数学_2007年江苏省某校高考数学模拟试卷(含答案)

2007年江苏省某校高考数学模拟试卷
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 已知集合U ={1, 2, 3, 4, 5}，A ={1, 2, 3}，B ={2, 5}，则A ∩(∁U B)=( )
A {2}
B {2, 3}
C {3}
D {1, 3}
2. 双曲线x 2b 2−y 2
a 2=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )
A 2
B √3
C √2
D 32
3. 函数y =ln(x +√x 2+1)，(x ∈R)的反函数为（ ）
A y =12(e x −e −x )，x ∈R
B y =12(e x −e −x )，x ∈(0, +∞)
C y =12(e x +e −x )，x ∈R
D y =12(e x +e −x )，x ∈(0, +∞)
4. 在坐标平面上，不等式组{y ≥2|x|−1y ≤x +1
所表示的平面区域的面积为（ ） A 2√2 B 83 C 2√23 D 2 5. 已知直线m 、n 与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m // α，n // α，则m // n ；
②若m // α，n ⊥α，则n ⊥m ；
③若m ⊥α，m // β，则α⊥β．
其中真命题的个数是（ ）
A 0
B 1
C 2
D 3
6. 已知a n =√79n−√80∈N +)，则在数列{a n }的前50项中最小项和最大项分别是( )
A a 1，a 50
B a 1，a 8
C a 8，a 9
D a 9，a 50
7. 已知点P(m, 3)是抛物线y =x 2+4x +n 上距点A(−2, 0)最近一点，则m +n =( )
A 1
B 3
C 5
D 7
8. 把正奇数数列{2n −1}的各项从小到大依次排成如下三角形状数表记M(s, t)表示该表中第s 行的第t 个数，则表中的奇数2007对应于．（ ）
A M(45, 14)
B M(45, 24)
C M(46, 14)
D M(46, 15) 9. 方程2sin √3−sin22cos √3−cos2=1所表示的曲线是（ ）
A 焦点在x 轴上的椭圆
B 焦点在x 轴上的双曲线
C 焦点在y 轴上的椭圆
D 焦点在y 轴上的双曲线
10. 4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得21分，答错得−21分；选乙题答对得7分，答错得−7分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（ ）
A 48
B 44
C 36
D 24
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
11. F是椭圆x2
9+y2
25
=1的焦点，椭圆上的点M i与M7−i关于x轴对称，则|M1F|+
|M2F|+...+|M6F|=________．
12. 若不等式|x−4|+|3−x|<a的解集是空集，则实数a的取值范围为________．
13. 已知(xcosθ+1)5的展开式中x2的系数与(x+5
4
)4的展开式中的x3的系数相等，则
cosθ=________．
14. 某工厂生产一种产品，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检查这批产品的质量，决
定采用分层抽样的方法抽样180件．若甲、乙、丙三条生产线抽取的件数组成一个等差数列，则乙生产线抽取了________件产品．
15. 正四棱锥的一个对角面的面积是一个侧面面积的√6
2
倍，则侧面与底面所成锐二面角等
于________．
16. 如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD，AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD=________．
三、解答题（共5小题，满分70分）
17. 已知函数f(x)=1
3x3−x2−3x+4
3
，直线l:9x+2y+c=0．
（1）求证：直线l与函数y=f(x)的图象不相切；
（2）若当x∈[−2, 2]时，函数f(x)的图象在直线l的下方，求c的范围．
18. 如图(1)，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，E、F分别为AC、AB的中点，将△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF上的射影O恰为EC的中点，得到图(2)．
（1）求证：EF⊥A′C；
（2）求三棱锥F−A′BC的体积．
19. |AB|=|x A−x B|表示数轴上A，B两点的距离，它也可以看作满足一定条件的一种运算．这样，可以将满足下列三个条件的一个x与y间的运算p(x, y)叫做x，y之间的距离：条件一，非负性p(x, y)≥0，等号成立当且仅当x=y；条件二，交换律p(x, y)=p(y, x)；条件三，三角不等式p(x, z)≤p(x, y)+p(y, z)．
试确定运算s(x,y)=|x−y|
1+|x−y|
是否为一个距离？是，证明；不是，举出反例．
20. 已知A(a, a 2)为抛物线y =x 2上任意一点，直线l 为过点A 的切线，设直线l 交y 轴于点B ，P ∈l ，且AP →=2PB →．当A 点运动时，求点P 的轨迹方程；求点C(0,112)到动直线l 的最短距离，并求此时l 的方程．
21. 已知函数f(x)=ax +b ，当x ∈[a 1, b 1]时，f(x)的值域为[a 2, b 2]，当x ∈[a 2, b 2]时，f(x)的值域为[a 3, b 3]，…当x ∈[a n−1, b n−1]时，f(x)的值域为[a n , b n ]，其中a ，b 为常数，a 1=0，b 1=1．
（1）a =1时，求数列{a n }与{b n }的通项；
（2）设a >0且a ≠1，若数列{b n }是公比不为1的等比数列，求b 的值；
（3）若a >0，设{a n }与{b n }的前n 项和分别记为S n 与T n ，求(T 1+T 1+...+T n )−(S 1+S 2+...+S n )的值．
2007年江苏省某校高考数学模拟试卷答案
1. D
2. C
3. A
4. B
5. C
6. C
7. C
8. A
9. C
10. B
11. 30
12. (−∞, 1]
13. ±√22
14. 60
15. π3 16. 30∘
17. 证明：（1）f′(x)=x 2−2x −3=(x −1)2−4≥−4
故函数y =f(x)的图象上任意一点的切线的斜率均不小于−4
而直线l:9x +2y +c =0的斜率为−92<−4 所以直线l 与y =f(x)的图象不相切．
（2）当x ∈[−2, 2]时，函数y =f(x)的图象在直线l 的下方
即13x 3−2x 2−3x −(−92x −c 2)<0对一切x ∈[−2, 2]都成立c <−23x 3+2x 2−3x −83对一切x ∈[−2, 2]都成立
令g(x)=−23x 3+2x 2−3x −83
g′(x)=−2x 2+4x −3=−2(x −1)2−1<0
g(x)在∈[−2, 2]上单调递减故当x ∈[−2, 2]时，[g(x)]min =g(2)=−6
因此c <−6，即c 的范围是(−∞, −6)
18. 解：（1）证明：在△ABC 中，EF 是等腰直角△ABC 的中位线，∴ EF ⊥AC
在四棱锥A ′−BCEF 中，EF ⊥A ′E ，EF ⊥EC ，
又EC ∩A‘E =E∴ EF ⊥平面A ′EC ，
又A ′C ⊂平面A ′EC ，∴ EF ⊥A ′C
（2）在直角梯形EFBC 中，EC =2，BC =4，
∴ S △FBC =12BC ⋅EC =4 又∵ A ′O 垂直平分EC ，∴ A′O =√A′E 2−EO 2=√3
∴ V =13S △FBC ⋅A′O =13×4×√3=4√33
19. 解：①s(x,y)=
|x−y|1+|x−y|≥0等号成立当且仅当|x −y|=0，即x =y ，第一条满足 ②s(x, y)=|x−y|
1+|x−y|
=|y−x|1+|y−x|=s(y, x)，第二条也满足 ③s(x, z)=|x−z|1+|x−z|
∵ 函数f(x)=x 1+x =1−11+x （或11x +1
）在(0, +∞)上单调增，且|x −z|≤|x −y|+|y −z|
∴ s(x, z)≤|x−y|+|y−z|1+|x−y|+|y−z|=|x−y|1+|x−y|+|y−z|+|y−z|1+|x−y|+|y−z|
≤|x−y|1+|x−y|+|y−z|1+|y−z|=s(x, y)+s(y, z)，第三条也满足．
总之，s(x, y)是距离．
20. 解：(1)设P(x, y)因为y A ′=2x|x=a =2a ，所以过点A 的切线方程为y −a 2=2a(x −a)． 令x =0，则y =−a 2，B 点坐标为(0, −a 2)，
又AP →=2PB →，AP →=(x −a, y −a 2)，PB →=(−x, −a 2−y)
∴ {x −a =−2x y −a 2=2(−a 2−y)化简得，{x =a
3y =−a 23消去a ，得y =−3x 2∴ 点P 的轨迹方程为y =−3x 2(2)设C 到l 的距离为d ，则d =
112+a 2√4a 2+1=14[√4a 2+1−23√4a 2+1] 设√4a 2+1=t(t ≥1)，则d =14(t −23⋅1
t )，d 为t 的增函数，
∴ d min =14(1−23)=112
故C到l的最短距离为1
12
，此时l的方程为y=0．
21. 解：（1）∵ a=1，∴ 函数f(x)=ax+b在R上是增函数，
∴ a n=a⋅a n−1+b=a n−1+b，b n=a⋅b n−1+b=b n−1+b，(n≥2)，则数列{a n}与{b n}都是公差为b的等差数列，
∵ a1=0，b1=1，∴ a n=(n−1)b，b n=1+(n−1)b．
（2）∵ a>0，b n=a⋅b n−1+b，
∴ b n
b n−1=a+b
b n−1
；
由{b n}是等比数列，知b
b n−1
应为常数．
{b n}是公比不为1的等比数列，则b n−1不是常数，
必有b=0．
（3）∵ a>0，a n=a⋅a n−1+b，b n=a⋅b n−1+b，
两式相减，得b n−a n=a(b n−1−a n−1)，
∴ {b n−a n}成等比数列，公比为a，b1−a1=1，
∴ b n−a n=a n−1．
T n−S n=(b1+b2+...+b n)−(a1+a2+...+a n)=(b1−a1)+(b2−a2)+...+(b n−a n)
={n(a=1)
1−a n
1−a
(a>0,a≠1)
∴ (T1+T1+...+T n)−(S1+S2+...+S n)=(T1−S1)+(T2−S2)+...+(T n−S n)=
{n(n+1)
2
(a=1)
a n+1−(n+1)a+n
(1−a)2
(a≠1)。