需求_价格和变质系数均为时变的EOQ模型

文章编号:100725429(2008)0420093206
收稿日期:2007209222;　修回日期:2007212218基金项目:国家自然科学基金(70571088)
作者简介:黄波(19722),男,汉族,重庆人,博士研究生,主要从事物流与供应链管理的研究。

需求、价格和变质系数均为时变的EOQ 模型
黄　波,孟卫东,熊中楷
(重庆大学经济与工商管理学院,重庆400030)
摘要:考虑物品在保管期间出现变质,且变质系数与保管时间正相关,提出了一种需求率随时
间指数增长,销售和采购价格均随时间指数下降的变质物品EOQ 模型。

数值仿真和主要参数灵敏度分析表明,各周期服务水平随时间逐步降低,且随销售价格变动因子和变质系数增长因子变大而下降,随采购价格变动因子变大而上升;计划期内订货次数、各周期服务水平和产品总利润受需求增长因子和短缺量拖后系数变动的影响较小,受销售和采购价格以及变质系数变化的影响较大。

关键词:变质;时变需求;EOQ 模型中图分类号:F253.4 文献标识码:A
An EOQ Model with Time 2V arying Demand ,Price and
Deteriorating Parameter
HUAN G Bo ,M EN G Wei 2do ng ,XION G Zhong 2kai
(College of Economy and Business Administration ,Chongqing University ,Chongqing 400030,China )
Abstract :This paper presented an EOQ model for deteriorating items wit h time 2varying demand ,sale and p urchase price and deteriorating parameter ,under t he assumption t hat deteriorating parameter is relative to t he holding time.The existence of unique optimal solution was proved by a numerical example.Sensitivity analysis showed t hat service level of every cycle is lowered gradually wit h time and demand increasing factor and deteriorating parameter increasing factor get largening ;and t he changing of demand increasing factor and partial backlogging parameter has a greater impact on t he order time ,service level of every cycle and total profit in a finite horizon t han t hat of sale and p urchase p rice.
K ey w ords :deteriorating ;time 2varying demand ;EOQ model
1　引言
库存系统中有一类物品在存储过程中会发生腐烂、性能衰退或分解等变质现象,这类物品被称为变质物品。

在实际生活中,水果和蔬菜的腐烂、液体的挥发和放射性物质的衰减等都是典型的变质现象。

1957年,Whitin [1]首先分析了变质物品的库存问题。

1963年,Ghare 和Schrader [2]最早提出变质规律服从
指数分布的库存模型。

其他学者也从不同方面对变质物品库存问题进行了深入研究[326]。

以上研究均假设物品变质速度在整个保管过程中维持不变,即单位
时间变质数量为库存储备量的一个固定分数,而事实上许多物品如水果、蔬菜、食品以及药品等,其变质速度通常随保管时间增加而不断加快,即单位时间变质数量占库存储备量的比例越来越大。

因而,研究这类物品的库存管理具有现实意义。

Dye 等[7]和黄波等[8]对需求为常数的变质物品
库存问题进行了探讨。

但在实际的库存系统中,常数需求的情况几乎不存在,需求总是随着时间发生变化,或是时间的线性函数[9]、指数函数[10]、任意形式的函数[11]、或是呈正态分布[12]、泊松分布[13]以及任意分布[14]等。

—
39—
在现实中,不仅需求随时间变化,产品价格通常也随时间变化。

罗兵等[15]建立了采购价与需求时变的变质物品的EOQ模型。

文中假设产品采购价随时间逐步降低,销售价格保持不变,但事实上,产
品的销售价格也会随着采购价的下降而逐步下降。

基于以上考虑,本文考虑物品变质速度与保管时间线性相关,建立了一种在短缺量部分拖后条件下,需求随时间指数增长,销售和采购价格均随时间指数下降的变质物品EOQ模型,为相关企业库存控制策略的制定提供了理论依据。

2　符号和假设
本文假设如下:(1)
需求率随时间指数递增;
(2)销售和采购价格均随时间指数递减,且销售价格递减速度大于采购价格递减速度;(3)产品出现变质,变质系数为产品保管时间线性函数;(4每周期开始时瞬时补货,补货周期长度相等,提前期为零;(5)除最后一个周期外,允许缺货,且缺货按固定比例部分补足;(6)各周期服务水平(即有现货时间占整个订货周期长度的比例)不相同,但均不能低于某一规定水平。

本文使用符号如下:H为计划期长度;需求率D(t)=D0eαt,其中D0为t=0时的需求率,α为需求增长因子,α>0;单位产品销售价格P s(t)=P s0 e-β1t,其中P s0为t=0时的销售价格,β1为销售价格变动因子,β1>0;单位产品采购价格P b(t)=P b0 e-β2t,其中P b0为t=0时的采购价格,β2为采购价格变动因子,0<β2<β1;C h和C s分别为单位产品单位时间保管成本和缺货成本;A为每次订购成本;n为订货次数(n为决策变量);T为补货周期长度; T i-1、t i和T i分别为第i周期(i=1,2,…,n)起始时刻点、开始缺货时刻点以及结束时刻点;δ为短缺量拖后率,0<δ<1;λi为第i周期(i=1,2,…,n)服务水平(λi为决策变量),λi>λ0>0,i=1,2,…,n-1,λ
n=1,其中λ0为服务水平下限;变质系数θ(t)=θ0 +θ1(t-T i-1),其中θ0为t=T i-1时(即刚开始保管时)的变质系数,θ1为变质系数增长因子,θ1>0。

3　建立模型
由于采用等周期补货,补货周期长度T=H
n
,第
i个周期起始时刻点T i-1=(i-1)T=(i-1)H
n
(i=
1,2,…,n),开始缺货时刻点t i=T i-1+(1-λi)T=(i-λi)
H
n
(i=1,2,…,n),第n个周期结束时刻点T n=n T=H。

第i个周期内t时刻产品库存水平I i (t)需满足下列等式:
图1　计划期内库存水平变化
dI i(t)
dt
=-D0eαt-θ(t)I i(t),
T i-1≤t<t i,i=1,2,…,n-1,(1)
dI i(t)
dt
=-δD0eαt,
t i≤t<T i,i=1,2,…,n-1,(2)
dI n(t)
dt
=-D0eαt-θ(t)I n(t),
T n-1≤t≤T n,(3) 根据边界条件I i(t i)=0,(i=1,2,…,n-1)和I i(T n)=0,可得(1)、(2)和(3)式的解为:
I i(t)=D0e-θ0(t-t i)-
θ
1
2
[(t-T
i-1
)2-(t
i
-T
i-1
)2]
∫t i t e(α+θ0)t+θ12[(t-T i-1)2-(t i-T i-1)2]-θ0t i dt,
T i-1≤t<t i,i=1,2,…,n-1(4)
I i(t)=
-δD0
α
(eαt-eαt i),
t i≤t<T i,i=1,2,…,n-1(5)
I n(t)=D0e-θ0(t-T n)-
θ
1
2
[(t-T n-1)2-T2]
∫T n t e(α+θ0)t+θ12[(t-T n-1)2-T2]-θ0T n dt
T n-1≤t≤T n(6)令
F i(t)=e-θ0(t-t i)-
θ
1
2
[(t-T i-1)2-(t i-T i-1)2]
∫t i t e(α+θ0)t+θ12[(t-T i-1)2-(t i-T i-1)2]-θ0t i dt,
i=1,2,…,n-1(7) G(t)=e-θ0(t-T n)+
θ
1
2
[(t-T n-1)2-T2]
∫T n t e(α+θ0)t+θ12[(t-T n-1)2-T2]-θ0T n dt(8)
—
4
9
—
由此可得计划期内产品销售总收入、各项成本及总利润如下。

计划期内产品销售总收入:
TR (n ,λ1,λ2,…,λn )=P s 0D 0
∑
n-1i =1
e
(α-β1)t i
-e
(α-β1)T i-1
α-β1+δe -β
1T i α
(e αT i -e αt
i ) +
e
(α-β1)T n
-e
(α-β1)T n-1
α-β1
(9)
计划期内产品总购置成本:TM (n ,λ1,λ2,…,λn )=P b 0D 0
∑n-1
i =1
e
-β2T i-1
F i (T i-1)
+δe -β
2T i α
(e αT i -e αt
i
+e
-β2T n-1
G (T n-1)
(10) 计划期内产品总订购成本:nA
(11)
计划期内产品总保管成本:
TC h (n ,λ1,λ2,…,λn )=C h D 0
∑n-1
i =1
∫t i
T i-1
F i
(t )dt
+
∫T n
T n-1
G (t )dt
(12)
计划期内产品总缺货成本:
TC s (n ,λ1,λ2,…,λn )=δC s D 0
α
2
∑
n-1i =1
{e αT i -e αt
i [1+α
(T i -t i )]}(13) 计划期内产品总利润:
TP (n ,λ1,λ2,…,λn )=P s 0D 0
∑
n-1
i =1
e
(α-β1)t i
-e
(α-β1)T i -1
α-β1
+δe -β
1T i α
(e αT i -e αt
i
+e
(α-β1)T n
-e
(α-β1)T n-1
α-β1
-
P b 0D 0∑n-1
i =1e
-β2T i-1
F i (T i-1)+δe -β
2T i α
(e αT i -e αt
i )+e
-β2T n-1
G (T n-1)-nA -
C h
D 0
∑n-1
i =1
∫t i
T i-1
F i
(t )dt +∫T n
T n -1
G (t )dt
-δC s D 0
α
2∑
n-1
i =1{e αT i
-e αt
i [1+α
(T i -t i )]}(14)4　算例
下面进行数值仿真计算,以确定订购次数n 以
及各周期的服务水平λi (i =1,2,…,n -1),以最大化计划期内产品总利润。

系统有关参数如下:H =1年,D (t )=10000e 0.05t 件/年,P s (t )=150e -0.1t 元/件,P b (t )=110e -0.03t 元/件,C h =30元/件・年,C s =25元/件・年,A =3500元/次,δ=0.9,θ0=0.01,θ1=0.1,λ0=0.7。

运用迭代寻优法进行仿真寻优,首先设定n 的最大值,针对不同产品,n 可取不同的最大值,本文取n 的最大值为25,即订货周期长度可从半个月到一年。

用mat hematica 5.0版软件进行逐步迭代寻优,具体步骤如下:
步骤1:n 从1到25,进行以下循环:
(1)由公式(14)计算第i 周期(i =1,2,…,n )
利润TP (i ,λi ),λi =0.70,0.71,…,1.00,(i =n 时,λi =1.00),(为了避免λi 不同取值对第i +1周期利润的影响,将第i +1周期补足第i 周期缺货所得收
益记入第i 周期,则第i 周期(i =1,2,…,n )利润TP (i ,λi )只受n 和λi 的影响);
(2)计算第i 周期(i =1,2,…,n )的最优解:
TP 3(i ,λi )=Max{TP (i ,λi )};
(3)计算在n 的不同取值下的最优解:TP (n ,
λ1,λ2,…,λn )=
∑n
i =1
TP
3
(i ,λi );
步骤2:计算全局最优解,TP 3(n ,λ1,λ2,…,λn )=Max{TP (n ,λ1,λ2,…,λn ),n =1,2,…,25};
步骤3:输出TP 3(n ,λ1,λ2,…,λn )及其相应的
n 和第i 周期(i =1,2,…,n )的服务水平、各项成本
及利润(扣除第i +1周期补足第i 周期缺货所得收
益的真实利润)。

通过逐步迭代寻优,可得n =5时计划期内产品总利润最大。

各周期服务水平、订货量、销售额、各项成本及利润如表1所示。

由表1可以看出,各周期(除最后一个周期)服务水平随时间越来越小,订货量和销售额随时间增加,但由于保管成本和变质损失增加量更大,因此各周期利润逐渐下降。

表2和表3分别显示了需求增长因子α和短缺量拖后系数δ对最优解的影响。

随着α变大,订货次数以及各周期服务水平保持不变,由于需求变大,计划期内订货量和总利润也变大;随着δ变大,订货次数不变,各周期(除最后一个周期)服务水平持续下降,但由于丢单数量变小,计划期内订货量和总利润均持续上升。

表4和表5分别显示了销售和采购价格变动因子β1和β2对最优解的影响。

随着β1变大,订货次数、各周期(除最后一个周期)服务水平以及计划期
—
5
9—
内订货量和总利润均持续下降;β2对最优解的影响与β1相反,随着β2变大,订货次数、各周期(除最后一个周期)服务水平以及计划期内订货量和总利润均持续上升。

表1　总利润最大时各周期服务水平、各项成本及利润
周期数i服务水平λi 订货量
Q i(件)
销售额
TR i(元)
购置成本
TM i(元)
订购成
本A(元)
保管成本
TC hi(元)
缺货成本
TC si(元)
利润
TP i(元)
10.811973292606.00216995.003500.003912.87172.6168025.10
20.791989289236.00217521.003500.003805.80202.1864206.90
30.772006285904.00218049.003500.003699.00234.4060421.60
40.752023282607.00218577.003500.003592.49269.3556668.70
5 1.002096286800.00228045.003500.006295.050.0051959.90合计100871432960.001089720.0017500.0018602.70878.53305991.00
表2　需求增长因子α对最优解的影响
α订货次数n
各周期服务水平λi
12345
计划期内订货量Q(件/年)计划期内总利润TP(元/年) 0.0150.810.790.770.75 1.009886300358.00
0.0350.810.790.770.75 1.009986303159.00
0.0550.810.790.770.75 1.0010087305991.00
0.0750.810.790.770.75 1.0010189315194.33
0.0950.810.790.770.75 1.0010293318129.43
表3　短缺量拖后系数δ对最优解的影响
δ订货次数n
各周期服务水平λi
12345
计划期内订货量Q(件/年)计划期内总利润TP(元/年)
0.9050.810.790.770.75 1.0010087305991.00
0.9250.760.740.730.71 1.0010092307633.00
0.9450.700.700.700.70 1.0010116309543.00
0.9650.700.700.700.70 1.0010165311531.00
0.9850.700.700.700.70 1.0010214313519.00
表4　销售价格变动因子β1对最优解的影响
β
1订货次数n
各周期服务水平λi
1234567
计划期内订
货量Q(件/年)
计划期内总
利润TP(元/年)
0.0270.930.930.930.930.930.93 1.0010198361326.00 0.0460.870.860.850.840.83 1.0010136346962.00 0.0660.870.860.850.830.82 1.0010130333003.00 0.0850.810.790.770.75 1.0010087319235.00 0.1050.810.790.770.75 1.0010087305991.00
—
6
9
—
表5　采购价格变动因子β2对最优解的影响
β2订货次数n
各周期服务水平λi
1234567
计划期内订
货量Q(件/年)
计划期内总
利润TP(元/年)
0.0130.700.70 1.0050538299361.00 0.0350.810.790.770.75 1.0010087305991.00 0.0560.870.850.830.820.80 1.0010123314106.00 0.0770.930.920.910.900.890.88 1.0010176322538.00 0.0970.930.920.910.900.890.88 1.0010176331306.00
表6和表7分别显示了变质系数初始值θ0和变质系数增长因子θ1对最优解的影响。

随着θ0变大,订货次数不变,各周期(除最后一个周期)服务水平以及计划期内订货量和总利润均持续下降;随着θ
1变大,订货次数增多,计划期内订货量出现波动,各周期(除最后一个周期)服务水平和计划期内总利润均持续下降。

由表2～表7可以看出,各周期服务水平随需求增长因子和变质系数增长因子变大而下降;计划期内订货次数、各周期服务水平和产品总利润受需求增长因子和短缺量拖后系数变动的影响较小,受销售和采购价格以及变质系数变化的影响较大。

表6　变质系数初始值θ0对最优解的影响
θ0订货次数n
各周期服务水平λi
12345
计划期内订货量Q(件/年)计划期内总利润TP(元/年) 0.0150.810.790.770.75 1.0010087305991.00
0.0250.790.780.760.74 1.0010081305323.00
0.0350.780.760.750.73 1.0010075304673.00
0.0450.770.750.730.72 1.0010072304042.00
0.0550.760.740.730.71 1.0010070303432.00
表7　变质系数增长因子θ1对最优解的影响
θ
1订货次数n
各周期服务水平λi
1234567
计划期内订
货量Q(件/年)
计划期内总
利润TP(元/年)
0.150.810.790.770.75 1.0010087305991.00
1.060.790.780.760.740.73 1.001008030328
2.00
2.060.730.720.710.700.70 1.0010055301236.00
3.060.700.700.700.700.70 1.0010068299406.00
4.070.700.700.700.700.700.70 1.0010057297950.00
5　结论
变质物品广泛存在于现实库存系统中,变质物品库存控制问题一直是理论界和实业界的研究热点之一。

本文提出了一种变质系数随保管时间线性递增,需求、销售和采购价格均为指数时变的EOQ模型。

数值仿真和主要参数灵敏度表明,企业应在有限计划期内逐步降低服务水平,缩短产品保管时间;应在销售价格下降较快时减少订货次数,降低服务水平,而在采购价格下降较快时增加订货次数,提高服务水平;当变质速度增加较快时,应增加订货次数,降低服务水平,以增加企业计划期内总利润。

—
7
9
—
参考文献:
[1]Whitin T M.Theory of Inventory Management[M].
Princeton University Press Princeton NJ,1957.
[2]Ghare P M,Schrader G P.A model for exponentially decaying
inventory[J].J Ind End,1963,14:2382243.
[3]Chu P,Chung K J,Lan S P.Economic order quantity of
deteriorating items under permissible delay in payment s[J].
Computers and Operations Research,1998,25(9):8172824.
[4]Liu L,Yang T.An(s,S)random lifetime inventory model
wit h a positive lead time[J].Journal of Operational Research, 1999,113(1):52263.
[5]Sarker B R,J amal A M M,Wang S.Supply chain models for
perishable product s under inflation and permissible delay payment s[J].Computers and Operations Research,2000,27: 59285.
[6]余玉刚,梁　,王晨,等.一种考虑最终产品变质的供应商管理
库存集成模型[J].中国管理科学,2004,12(2):32237.
[7]Dye C Y,Ouyang L Y.An EOQ model for perishable items
under stock2dependent selling rate and time2dependent partial backlogging[J].European Journal of Operational Research, 2005,163(3):7762783.
[8]黄波,罗兵,孟卫东.考虑批量滞后支付的变质物品EOQ模型
[J].中国管理科学,2006,14:4452449.
[9]罗兵,黄波,卢娜.一种线性时变需求且短缺量部分拖后的
VMI模型[J].系统工程理论与实践,2006,26(5):36241,77.
[10]郑惠莉,达庆利.一种需求和采购价均为时变的EOQ模型
[J].中国管理科学,2003,11(5):26230.
[11]Mohd Omar,Ivan Yeo.An analytical solution procedure for a
batch production system under a linearly increasing time2 varying demand[J].Computers and Industrial Engineering, 2006,51(4):6932697.
[12]罗兵,黄波,廖冰,陈晖.一种周期性检查下提前期和构建成
本可控的EOQ模型[J].系统工程增刊,2006,1:2452249. [13]Johansen S G.Base2stock policies for t he lost sales inventory
system wit h Poisson demand and Erlangian lead times[J].
International Journal of Production Economics,2005,93294: 4292437.
[14]Pan J C H,Hsiao Y C.Integrated inventory models wit h
controllable lead time and backorder discount considerations [J].International Journal of Production Economics,2005,932 94:3872397.
[15]罗兵,杨帅,熊中楷.短缺量拖后率、需求和采购价均为时变的变
质物品EOQ模型[J].中国管理科学,2005,13(3):44249.
书刊评介《品质班组建设与管理模式设计》
本书为“制造业管理模式设计丛书”之一。

本书从制造业品质管理综述、质量控制小组建设与管理、质量保证小组建设与管理、质量改进小组建设与管理、品管圈活动小组建设与管理、品质管理的方法与工具7个方面,全方位阐述了品质班组建设与管理模式设计中的各个核心工作。

全书通过深入分析品质班组管理的内容,为管理者提供了品质班组管理模式的设计方案和各类型品质班组的管理模式,管理者只要根据企业的现实情况,针对性地引用和参考这些模式,就可以快速地设计出科学的品质班组管理模式。

本书由冯彬编著。

作者系经济管理专业的行家,长期从事工厂现场管理和改善工作,对品质管理、制程管制、企业认证、验厂管理、企业内审以及相关培训工作拥有丰富的经验。

1998年至2001年在富仕康集团从事品质管理和制程管制工作。

2002年至2004年在台资企业速达康公司担任品质主管,维护ISO体系和推行精细化管理。

现为东莞仙桥电子品质部经理,从事企业的品质管理培训、外商验厂、标准化实施等工作。

本书是生产经理、生产主管、品质经理、品质主管、品质组长、车间主任、人力资源主管等生产企业相关人员进行品质班组建设、管理以及提高品质班组管理能力的参照范本。

本书由机械工业出版社2008年6月出版,296页,276千字,16k 本,胶版纸,平装,定价39.80元。

(徐秋栋)
书刊评介《生产班组建设与管理模式设计》
本书为“制造业管理模式设计丛书”之一。

本书从生产班组的基础性建设、生产班组的组织管理、生产班组的任务管理、生产班组的作业管理、生产班组的现场管理、生产班组的辅助性管理、生产班组长的关系管理、典型生产班组的管理8个方面,全方位阐述了生产班组建设与管理模式设计中的各个核心工作。

全书通过深入分析生产班组管理的内容,为管理者提供了生产企业班组管理模式的设计方案和各类型生产班组的管理模式,管理者只要根据企业的现实情况,针对性地引用和参考这些模式,就可以快速地设计出科学的生产企业班组管理模式。

本书由吴发明、孙东风编著。

吴发明供职于中国最大的球类生产及出口企业--冠贺运动器材有限公司,任制造课高级主管。

生产现场管理专家,十多年台资企业现场管理经验。

擅长5S推行、可视化管理、作业标准化、现场诊断与改善等工作。

孙东风现供职于法国XANA KX、MIM品牌大陆生产厂家,负责生产订单的统筹与运作。

多年台资企业管理经验,精于制造企业的班组建设与人员培训、作业分析与改善、品质跟踪和现场管理等工作,拥有丰富的制造企业管理经验。

本书是生产经理、生产主管、车间主任、生产班组长、人力资源主管等生产企业相关人员进行班组建设、管理以及提高班组管理能力的参照范本。

本书由机械工业出版社2008年6月出版,297页,279千字, 16k本,胶版纸,平装,定价39.80元。

(徐秋栋)
—
8
9
—。