y
过p作x轴的平行线,交l与点R x1, y0 ; R
P
作yAx1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0
d Q
x1
By0 C A
反馈练习：
1.点（3，m）到直线l：x 3y 4 0的距离等于1，
则m等于
（D）
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3或 3
3
3
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点，
则OP的最小值是
（B ）
A. 10
B.2 2
C. 6
D.2
3.若点（4，a）到直线4x 3y 1的距离不大于3，
By0 A2 B2
C2
Ax0 By0 C1 PQ
C2 C1 A2 B2
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
(1)两直线 3x＋4y－2＝0 与 6x＋8y－5＝0 的距离等于
()
A．3
B．7
C．110
D．12
(2)已知直线 l 与两直线 l1：2x－y＋3＝0 和 l2：2x－y－1＝ 0 平行且距离相等，则 l 的方程为________．
∴0≤d≤5. (2)当 d＝5 时，kl＝－k1AB， kAB＝1－4－－13＝34， ∴l 方程 y－1＝－43(x＋3)，即：4x＋3y＋9＝0.
(3)设 l：y－1＝k(x＋3)，即：kx－y＋3k＋1＝0， 由 A(1,4)到 l 距离为 4 知 |k－41＋＋3kk2＋1|＝4，∴k＝－274， 故所求直线方程为：7x＋24y＋45＝0.
y
若平行求出两直线间的距离。
l1:2x-7y-8=0 l2: 6x-21y-1=0
两平行线间的 距离处处相等
A(4,0)
O
x
在l1上任取一点，例如A(4,0)
A到l2的距离等于l1与l2的距离
6 4 21 0 1
d
23
23 53
62 212
3 53 159
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
则a的取值范围
A.0,10
B.0,10
D. ,0 10,
C.13 ,133
（A）
4.已知两直线3x 2y 3 0与6x my 1 0互相
平行，则它们之间的距离等于
（D）
A.4
B. 2 3
C.5 3
D.7 13
13
26
26
5、求直线x-4y+6=0和8x+y-18=0与两坐 标轴围成的四边形的面积．
[解析] 解法 1：(1)设两条直线方程分别为 y＝kx＋b1 和 y＝kx＋b2， 则2－＝16＝k＋－b31k，＋b2， 即bb12＝＝23－k－61k，， 而 d＝|b21－＋bk12|＝|91k－＋3k2|，两边平方整理得 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0， 由于 k∈R， 所以 Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0， 整理得 4d2(d2－90)≤0，∴0<d≤3 10.
,
y2
Ax0 C B
O
Sx
PR
x0 x1
Ax0 By0 C A
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
RS
PR2 PS 2
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离： d C2 C1 ， A2 B2
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
(2)因 d＝3 10时，k＝81－5940×2＝－3， 故两直线方程分别为 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0. 解法 2：(1)由图形可知，当两平行线均与线段 AB 垂直时， 距离 d＝|AB|＝3 10最大，当两直线都过 A、B 点时距离 d＝0 最小，但平行线不能重合． ∴0<d≤3 10. (2)两直线方程分别是：3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
y P l1 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
Q l2
O
x
任意两条平行直线都可以写 成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点Px0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q
则点P到直线l2的距离为: PQ Ax0 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
(2)当d取最大值时，直线l的方程为________．
(3)当d＝4时，直线l的方程为________．
[答案] (1)[0,5] (2)4x＋3y＋9＝0 (3)24x＋ 7y＋65＝0
[解析] (1)用数形结合法容易得到，当直线 l⊥AB 时，d 取最大值，当 l 经过 A、B 时，d 取最小值，
●误区警示 易错点 求直线方程时，忽略斜率不存在的情况
已知直线 l 过点 A(1,2)，且原点到直线 l 的距离 为 1，求直线 l 的方程．
[错解] 由题意设 l 的方程为 y－2＝k(x－1)，即 kx－y－k ＋2＝0.因为原点到直线 l 的距离为 1，所以|－kk2＋＋21|＝1，解得 k ＝34.所以所求直线 l 的方程为 y－2＝34(x－1)，即 3x－4y＋5＝0.