2016-2017学年江苏省南京市高二(上)期末数学试卷(理科)

2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是．
2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是．
3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是．
5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是．
6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是．
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是．
9．（5分）观察下列等式：
（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；
…
照此规律，
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=．10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若
在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是．12．（5分）有下列命题：
①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；
②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；
③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；
④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是．
13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为
F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是．
14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．
（1）求BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．
（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；
（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．
19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；
（2）若BC⊥CD，求k的值；
（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．
20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；
（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．
2016-2017学年江苏省南京市高二（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上
1．（5分）命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是若|a|≠|b|，则a≠b．【解答】解：命题“若a=b，则|a|=|b|”的逆否命题是命题“若|a|≠|b|，则a≠b”，故答案为：“若|a|≠|b|，则a≠b”
2．（5分）双曲线=1的渐近线方程是y=±2x．
【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±2x．
故答案为y=±2x．
3．（5分）已知复数为纯虚数，其中i是虚数单位，则实数a的值是2．【解答】解：==，
∵复数为纯虚数，
∴，
解得a=2．
故答案为：2．
4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x﹣4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．
【解答】解：由题意，=1，
∴a=±5．
故答案为±5．
5．（5分）曲线y=x4与直线y=4x+b相切，则实数b的值是﹣3．
【解答】解：设直线与曲线的切点为P（m，n）
则有：⇒，化简求：m=1，b=n﹣4；
又因为点P满足曲线y=x4，所以：n=1；
则：b=n﹣4=﹣3；
故答案为：﹣3．
6．（5分）已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最大值是9．【解答】解：实数x，y满足条件作出不等式组对应的平面区域
如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
则当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，
由可得A（3，3）．
此时z=9，
故答案为：9．
7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=4x的焦点为F，P为抛物线C上一点，且PF=5，则点P的横坐标是4．
【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，
∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=5，
∴x=4，
故答案为：4
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2=r2（r＞0）与圆M：（x﹣3）2+（y+4）2=4相交，则r的取值范围是3＜r＜7．
【解答】解：由题意，圆心距为5，∴|r﹣2|＜5＜r+2，
∴3＜r＜7．
故答案为3＜r＜7．
9．（5分）观察下列等式：
（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；
…
照此规律，
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=n（n+1）．【解答】解：观察下列等式：
（sin）﹣2+（sin）﹣2=×1×2；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+sin（）﹣2=×2×3；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×3×4；
（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+sin（）﹣2=×4×5；
…
照此规律（sin）﹣2+（sin）﹣2+（sin）﹣2+…+（sin）﹣2=×n （n+1），
故答案为：n（n+1）
10．（5分）若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
【解答】解：若“∃x∈R，x2+ax+a=0”是真命题，
则△=a2﹣4a≥0，
解得：a∈（﹣∞，0]∪[4，+∞），
故答案为：（﹣∞，0]∪[4，+∞）
11．（5分）已知函数f（x）=（x2+x+m）e x（其中m∈R，e为自然对数的底数）．若在x=﹣3处函数f （x）有极大值，则函数f （x）的极小值是﹣1．
【解答】解：f（x）=（x2+x+m）e x，
f′（x）=（x2+3x+m+1）e x，
若f（x）在x=﹣3处函数f （x）有极大值，
则f′（﹣3）=0，解得：m=﹣1，
故f（x）=（x2+x﹣1）e x，
f′（x）=（x2+3x）e x，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜﹣3，
故f（x）在（﹣∞，﹣3）递增，在（﹣3，0）递减，在（0，+∞）递增，=f（0）=﹣1，
故f（x）
极小值
故答案为：﹣1．
12．（5分）有下列命题：
①“m＞0”是“方程x2+my2=1表示椭圆”的充要条件；
②“a=1”是“直线l1：ax+y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行”的充分不必要条件；
③“函数f （x）=x3+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；
④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是②④．
【解答】解：对于①，当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故错；
对于②，∵a=±1时，直线l1与直线l2都平行，故正确；
对于③，若函数f （x）=x3+mx单调递增⇒m≥0，故错；
对于④，p或q是真命题⇒p且q不一定是真命题；⇒p且q是真命题⇒p或q 一定是真命题，故正确；
故答案为：②④
13．（5分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的焦距为2c（c＞0），左焦点为F，点M的坐标为（﹣2c，0）．若椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则椭圆E 离心率的取值范围是[] ．
【解答】解：设P（x，y），由PM=PF⇒PM2=2PF2⇒（x+2c）2+y2=2（x+c）2+2y2⇒x2+y2=2c2，
椭圆E上存在点P，使得PM=PF，则圆x2+y2=2c2与椭圆E：+=1（a＞b ＞0）有公共点，
∴b≤≤a⇒⇒．
故答案为：[]
14．（5分）已知t＞0，函数f（x）=，若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，则实数t的取值范围是（3，4）．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴函数f′（x）=，
当x＜，或x＜t时，f′（x）＞0，函数为增函数，
当＜x＜t时，f′（x）＜0，函数为减函数，
故当x=时，函数f（x）取极大值，
函数f（x）有两个零点0和t，
若函数g（x）=f（f（x）﹣1）恰有6个不同的零点，
则方程f（x）﹣1=0和f（x）﹣1=t各有三个解，
即函数f（x）的图象与y=1和y=t+1各有三个零点，
由y|x=t==，
故，
=（t﹣3）（2t+3）2＞0得：t＞3，
故不等式的解集为：t∈（3，4），
故答案为：（3，4）
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点坐标为A（7，8），B（10，4），C（2，﹣4）．
（1）求BC边上的中线所在直线的方程；
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
【解答】解：（1）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC中点D的坐标为（6，0），…（2分）
所以AD的斜率为k==8，…（5分）
所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y﹣0=8（x﹣6），
即8x﹣y﹣48=0．…（7分）
（2）由B（10，4），C（2，﹣4），得BC所在直线的斜率为k==1，…（9分）
所以BC边上的高所在直线的斜率为﹣1，…（12分）
所以BC边上的高所在直线的方程为y﹣8=﹣1（x﹣7），
即x+y﹣15=0．…（14分）
16．（14分）已知数列{a n}满足a1=1，（a n﹣3）a n+1﹣a n+4=0（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【解答】解：（1）令n=1，﹣2a2+3=0，a2=，
令n=2，﹣a3﹣+4=0，a3=，
令n=3，﹣a4﹣+4=0，a4=．
（2）猜想a n=（n∈N*）．
证明：当n=1时，a1=1=，所以a n=成立，假设当n=k时，a n=成立，即a k=，
则（a k﹣3）a k
+1﹣a k+4=0，即（﹣3）a k
+1
﹣+4=0，
所以a k
+1
=，即a k+1==，
所以当n=k+1时，结论a n=成立．
综上，对任意的n∈N*，a n=成立．
17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1=0相切于点P（2，﹣1）．
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
【解答】解：（1）过点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线方程为x﹣y﹣3=0，…（2分）
由解得，
所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）
所以圆M的半径为r=，…（6分）
所以圆M的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．…（7分）（2）因为直线l被圆M截得的弦长为，
所以圆心M到直线l的距离为d==，…（9分）
若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx﹣y=0，
由d==，…（11分）
整理得k2+8k+7=0，
解得k=﹣1或﹣7，…（13分）
所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．…（14分）
18．（16分）某休闲广场中央有一个半径为1（百米）的圆形花坛，现计划在该花坛内建造一条六边形观光步道，围出一个由两个全等的等腰梯形（梯形ABCF 和梯形DEFC）构成的六边形ABCDEF区域，其中A、B、C、D、E、F都在圆周上，CF为圆的直径（如图）．设∠AOF=θ，其中O为圆心．
（1）把六边形ABCDEF的面积表示成关于θ的函数f（θ）；
（2）当θ为何值时，可使得六边形区域面积达到最大？并求最大面积．
【解答】（本题满分16分）
解：（1）作AH⊥CF于H，
则OH=cosθ，AB=2OH=2cosθ，AH=sinθ，…（2分）
则六边形的面积为f （θ）=2×（AB+CF）×AH=（2cosθ+2）sinθ
=2（cosθ+1）sinθ，θ∈（0，）．…（6分）（2）f′（θ）=2[﹣sinθsinθ+（cosθ+1）cosθ]
=2（2cos2θ+cosθ﹣1）=2（2cosθ﹣1）（cosθ+1）．…（10分）
令f′（θ）=0，因为θ∈（0，），
所以cosθ=，即θ=，…（12分）
当θ∈（0，）时，f′（θ）＞0，所以f （θ）在（0，）上单调递增；
当θ∈（，）时，f′（θ）＜0，所以f （θ）在（，）上单调递减，…（14分）
所以当θ=时，f （θ）取最大值f （）=2（cos+1）sin=．…（15分）
答：当θ=时，可使得六边形区域面积达到最大，最大面积为平方百米．…（16分）
19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点M（﹣1，0），且3=，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．（1）求椭圆E的方程；
（2）若BC⊥CD，求k的值；
（3）记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值．
【解答】解：（1）因为3=，所以3（﹣1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．…（2分）
又因为=，所以c=，所以b2=a2﹣c2=1，
所以椭圆E的方程为+y2=1．…（4分）
（2）设点C的坐标为（x0，y0），y0＞0，
则=（﹣1﹣x0，﹣y0），=（2﹣x0，﹣y0）．
因为BC⊥CD，所以（﹣1﹣x0）（2﹣x0）+y02=0．①…（6分）
又因为+y02=1，②
联立①②，解得x0=﹣，y0=，…（8分）
所以k==2．…（10分）
（3），设C（x0，y0），则CD：y=（x+1）（﹣2＜x0＜2且x0≠﹣1），
由消去y，
得x2+8y02x+4y02﹣4（x0+1）2=0．…（12分）
又因为+y02=1，所以得D（，），…（14分）
所以===3，
所以为定值．…（16分）
20．（16分）已知函数f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．
（1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，求a的取值范围；
（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x﹣lnx（x＞0）的导数为f′（x）=1﹣=，
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值，也为最小值，且为1；
（2）存在x∈[1，3]，使+lnx=2成立，
即为=2﹣lnx，
即有a=，
设g（x）=，x∈[1，3]，
则g′（x）=（1﹣lnx）（1+），
当1＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增；当e＜x＜3时，g′（x）＜0，g（x）递减．
则g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值e+；
努力的你，未来可期！g（1）=2，g（3）=3（2﹣ln3）+＞2，
则a的取值范围是[2，e+]；
（3）若对任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，
即为ax﹣lnx≥﹣ln，
即有a（x﹣）≥2lnx，x≥1，
令F（x）=a（x﹣）﹣2lnx，x≥1，
F′（x）=a（1+）﹣，
当x=1时，原不等式显然成立；
当x＞1时，由题意可得F′（x）≥0在（1，+∞）恒成立，
即有a（1+）﹣≥0，
即a≥，由=＜=1，
则a≥1．
综上可得a的取值范围是[1，+∞）．。