苏教版高中数学必修二模块综合检测(C).docx

模块综合检测（C）
(时间：120分钟满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．如图所示，一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为________．
2．直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则m＝________．
3．直线4x－3y－2＝0与圆x2＋y2－2ax＋4y＋a2－12＝0总有两个不同的交点，则a的取值范围是____________．
4．若P为平面α外一点，则下列说法正确的是______(填序号)．
①过P只能作一条直线与平面α相交；
②过P可能作无数条直线与平面α垂直；
③过P只能作一条直线与平面α平行；
④过P可作无数条直线与平面α平行．
5．在圆x2＋y2＝4上与直线l：4x＋3y－12＝0的距离最小的点的坐标是______________．6．矩形ABCD的对角线AC，BD成60°角，把矩形所在的平面以AC为折痕，折成一个直二面角D－AC－B，连结BD，则BD与平面ABC所成角的正切值为________．7．若⊙C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4和⊙C2：x2＋y2＋2x－4my＝8－4m2相交，则m的取值范围是______________．
8．已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A为切点，则P A的最小值为________．
9．二面角α－l－β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB＝2，在平面β内，CD ⊥l于D，CD＝3，BD＝1，M为棱l上的一个动点，则AM＋CM的最小值为__________．10．如果圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)都能使x＋y＋c≥0成立，那么实数c的取值范围是__________．
11．如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC＝30°，则此几何体的体积为________．
12．P(0，－1)在直线ax＋y－b＝0上的射影为Q(1,0)，则ax－y＋b＝0关于x＋y－1＝0对称的直线方程为________．
13．由动点P向圆x2＋y2＝1引两条切线P A、PB，切点分别为A，B，∠APB＝60°，则动点的轨迹方程为________．
14．如图所示的是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中完全一样的是________．
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)已知点P(－4,2)和直线l：3x－y－7＝0．求：
(1)过点P与直线l平行的直线方程；
(2)过点P与直线l垂直的直线方程．
16．(14分) 如图所示，在棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．
求证：(1)DM∥平面APC；
(2)平面ABC⊥平面APC．
17．(14分)已知一个几何体的三视图如图所示，试求它的表面积和体积．(单位：cm)
18．(16分)已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．
19．(16分)从点A(－4,1)出发的一束光线l，经过直线l1：x－y＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B(1，6)，求入射光线l所在的直线方程．
20．(16分)已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2
t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M 、N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．
模块综合检测(C) 答案
1．16 2．2或－1
2
解析 令y ＝0，则(2m 2＋m －3)x ＝4m －1，所以直线在x 轴上的截距为4m －1
2m 2＋m －3
＝1，
所以m ＝2或m ＝－1
2
．
3．－6<a<4
解析 将圆的方程化为(x －a)2＋(y ＋2)2＝16．
圆心(a ，－2)到直线的距离d ＝|4a ＋4|
5
．
∵直线与圆有两个不同交点，
∴d<4，即|4a ＋4|
5
<4，
得－6<a<4． 4．④
5．⎝⎛⎭⎫85，65
解析 经过圆心O 且与直线l 垂直的直线的方程是3x －4y ＝0．
解方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －4y ＝0，x 2＋y 2＝4
得
⎩⎨⎧
x ＝85
，y ＝65
或⎩⎨⎧
x ＝－85
，
y ＝－6
5
画出图形，可以判断点⎝⎛⎭⎫
85，65是
圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最小的点，点⎝⎛⎭⎫－85，－6
5是圆x 2＋y 2＝4上到直线l 距离最大的点．
6．
21
7 7．⎝⎛⎭⎫－125
，－2
5∪(0,2) 解析 圆C 1和C 2的圆心坐标及半径分别为 C 1(m,0)，r 1＝2，C 2(－1,2m)，r 2＝3． 由两圆相交的条件得3－2<C 1C 2<3＋2，即1<5m 2＋2m ＋1<25，解得－
125<m<－25
或0<m<2．
8．2 2
解析 圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的半径为1，要使PA 最小，只需PC 最小，
(PC)min ＝|3＋4＋8|
32＋42
＝3．
故(PA)min ＝32－12＝22． 9．26
解析 将图(1)中二面角α－l －β展成平面，如图(2)所示．
连结AC 交l 于M 则AM ＋CM 最小值为AC ＝BD 2
＋(AB ＋CD )2＝26． 10．c ≥2－1
解析 对任意点P(x ，y)能使x ＋y ＋c ≥0成立， 等价于c ≥[－(x ＋y)]max ．
设b ＝－(x ＋y)，则y ＝－x －b ．
∴圆心(0,1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b|
2
≤1，
解得，－2－1≤b ≤2－1． ∴c ≥2－1．
11．56
πR 3
解析 半圆旋转一周形成一个球体，其体积为V 球＝4
3
πR 3，内部两个圆锥的体积之和为
V 锥＝13πCD 2·AB ＝13π·⎝⎛⎭⎫32R 2·2R ＝π2
R 3， ∴所求几何体的体积为43πR 3－π2R 3＝5
6
πR 3．
12．x －y ＋1＝0 解析 ∵k PQ ·(－a)＝－1，∴a ＝1，Q(1,0)代入x ＋y －b ＝0得b ＝1，将其代入ax －y ＋b ＝0，得x －y ＋1＝0，此直线与x ＋y －1＝0垂直，
∴其关于x ＋y －1＝0的对称的直线是其本身． 13．x 2＋y 2＝4
解析 在Rt △AOP 中，∵∠APB ＝60°， ∴∠APO ＝30°，
∴PO ＝2OA ＝2，动点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，方程为x 2＋y 2＝4． 14．(2)(3)(4)
解析 由正方体的平面展开图可得：(2)(3)(4)是相同的． 15．解 (1)设所求直线的方程是 3x －y ＋m ＝0(m ≠－7)， ∵点P(－4,2)在直线上， ∴3×(－4)－2＋m ＝0，
∴m ＝14，即所求直线方程是3x －y ＋14＝0． (2)设所求直线的方程是x ＋3y ＋n ＝0， ∵点P(－4,2)在直线上， ∴－4＋3×2＋n ＝0，
∴n ＝－2，即所求直线方程是x ＋3y －2＝0．
16．证明 (1)∵M 为AB 的中点，D 为PB 中点， ∴DM ∥AP ．
又∵DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ， ∴DM ∥平面APC ．
(2)∵△PMB 为正三角形，D 为PB 中点， ∴DM ⊥PB ．
又∵DM ∥AP ，∴AP ⊥PB ．
又∵AP ⊥PC ，PC ∩PB ＝P ，∴AP ⊥平面PBC ． ∵BC ⊂平面PBC ， ∴AP ⊥BC ．
又∵AC ⊥BC ，且AC ∩AP ＝A ， ∴BC ⊥平面APC ．
又∵BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面APC ．
17．解 由三视图可知，该几何体的直观图可以看成是一个圆台和圆柱的组合体，则圆
台的高为h ′＝1 cm ，上底半径为r ＝1
2
cm ，下底半径为R ＝1 cm ，母线l 为12＋⎝⎛⎭⎫1－122＝52(cm )，圆柱的底面半径为R ＝1 cm ，高h 为1
2
cm ， ∴该几何体的体积为V ＝V 圆台＋V 圆柱 ＝1
3(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ′＋S 底面·h ＝13⎣⎡⎦
⎤π×⎝⎛⎭⎫122＋π×12＋π×⎝⎛⎭⎫1
22×π×1＋π×12×12＝1312π(cm 3)． 该几何体的表面积为S 表面＝πr 2＋πR 2＋π(R ＋r)·l ＋2πRh ＝π×⎝⎛⎭⎫122＋π×12＋π×⎝⎛⎭
⎫1＋12×52＋2π×1×12＝9＋354
π(cm 2)． ∴该几何体的体积为13
12
πcm 3，
表面积为9＋35
4
πcm 2．
18．解 方法一 设圆的方程为
x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ① 将P ，Q 坐标代入①得 ⎩
⎪⎨⎪⎧
4D －2E ＋F ＝－20 ②D －3E －F ＝10 ③ 令x ＝0，由①得y 2＋Ey ＋F ＝0 ④
据题设知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是④的两根． 所以(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2
＝E 2－4F ＝48⑤
解由②③⑤组成的方程组得
D ＝－2，
E ＝0，
F ＝－12或D ＝－10，E ＝－8，F ＝4． 故所求圆的方程为
x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0． 方法二 易求PQ 的中垂线方程为
x －y －1＝0 ① 因为所求圆的圆心C 在直线①上， 故可设其坐标为(a ，a －1)．
又圆C 的半径r ＝CP ＝(a －4)2＋(a ＋1)2 ②
由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而点C 到y 轴的距离为|a|，
∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭
⎫4322
，
将②式代入得a 2－6a ＋5＝0．
所以有a 1＝1，r 1＝13或a 2＝5，r 2＝37， 即(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37．
19．解 设B(1,6)关于直线l 1：x －y ＋3＝0的对称点为B ′(x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧
y 0－6
x 0－1·
1＝－1，x 0
＋12－y 0
＋62＋3＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝3，y 0
＝4.
∴B ′(3,4)．依题意知B ′在入射光线上． 又A(－4,1)也在入射光线上， ∴所求方程为3x －7y ＋19＝0．
20．(1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴r 2＝t 2＋4
t
2．
设圆C 的方程是(x －t)2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4
t
；
令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ．
∴S △OAB ＝12OA ×OB ＝1
2×⎪⎪⎪
⎪4t ×|2t|＝4，
即△OAB 的面积为定值．
(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ， ∴OC 垂直平分线段MN ．
∵k MN ＝－2，∴k OC ＝1
2．
∴直线OC 的方程是y ＝1
2
x ．
∴2t ＝1
2
t ．解得t ＝2或t ＝－2． 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，
此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝1
5
<5，
圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．
当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， OC ＝5，
此时C到直线y＝－2x＋4的距离d＝9
5
>5，
圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
∴t＝－2不符合题意，舍去．
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．。