复变函数总结完整版

复变函数总结完整版
第一章 复数
1
2
i =-1
1
-=i 欧拉公式
z=x+iy
实部Re z 虚部
Im z
2运算
①
2
121Re Re z z z z =⇔≡
2
1Im Im z z =
②()()()()()
2121212121
Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z
++±=±+±=±
③()()()()
122121212
1122
1
2
1221
1
2
1y x y x i y y x x y y y ix y
ix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=
⋅
④()()()()22
222
1212
2222
121222222112
2212
1y x y x x y i
y x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z z
z
+-+++=
-+-+=
=
⑤iy x z -= 共轭复数
()()2
2y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧
运算律 P1页
3代数，几何表示
iy
x z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应
辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹
角θ，记作θ=Arg z=π
θk 20
+ k=±1±2±
3…
把位于-π＜0
θ≤π的0
θ叫做Arg z 辐角主值 记
作0
θ=0
arg z
4如何寻找arg z
例：z=1-i
4
π
-
z=i 2π z=1+i 4π z=-1 π
5
极坐标
： θ
cos r x =， θ
sin r y =
()θθsin cos i r iy x z +=+=
利用欧拉公式 θ
θθsin cos i e i += 可得到
θ
i re z =
()
21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z
6 高次幂及n 次方
()
θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
凡是满足方程z
n
=ω
的ω值称为z 的n 次方根，记作 n
z
=
ω ()n
k i re z ωπθ==+2
即
n
r ω
=
n
r
1=ω
ϕπθn k =+2
n
k π
θϕ2+=
第二章解析函数
1极限 2函数极限
① 复变函数
对于任一D Z ∈都有E ∈W 与其对应()z f =ω 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 ()z z f = ②()A =→z f z z 0
lim
z z → 称()z f 当0
z z →时以A 为
极限 ☆
当()0
z f =A 时，连续
例1 证明()z z f =在每一点都连续 证：()()00
→-=-=-z z z z z f z f 0
z z →
所以()z z f =在每一点都连续
3导数
()()()()
000lim
z z z z z z df z z z f z f z f =→=
--='
例2
()C
z f = 时有 ()0'
=C
证：对z ∀有()()0lim lim 0
=∆-=∆-∆
+→∆→∆z
C
C z z f z z f z z 所以()0'=C
例3证明()z z f =不可导 解：令0
z z -=ω
()()iy
x iy
x z z z z z z z z z z z f z f +-=
=--=--=--ωω000000
当0→ω时，不存在，所以不可导。

定理：()()()y x iv y x u z f ,,+=在iy x z +=处可导⇔u ，v 在()
y x ,处可微，且满足C-R 条件y
v
x u ∂∂=∂∂ x
v
y u ∂∂-=∂∂
且()x
v i x u z f ∂∂+∂∂=' 例4证明()z z f =不可导 解：()iy x z z f -== 其中()x y x u =,
()y
y x v -=, u,v 关于
x,y 可微
11-=∂∂≠=∂∂y
v
x u 不满足C-R 条件 所以在每
一点都不可导 例5
()z
z f Re =
解：()x z z f ==Re
()x
y x u =,
()0
,=y x v
01=∂∂≠=∂∂y
v x u 不满足C-R 条件 所以在每
一点都不可导 例6： ()2
z
z f =
解：()2
22
y x z
z f +== 其中()2
2
,y x
y x u +=
()0
,=y x v
根据C-R 条件可得02,02==y x 0,0==⇒y x 所以该函数在0=z 处可导
4解析
若()z f 在0
z 的一个邻域内都可导，此时称()z f 在0
z
处解析。

用C-R 条件必须明确u,v 四则运算()g f g f '±'='± ()()()()()z g g f z g f '⋅'='
()f k kf '='
()1
-='n n
nz z
()g f g f g f '
⋅+⋅'=
'⋅ ☆()z
z
e e ='
2g g f g f g f '⋅-⋅'=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
例：证明()z
e z
f = ()z
z
e e =' 解：
()y
ie y e e z f x x z sin cos +== 则()y
e
y x u x
cos ,=
()y
e y x v x sin ,=
y e y
v
y e x u x x cos cos =∂∂==∂∂
y e x
v
y e y u x x sin sin -=∂∂-=-=∂∂ 任一点iy x z +=处满足C-R
条件 所
以
z
e 处
处
解析
()z
x x e y ie y e x
v
i x u z f =+=∂∂+∂∂=
'sin cos
练习：求下列函数的导数
()z
z z f ⋅=2
解
:
()(
)
()(
)
3
2233223222
y y x i xy x iy xy y ix x iy x y x z z z f +++=+++=++=⋅=
()2
3,xy x y x u += ()3
2,y y x y x v += 所以
223y x x
u
+=∂∂
223y x y
v
+=∂∂
xy y
u
2=∂∂
xy x
v
2-=∂∂-
根据C-R 方程可得
222233y x y
v y x x u +=∂∂=+=∂∂
xy x
v
xy y u 22-=∂∂-==∂∂
,0==⇒y x
所以当0=z 时()z f 存在导数且导数为0，其它点不
存在导数。

初等函数
Ⅰ常数
Ⅱ指数函数 ()y i y e e x z sin cos +=
① 定义域 ②
2
121z z z z e e e +=⋅ ③
()z
z i z e i e e =+=+πππ2sin 2cos 2④()z
z
e e ='
Ⅲ对数函数 称满足ωe z =的ω叫做z 的对数函数，记
作z ln =ω
分类：类比n
z 的求法（经验） 目标：寻找ω ωϕarg =幅角主值 可用：ω
e z =
θ
i re z =
iv
u +=ω
过程：θ
ωθ
i iv u iv u i e r e e e e re z =⋅====+ iv
i u e e e r ==⇒θ,
πθk v r u 2,ln +==⇒ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k
所
以
()()ππθωk z i z rgz i r k i r iv u 2arg ln ln 2ln ++=A +=++=+=
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k
例：求()1-Ln ()
i Ln +1
()
i Ln 的值
()π=-1arg
()()()()
1221arg 1ln 1+=+-+-=-k i k i Ln ππ
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k
()4
1arg π
=
+i
()()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=++++=+πππk i k i i i i Ln 242ln 2121arg 1ln 1
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k
()2
arg π
=
i ()()⎪
⎭
⎫
⎝⎛++=++=πππk i k i i i i Ln 2212arg ln
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k
Ⅳ幂函数
对于任意复数α，当0≠z 时
Lnz
e z ααω==
例1：求i
i +1的值 解
：
()()()()
()()⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++++++=====+ππππk i k i i i iArg i i Lni i i
i e
e
e
e e i i
22
122
1ln 11ln 11
⋅
⋅⋅⋅⋅⋅±±=2,1,0k
例2：求()
()()()()⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-+===-+ππk i i i i i i
e
e e i i
24
2ln 2
131ln 31ln 331
Ⅴ三角函数
⎩⎨⎧-=+=-y
i y e y
i y e iy
iy sin cos sin cos
⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=
+=--i e e y e e y iy
iy iy
iy 2sin 2cos
定义：对于任意复数iy x z +=，由关系式可得z 的
余弦函数和正弦函数
2
cos iz
iz e e z -+=
i
e e z iz
iz 2sin --=
例：求()i +1sin
()
i +5cos
解：()()
()
[]i i i i e e i
i +-+-=+11211sin
()()()[
]i i i i e e i +-++=
+552
15cos
第三章复变函数的积分
1复积分
定理 3.1 设C 是复平面上的逐段光滑曲线
()()()
y x iv y x u z f ,,+=在C 上连续，则
()()()
y x iv y x u z f ,,+=在C 上可积，且有
()()()()()⎰⎰⎰++-=C
C
C
dx y x v dy y x u i dy y x v dx y x u dz z f ,,,,
注：①C 是线 ②方式跟一元一样 方法一：思路：复数→实化
把函数()iv u z f +=与微分idy dx dz +=相乘，可得 ()()()()()⎰⎰⎰++-=C
C
C
dx y x v dy y x u i dy y x v dx y x u dz z f ,,,,
方法二：参数方程法 ☆核心：把C 参数 C ：()t z βα≤≤t ()()()⎰⎰'=C
dt t z t z dz z f β
α
例： 求 ⎰C
dz z ①C ：0→i +1的直线段②101
−→−
C ；i C +−→−112
解：①C ：
()it
t t z +=
1
0≤≤t
()()()()⎰
⎰⎰=+-='
+-=1
010
111dt i i t dt it t it t dz z C
②()t
t z C
=:1
1
0≤≤t
()it t z C +=1:2
1
0≤≤t
()⎰⎰⎰⎰⎰+=⎪⎭
⎫
⎝⎛++=
-+=+=1
1
1212112
1
i i dt it tdt dz z dz z dz z C C C
★ 结果不一样
2柯西积分定理
例：()
⎰
⎩⎨
⎧=-C
n
i dz a z 0
21
π
1
1
≠=n n
C ：以a 为圆心，ρ为半径的圆，方向：逆时
针 解：C ：
θ
ρi e a z +=
iy
x z +=
π
θ20≤≤
()
()()
()()()()()11011121
1
201201120
20
≠=⎪⎩⎪⎨⎧=--==⋅==-⎰⎰⎰⎰
⎰
---n n i n d e i
n i d e i d ie e dz e dz a z i n i n n C
i n
i n
i n
πθπθπ
π
θθθθπθρθ
ρρρ
☆ 积分与路径无关：①单联通 ②处处解析
例：求()⎰++C
dz z z 1822
，其中C 是连接O 到点()a π2,0的
摆线：()
()
⎩
⎨
⎧-=-=θθθcos 1sin a y a x 解：已知，直线段L 与C 构成一条闭曲线。

因
()1
822++=z z z f 在全平面上解析，
则()
⎰+-
=++L
C dz z z
1822
即()(
)⎰⎰++=++C
L
dz
z z dz z z
18218222
把函数沿曲线C 的积分化为沿着直线段L 上的
积分。

由于
()
()⎰⎰
⎪
⎭
⎫
⎝⎛++=++=++L
a
a a a dx x x
dz z z
ππππ20
222
2
183********
故 ()
⎰⎪
⎭
⎫
⎝⎛++=++C
a a a dz z z
183********
πππ
★关键：①恰当参数 ②合适准确带入z
3不定积分
定义3.2 设函数()
z f 在区域D 内连续，若D 内的一个
函数()z Φ满足条件
()()z f z =Φ'
D
z ∈
定理 3.7 若可用上式，则()()()
⎰Φ-Φ=z z z z dz z f 0
D z z ∈0,
例： 计算dz e i z ⎰0
解：1
-==⎰i i z i z e e
dz e 练习：计算dz
ze i
z ⎰++22
132
解：()
(
)
2
14136121222132221322
1
3222-=
+==⎰⎰⎰
++++++i z d e z d e dz ze
i z i z i z
4柯西积分公式
定理 处处解析()z f 在简单闭曲线C 所围成的区
域内则()()⎰-=C
dz a
z z f i a f π21
例1：⎰=-11z z dz
z e
解：
(
)
10
110
11=-=--=-===⎰⎰z z z
z z z e dz z e dz z e
例2：⎰=-221
sin z dz
z z
解：1
sin 21
sin 211sin 211sin 2222i dz z z
dz z z dz z z z z z π=+--=-⎰⎰⎰===
例3：()()
⎰
=+-2
2
79z dz
z z z
解：(
)
()()⎰⎰=-===
-=---=+-22
22
25
92979z i
z z z z i dz i z z z
dz z z z π
π
()()⎰-=
C d z
f i z f ζζζπ21
D
z ∈
注：①C ：D z ∈
② z
-ζ1 一次分式 ③找到()z f ()z f 在D 内处处解析
例4：()
⎰=-+212sin z dz
z z z
z
解
：
()()⎰⎰⎰=====+=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡+-+=-+--+=-+2201
211sin 2
sin 2
sin 202sin 12sin 12sin z z z z z i z
z z z i dz z z
z dz z z z dz
z z z z ππ5 解析函数的高阶导数
公式：()()()
()
⎰
+-=C
n n
d z f i n
z f ζ
ζζπ1
2!
D
z ∈ n=1，2……
应用要点：①D z ∈
②
()"
"1
1
n z n →-+ζ
③精准分离
()
()
1
+-n z f ζζ
例：
()02sin !2202sin 2sin 0
1
1213=⎪⎭⎫ ⎝⎛=
-===+=⎰⎰z z Z z i dz z z dz
z z π
6 调和函数
若()y x g ,满足
2222=∂∂+∂∂=∆y
g x g g 则称()y x g ,叫做D 内的调
和函数
若()()()y x iv y x u z f ,,+=在D 内解析 所以
0222222=∂∂∂-∂∂∂=∂∂+∂∂y
x v
y x v y u x u
把v u ,称为共轭调和函数
第四章 级数理论
1复数到{}∞=1
n n z 距离()ωω-=z z d ,
谈极限 对{}n
z 若有D
z
∈0
使得 ()0
,00
→-=z z
z z d n
n
()∞→n
此时
z 为{}n
z 的极限点 记作 n
n z z ∞
→=lim 0 或
z z n → ()∞→n
推广：对一个度量空间()d x ,都可谈极限 2 极限的性质
0ωω→→n n z z ()∞→n
⎪
⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
→⋅→⋅±→±⇒00
000ωωωωωωz z z z z z n n n n n n ()∞→n 0
≠n
ω
3
()
∞→+=→+=n iy x z iy x z n n n 000
⎩⎨⎧→→⇔0
y y x x n n
()∞→n
4
{}
n z 级数问题
n
n z z z z S +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=321
{}
n S 部分和数列
若
∑∞
=∞
→⇒=1
0lim n n
n n z S S 则{}n
z 收敛，反之则发散。

性质：1
若∑n
z ∑n
ω都收敛，则
()()()∑∑∑±=±n
n
n
n
z z ωω收敛
2若一个收敛，一个发散，可推出
发散
3⎩
⎨
⎧→→+0
1
0S S
S S
n n
()∞→n
()∞→n
若∑∑⇒〈+∞n n
a a 绝对收敛
若∑+∞
=n
a 但∑n
a 收敛 ，为条件收敛
等比级数 ：
(
)z
z z z z z S n
n
n --=
+⋅⋅⋅++=112
z
z S n -→
1
1
〈z 时收敛，其他发散()∞→n
幂级数 ()∑∞
=-00
n n
n
z z C
0z z -=ζ
则∑∞
=0
n n n
C ζ
求收敛域 ⎪⎩
⎪
⎨⎧+∞==+∞
<<==+∞
→ 00lim
1n
n n C C
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧∞
+=01 R
+∞
==+∞<< 00
例：求
∑∞
=1n n n
z 的收敛半径及收敛圆
解：因为1
1
lim
lim 1=+=∞→+∞
→n n
C
C
n n
n n 所以级数的收敛半径
为R=1，收敛圆为1<z
泰勒级数
泰勒定理：设函数()z f 在圆K ：R
z
z <-0
内解析，
则()z f 在K 内可以展成幂级数
()()
∑∞
=-=0
0n n
n z z C z f 其中，
()()!
0n z f C n n =
，（n=0,1,2……），
且展式还是唯一的。

例 1：求()z
e z
f =在0=z 处的泰勒展式
解 ：()z
e z
f =在全平面上解析，()()z
n
e z
f = ，()()10=n
f
所以在0=z 处的泰勒展式为
⋅
⋅⋅++⋅⋅⋅+++=!
!212n z z z e n
z
()∞<z
例2： 将函数()()
2
11
z z f -=展成i z -的幂级数
解
：
()()()()
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-='
⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛---='
⎪⎭⎫
⎝⎛-=-=
-1
22
112111111111
n i i z n i i z i i z i z z z f ()2<-i z
罗朗级数
罗朗定理 若函数
()
z f 在圆环D ：
()
∞≤<≤<-<R r R z z r 00内解析，
则当D z ∈时，有()()∑∞
-∞
=-=n n n
z z C z f 0
其中
()()
⎰Γ+-=
ζζζπd z f i C n n 1021 ()⋅⋅⋅±±=2,1,0n
例：将函数()()()
211
--=z z z f 在圆环（1）21<<z （2）+∞
<<z 2
内展成罗朗级数。

解：（1）在21<<z 内，由于12,11<<z z ，所以 ()()()
∑∑∑∑∞=∞=∞=∞
=++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
----=---=
--=
0000111211221111
1211211121211
n n n n n n n n
n
z
z z z z z
z z z z z z z f
（2）在+∞<<z 2内，由于12
,11<<z z ，所以 ()()()
∑∑∑∞=∞=∞
=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=
-
---=---=
--=
001
11
21121111
1211211121211
n n n n n n
n
z z z z z z
z z z z z z z f
孤立奇点
定义：若函数()
z f 在0z 的去心邻域()
+∞≤<<-<R R z
z 000
内解
析，在0
z 点不解析，则称0
z 为()z f 的孤立奇
点。

例 ：
()()⋅
⋅⋅++-+⋅⋅⋅-+-=!121!
5!31sin 242n z z z z z n n
=z 为可去奇
点
()()⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅+-=--!121!31sin 3
212n z z z z
z n n 0
=z 为一级极点
()()⋅⋅⋅+--+⋅⋅⋅+-=--1
2131!12111!3111sin
n n z n z
z z 0
=z 为本
性奇点
第5章 留数理论（残数）
定义： 设函数()
z f 以有限项点0
z 为孤立奇点，即()z f 在0
z
的去心邻域R
z
z <-<0
0内解析，则称积分
()⎰C
dz z f i π21
的值为函数()z f 在点0
z 处的留数
记作：()()()⎰=
C
dz z f i z z f s π21
,Re 0
其中，R
z
z C <=-ρ0
:，C 的方向是逆时针。

例1：求函数()1sin 4
-=z z z f 在1=z 处的留数。

解：因为1
4
-z
以1=z 为一级零点，而01sin ≠，因此()
z f 以1=z 为一级极点。

()()()
1sin 4
14sin 1
sin 1,Re 1
3
14
=
='
-=
==z z z z
z
z
z f s
例2：求函数()z
z e z f 1+=在0=z 处的留数 解：0=z 是()z f 的本性奇点，因为
()()⎪⎭⎫
⎝
⎛⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=⋅==-+n n z
z
z
z z n z z n z z z e e e
z f 1!11!2111!1!212121
1()∞<<z 0
所以()⋅
⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++
=-!1!11!
3!21!2111
n n C
可得()()()⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=!!11!
3!21!2
110,Re n n z f s
第7章 傅里叶变换
通过一种途径使复杂问题简单化，以便于研究。

定义：对满足某些条件的函数()t f 在()+∞∞-,上
有定义，则称()()dt e t f F t
i ωω-+∞
∞
-⎰⋅=
为傅里叶变换。

同时()()ω
ωd e t f t f t i ⋅=⎰
+∞
∞
- 为傅里叶逆变换
注：①傅里叶变换是把函数()t f 变为函数()ωF
②傅里叶逆变换是把函数()ωF 变为函数()t f
③求傅里叶变换或傅里叶逆变换，关键是计算积分
④两种常见的积分方法：凑微分、分部积分 复习积分：①()α
αα
αααx
x
x
e x d e dx e
=
=
⎰⎰1
()0≠α
②
()()()()7
17cos 1717sin 7117sin +-=++=
+⎰⎰x x d x dx x
③
()
()
6
336
12
13
323
323
33
322
2
2
----=
-=
=
⋅⎰⎰⎰
x x
x
x
e
x d e x d e dx e x
④
()()()
(
)
x
x x x x x x x x x x x x x x x x
x
x
e xe x e e x dx e xe x e e x xdx
e x e e x x d e x e e x dx
x e e x x d e e x dx
e x 6636363332323232
23233
33-+-=-+-=+-=--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⑤
注：⎰⎰-⋅=⋅udv v u vdx u 例1：求
()⎩⎨
⎧=0
1t f
s
t s t 〉≤ 的()ωF
解：
()()()
()
()
ω
ωω
ω
ωωωωωωωωωωωs e e i
e
i
t i d e i
dt
e dt e
dt e
dt e t f F s
i s
i s
s t i s
s
t i s
t i s
s
t
i s
t
i t i sin 2010=
-==-=
⋅+⋅+⋅=⋅=-----∞
+----∞
---+∞∞
-⎰⎰⎰⎰⎰
例2：求
()⎩⎨⎧=-t
e
t f β0
0≥〈t t ()0〉β的()ωF
()()
x
x x x x xdx x x x x xdx
x x x x xd x x xdx
x
cos 2sin 2sin sin sin 2sin sin 2sin sin sin sin 2222
2
2
--=--=-=-=⎰⎰⎰⎰
解：()()()()2
2000010ωβω
βω
βωωβωβωβωω+-=+-==+⋅=⋅=∞++-∞
++--∞
+-∞---+∞
∞-⎰⎰⎰⎰i e i dt
e dt e e dt e dt e t
f F t i t i t i t t i t i
δ-函数
定义：如果对于任意一个在区间()+∞∞-,上连续的
函数()t f ，恒有()()()0
00t f dt t f t t =-⎰+∞
δ，则称()t δ为δ-函数。

例1：求δ-函数的()ωF
解：()()()()1000==-===---+∞
∞--+∞∞-⎰⎰t t i t i t i e e t dt e t F ωωωδδω
例2：求正弦函数()t t f 0
sin ω=的傅氏变换 解： ()()()()[]()()[]()()[]000002221212sin 0000ωωδωωδπωωπδωωπδωωωωωωωωωωω--+=+--=-=⋅-=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰∞+∞
-+---∞+∞---∞
+∞---+∞
∞-i i
dt e e i dt e i
e e dt e t dt e t
f F t i t i t i t
i t i t i t i
☆()()1−−→−ωδF t ()()ωπδω
211−−−←-F 第8章 拉普拉斯变换
设()t f 在0≥t 时有定义。