2017年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷(理科)

2017年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合M={x|x＜1}，N={x|x（x﹣1）＜0}，则M∪N=（）A．∅B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜0}D．{x|x＜1}
2．（5分）复数的虚部为（）
A．i B．1 C．﹣i D．﹣1
3．（5分）下列函数中满足在（﹣∞，0）上单调递减的偶函数是（）A．B．y=|log2（﹣x）| C．D．y=sin|x|
4．（5分）某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产成本y（万元）有如下几组样本数据：
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得到其回归直线的斜率为0.8，则当该产品的生产成本是6.7万元时，其相应的产量约是（）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
5．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，直线AB过焦点，且|AB|=2，则双曲线实轴长为（）A．B．C．D．3
6．（5分）如图，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B（，﹣），点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=（）
A．﹣ B．﹣ C．D．
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，最长棱的长度是（）
A．B．C．6 D．
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=3，n=3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数（从最小质数开始），
直到结束为止，则输出的s=（）
A．9 B．27 C．32 D．103
9．（5分）在封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）
A． B．C．D．36π
10．（5分）设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）
A．α＞βB．α＜βC．α+β＞0 D．α2＞β2
11．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，左、
右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
12．（5分）如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a 的取值范围是（）
A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在题中横线上.）
13．（5分）已知向量，，则向量在方向上的投影
为．
14．（5分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，AB=2，sin∠
BAC=，AD=3，则BD的长为．
15．（5分）设随机向量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）=0.2，则函
数f（x）=x没有极值点的概率是．
16．（5分）天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”从新开始，即“甲戊”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80年时，即2029年为年．
三、解答题（本大题共6个小题，满分60分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）
17．（12分）已知数列{a n}的各项都是正数，它的前n项和为S n，满足2S n=a n2+a n，记b n=（﹣1）n．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{b n}的前2016项的和．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，点P在底面ABCD
上的射影为A，BC=CD=AD=1，E为棱AD的中点，M为棱PA的中点．
（1）求证：BM∥平面PCD；
（2）若∠ADP=45°，求二面角A﹣PC﹣E的余弦值．
19．（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
20．（12分）在平面直角坐标系中，动圆经过点M（0，t﹣2），N（0，t+2），P （﹣2，0）．其中t∈R．
（1）求动圆圆心E的轨迹方程；
（2）过点P作直线l交轨迹E于不同的两点A，B，直线OA与直线OB分别交直线x=2于两点C，D，记△ACD与△BCD的面积分别为S1，S2．求S1+S2的最小值．21．（12分）已知函f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
①讨论f（x）的单调性；
②设a＞0，证明：当0＜x＜时，；
③函数y=f（x）的图象与x轴相交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′（x0）＜0．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计算，作
答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在极坐标系中，点P的坐标是（1，0），曲线C的方程为ρ=2．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点P．
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值．
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥t对∀x∈R恒成立．（1）求t的取值范围；
（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a2+b2=T，求证：≤．
2017年内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合M={x|x＜1}，N={x|x（x﹣1）＜0}，则M∪N=（）A．∅B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜0}D．{x|x＜1}
【解答】解：集合M={x|x＜1}，
N={x|x（x﹣1）＜0}={x|0＜x＜1}，
∴M∪N={x|x＜1}．
故选：D．
2．（5分）复数的虚部为（）
A．i B．1 C．﹣i D．﹣1
【解答】解：．
复数的虚部为1
故选B．
3．（5分）下列函数中满足在（﹣∞，0）上单调递减的偶函数是（）A．B．y=|log2（﹣x）| C．D．y=sin|x|
【解答】解：对于A：根据指数函数的性质，的图象是y=图象把y轴的右边图象翻折后得左边图象，在（﹣∞，0）上单调递增函数，∴A不对．对于B：根据图象，y=|log2（﹣x）|，在（﹣∞，﹣1）是减函数，（﹣1，0）是增函数，∴B不对．
对于C：根据幂函数的性质可知：是偶函数，指数，（0，+∞）是增
函数．（﹣∞，0）上单调递减．∴C对．
对于D：根据正弦函数的性质可知：y=sin|x|的图象是由sinx在y轴的右边图象翻折后得左边图象．
故选：C．
4．（5分）某工厂生产某种产品的产量x（吨）与相应的生产成本y（万元）有如下几组样本数据：
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得到其回归直线的斜率为0.8，则当该产品的生产成本是6.7万元时，其相应的产量约是（）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
【解答】解：计算=×（3+4+5+6）=4.5，
=×（2.5+3.1+3.9+4.5）=3.5；
代入回归方程=0.8x+得
3.5=0.8×
4.5+，
解得=﹣0.1；
∴回归方程为=0.8x﹣0.1，
令=0.8x﹣0.1=6.7，
解得x=8.5，
据此模型预测生产成本是6.7万元时，其相应的产量约是8.5吨．
故选：B．
5．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，直线AB过焦点，且|AB|=2，则双曲线实轴长为（）
A．B．C．D．3
【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线为等边三角形OAB的边OA、OB所在直线，
可得，直线AB过焦点，且|AB|=2，
可得c=，
则，
解得a=．
则双曲线实轴长为：3．
故选：D．
6．（5分）如图，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B（，﹣），点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=（）
A．﹣ B．﹣ C．D．
【解答】解：如图，由B（，﹣），得OB=OC=1，又BC=1，
∴∠BOC=，∠AOB=，由直角三角形中的三角函数的定义可得sin （）=sin∠AOB=，cos∠AOB=
∴sinα=sin（）=sin cos∠AOB﹣cos sin∠AOB
=，
cosα=cos（）=cos cos∠AOB+sin sin∠AOB
=．
∴cos（﹣α）
==．
故选：B．
7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，最长棱的长度是（）
A．B．C．6 D．
【解答】解：根据题意，得几何体如图；
该几何体是三棱锥A﹣BCD，
且该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，
所以，在三棱锥A﹣BCD中，最长的棱长为AD，
且AD===6．
故选C．
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=3，n=3，输入的a依次为由小到大顺序排列的质数（从最小质数开始），
直到结束为止，则输出的s=（）
A．9 B．27 C．32 D．103
【解答】解：由题意，模拟程序的运行，可得
x=3，n=3，k=0，s=0
执行循环体，a=2，s=2，k=1
不满足条件k＞3，执行循环体，a=3，s=9，k=2
不满足条件k＞3，执行循环体，a=5，s=32，k=3
不满足条件k＞3，执行循环体，a=7，s=103，k=4
满足条件k＞3，退出循环，输出s的值为103．
故选：D．
9．（5分）在封闭直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=15，BC=8，AA1=5，则V的最大值是（）
A． B．C．D．36π
【解答】解：要使球的体积V最大，必须使球的半径R最大．
Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=15，BC=8，∴AC=17，△ABC内切圆的半径为r=4，所以由题意易知球与直三棱柱的上、下底面都相切时，球的半径取得最大值为．此时球的体积为πR3=，
故选：B．
10．（5分）设函数，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列不等式必定成立的是（）
A．α＞βB．α＜βC．α+β＞0 D．α2＞β2
【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈，
∵f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，x∈为偶函数．
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；
同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]单调递减；
∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立；故选D．
11．（5分）已知椭圆（a＞b＞0）的左顶点和上顶点分别为A，B，左、
右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且仅有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），
∴直线AB的方程为：，整理得：bx﹣ay+ab=0，
设直线AB上的点P（x，y）
则bx=ay﹣ab，
∴x=y﹣a，
∵PF1⊥PF2，
∴•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2
=（）2+y2﹣c2，
令f（y）=（）2+y2﹣c2，
则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，
∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，
∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，
整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，e2=，
∴e4﹣3e2+1=0，
∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），
∴e=．
椭圆的离心率，
故选：D．
12．（5分）如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a 的取值范围是（）
A．（﹣∞，]B．[3，+∞）C．[﹣2，2]D．[﹣3，3]
【解答】解：∀实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立⇔+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，
令f（y）=+，
则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，
当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）min=3；当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f （y）max=﹣3，f（y）min不存在；
综上所述，f（y）min=3．
所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．
①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．
由于g′（t）=1﹣＜0，
所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，
因此，g（t）min=g（1）=3，
所以a≤3；
②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；
③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；
综合①②③，﹣3≤a≤3．
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案直接填在题中横线上.）
13．（5分）已知向量，，则向量在方向上的投影为﹣3．
【解答】解：因为向量，，
则向量在方向上的投影为；
故答案为：﹣3．
14．（5分）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，AB=2，sin∠
BAC=，AD=3，则BD的长为3．
【解答】解：在△ABC中，∵点D在BC边上，AD⊥AC，AB=2，sin∠BAC=，AD=3，
∴sin（∠BAD+90°）=cos∠BAD=，
∴BD=
==3．
故答案为：3．
15．（5分）设随机向量η服从正态分布N（1，σ2），若P（η＜﹣1）=0.2，则函
数f（x）=x没有极值点的概率是0.7．
【解答】解：f′（x）=x2+2x+η2，
若f（x）没有极值点，则f′（x）=0最多只有1个解，
∴△=4﹣4η2≤0，
解得η≤﹣1或η≥1．
∵η～N（1，σ2），∴P（η≥1）=0.5，
又P（η＜﹣1）=0.2，
∴P（η≤﹣1或η≥1）=0.5+0.2=0.7．
故答案为：0.7．
16．（5分）天干地支纪年法，源于中国．中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如说第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”从新开始，即“甲戊”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到新中国成立80年时，即2029年为己酉年．
【解答】解：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，
则80÷10=8，则2029的天干为己，
80÷12=6余8，则2029的地支为酉，
故答案为：己酉
三、解答题（本大题共6个小题，满分60分，解答写出文字说明，证明过程或演算过程）
17．（12分）已知数列{a n}的各项都是正数，它的前n项和为S n，满足2S n=a n2+a n，记b n=（﹣1）n．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{b n}的前2016项的和．
【解答】解：（1）∵
∴…..（2分）
∴…．（3分）
即（a n
+1+a n）（a n
+1
﹣a n﹣1）=0
∵a n＞0∴a n
+1
+a n＞0
∴a n
+1
﹣a n=1…..（4分）
令n=1，则∴a1=1或a1=0
∵a n＞0∴a1=1…（5分）
∴数列{a n}是以1为首项，以为公差1的等差数列
∴a n=a1+（n﹣1）d=n，n∈N*…（6分）
（2）由（1）知：…（8分）
∴数列{b n}的前2016项的和为T n=b1+b2+…+b2016
=
=…（10分）
==…（12分）
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，点P在底面ABCD
上的射影为A，BC=CD=AD=1，E为棱AD的中点，M为棱PA的中点．
（1）求证：BM∥平面PCD；
（2）若∠ADP=45°，求二面角A﹣PC﹣E的余弦值．
【解答】解：（1）证明：法一：取PD的中点N，连接MN，CN．
在△PAD中，N、M分别为棱PD、PA的中点∴
∵∴四边形BCNM是平行四边形∴BM∥CN
∵BM⊂平面PCD，CN⊄平面PCD∴BM∥平面PCD…（5分）
（法二：连接EM，BE．
在△PAD中，E、M分别为棱AD、PA的中点∴MN∥PD
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形∴BE∥CD∵BE∩ME=E，MN∥PD，BE∥CD
∴平面BEM∥平面PCD∵BM⊂平面BEM∴BM∥平面PCD）
（2）以A为原点，以，的方向分别为x轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz…（6分）
则A（0，0，0），C（2，1，0），E（1，0，0）．
∵点P在底面ABCD上的射影为A
∴PA⊥平面ABCD
∵∠ADP=45°∴PA=AD=2
∴P（0，0，2）
∴，，…
..（7分）
设平面PAC的一个法向量，
则
设a=1，则…..（9分）
设平面PCE的一个法向量为，
则，
设x=2，则…（10分）
∴cos==…..（11分）
由图知：二面角A﹣PC﹣E是锐二面角，设其平面角为θ，则
cosθ=|cos|=…（12分）
19．（12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为
该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．
（1）求Z的分布列和均值；
（2）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．
【解答】（12分）
解：（1）设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有
，①如图1，目标函数为：z=1000x+1200y．
当W=12时，①表示的平面区域如图1，三个顶点分别为A（0，0），B（2.4，4.8），C（6，0）．
将z=1000x+1200y变形为，
当x=2.4，y=4.8时，直线l：在y轴上的截距最大，
最大获利Z=Z max=2.4×1000+4.8×1200=8160．
当W=15时，①表示的平面区域如图2，三个顶点分别为A（0，0），B（3，6），
C（7.5，0）．．
将z=1000x+1200y变形为，
当x=3，y=6时，直线l：在y轴上的截距最大，
最大获利Z=Z max=3×1000+6×1200=10200．
当W=18时，①表示的平面区域如图3，四个顶点分别为A（0，0），B（3，6），C（6，4），D（9，0）．
将z=1000x+1200y变形为：，
当x=6，y=4时，直线l：y=﹣56x+z1200在y轴上的截距最大，最大获利Z=Z max=6×1000+4×1200=10800．
故最大获利Z的分布列为：
因此，E（Z）=8160×0.3+10200×0.5+10800×0.2=9708
（2）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率P1=P（Z＞10000）=0.5+0.2=0.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为：
．
20．（12分）在平面直角坐标系中，动圆经过点M（0，t﹣2），N（0，t+2），P （﹣2，0）．其中t∈R．
（1）求动圆圆心E的轨迹方程；
（2）过点P作直线l交轨迹E于不同的两点A，B，直线OA与直线OB分别交直线x=2于两点C，D，记△ACD与△BCD的面积分别为S1，S2．求S1+S2的最小值．【解答】解：（1）设动圆的圆心为E（x，y）
则即：（x+2）2+y2=4+x2
∴y2=﹣4x
即：动圆圆心的轨迹E的方程为y2=﹣4x…．（4分）
（2）当直线AB的斜率不存在时，AB⊥x轴，此时，
∴∴∴…．（5分）
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则k≠0，
直线AB的方程是y=k（x+2），k≠0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y，
得：k2（x+2）2+4x=0（k≠0），即：k2x2+4（k2+1）x+4k2=0（k≠0）
∴△=16（2k2+1）＞0，，x1x2=4…．（7分）
由A（x1，y1），B（x2，y2）知，直线AC的方程为，直线AC的方程为，∴，∴，∴，…..（9分）
∴，
令，则t＞0，，
由于函数在（0，+∞）上是增函数…（11分）
∴∴，
综上所述，
∴S1+S2的最小值为…（12分）
21．（12分）已知函f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
①讨论f（x）的单调性；
②设a＞0，证明：当0＜x＜时，；
③函数y=f（x）的图象与x轴相交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明f′（x0）＜0．
【解答】解：①函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f'（x）=﹣2ax+（2﹣a）=﹣，
（i）当a＞0时，则由f'（x）=0，得x=，
当x∈（0，）时，f'（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）上单调递减；
（ii）当a≤0时，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增；
②设函数g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），
则g（x）=[ln（+x）﹣a（+x）2+（2﹣a）（+x）]﹣[ln（﹣x）﹣a（﹣x）2+（2﹣a）（﹣x）]=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，
g'（x）=+﹣2a=，
当x∈（0，）时，g'（x）＞0，而g（0）=0，
∴g（x）＞g（0）=0，
故当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x）；
③由①可得，当a≤0时，函数y=f（x）的图象与x轴至多有一个交点，
故a＞0，从而f（x）的最大值为f（），且f（）＞0，
不妨设A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，则0＜x1＜＜x2，
由②得，f（﹣x1）=f（﹣x1）＞f（x1）=f（x2）=0，
又f（x）在（，+∞）上单调递减，
∴﹣x1＜x2，于是x0=＞，
由①知，f'（x0）＜0．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计算，作答时请写清题号．选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在极坐标系中，点P的坐标是（1，0），曲线C的方程为ρ=2．以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为﹣1的直线l经过点P．
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l和曲线C相交于两点A，B，求|PA|2+|PB|2的值．
【解答】（本小题满分10分）
解（1）由曲线C的极坐标方程可得，ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，因此曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x+2y
点P的直角坐标为（1，0），直线l的倾斜角为135°，所以直线l的参数方程为为参数）．（5分）
（2）将为参数）代入x2+y2=2x+2y，有，
设A，B对应参数分别为t 1，t2，有，根据直线参数方程t 的几何意义有，|PA|2+|PB|2=．（10分）
选修4-5：不等式选讲
23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥t对∀x∈R恒成立．（1）求t的取值范围；
（2）记t的最大值为T，若正实数a，b满足a2+b2=T，求证：≤．
【解答】解：（1）f（x）=|x+1|+|2﹣x|≥|x+1+2﹣x|=3，所以t≤3．（5分）（2）证明：由（1）知T=3，所以a2+b2=3（a＞0，b＞0）
因为a2+b2≥2ab，所以，又因为，
所以（当且仅当a=b时取“=”）．（10分）。