初中联赛题型解读一：整式与恒等变形

, , ,
联赛题型解读（一）——整式与恒等变形
一、“整式与恒等变形”真题分值分析
在近五年初中数学联赛中代数的分值占到了 54%之多,考察的题目数量也在 7 至 9 道 左右。

而代数的基础便是整式,其中乘法公式、因式分解以及恒等变形,为代数提供了丰富的 知识和技巧。

下面我们通过统计近 16 年初中数学联赛中整式的分值（注：至少在结构和形式上是对 整式的考察才会计入分值统计）,帮助大家更好的了解整式在联赛中考察的分值比重。

2001~2016联赛整式分值统计
45
40
41
41
35 32
32
30 27
25
20 21
21
15
14
14
14
14
10
7
14
7
7
5
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
总结这几年来初中数学联赛对整式的考察,整式一般会考察2 道题左右,考察的分值最 高达到 41 分（3 道一试题外加 1 道二试题）,而且整体趋势是在有一两年的高分值之后跟 随几年的低峰。

我们可以认为在接下来的一两年内,会在一试中进行 2 题左右的考察。

而且近三年的趋 势就是这一块的内容有加强考察的趋势,说明这方面的能力要求在提升。

二、整式中的知识与技巧
整式为后续分式和根式提供了方向,代数式是方程的基础,方程是函数的基础,而整式 恒等变形的技巧贯穿了整个代数,可以说整式是整个初中代数的基础与灵魂所在。

整式中的知识大体来说包含了：乘法公式 因式分解及恒等变形三个部分 这里简单的介 绍前两个部分的基础知识。

1.
乘法公式
这里介绍常用的八个乘法公式：
（1） 平方差： a 2 - b 2 = (a + b )(a - b )；
2 ⎣
; x x
a
,
（2） 平方： (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2 ；
（3） 三元完全平方： (a + b + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ；
（4） a 2 + b 2 + c 2 ± ab ± bc ± ca = 1 ⎡
(a ± b )2 + (b ± c )2 + (c ± a )2 ⎤ ；
⎦
（5） 和（差）的立方： (a + b )3 = a 3 + b 3 + 3ab (a + b );(a - b )3 = a 3 - b 3 - 3ab (a - b )；
（6） 立方和（差）： a 3 + b 3 = (a + b )(a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = (a - b )(a 2 + ab + b 2 )；
（7） a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca )
（8） -a 4 - b 4 - c 4 + 2a 2b 2 + 2b 2c 2 + 2c 2 a 2 = (a + b + c )(a + b - c )(b + c - a )(c + a - b )
2.
因式分解
简单的介绍一下初中阶段可以学习和使用的 10 种常见因式分解的方法： （1） 提取公因式：上午+下午=（上+下）午；
（2） 公式法： x 6 - y 6 = (x 3 + y 3 )( 3 - y 3 )= (x + y )(x - y )(x 2 + xy + y 2 )( 2 - xy + y 2 )；
（3） 分组分解法： ax + ay + bx + by = a (x + y ) + b (x + y ) = (a + b )( x + y ) ；
（4） 十字相乘:二次三项式 abx 2 + (ad + bc ) x + cd = (ax + b )(cx + d ) ；
（5） 双十字相乘：选定两个二次三项式进行十字相乘；分步两次十字相乘大致相同；
（6） 拆项天项: a 4 + a 2b 2 + b 4 = a 4 + 2a 2b 2 + b 4 - a 2b 2 = (a 2 + ab + b 2 )( 2 - ab + b 2 );
（7） 整体换元：对于较复杂的式子可以进行适当换元让结构形式变得简单；
（8） 主元法：多字母的代数式,可以选择结构较好的字母当做主元进行因式分解；
（9） 因式定理：多项式 f ( x ) ,当 x = a 的时候 f (a ) = 0 ,则 f ( x ) 有因式 x - a （10） 轮换对称式:简单举例：若关于 x 、y 、z 的轮换式有因式 x - y ,则其有因式
(x - y )( y - z )( z - x )
前 8 种因式分解的方法在初中均要求学生掌握后 2 种有兴趣有精力的学生可以选 择性的进行学习。

3.
恒等变形的常见技巧 （1） 因式分解； （2） 配方；
（3） 消元、降次； （4） 轮换对称； （5） 配对.
a 2 + 4a -
b 2 - b + (a 2 + b 2 ) = ,即3a 2 + 8a = (b +1) 2 ≤4 a 2 ,所以 a ≥ 8 或 a ≤ 0 ,因此
, , , , (1+ a a 3
三、联赛中整式的考察方式
1、结合绝对值
结合绝对值非负性以及整数的离散性。

【例 1】 （2009 年联赛）如果实数 a ,b 满足条件 a 2 + b 2 = 1, 1 - 2a + b + 2a + 1 = b 2 - a 2 ,则
a +
b = ．
【解析】 -1 .分情况讨论 ,可得 1 - 2a + b + 2a + 1 = b 2 - a 2 或-(1 - 2a + b ) + 2a + 1 = b 2 - a 2 ．
如果是第一种则 b + 2 = b 2 - a 2 消去 a 可得 2b 2 - b - 3 = 0 可得 b = -1 或 3
．经检验,
2
b = -1, a = 0 符合,所求结果为-1 ；
如果是第二种 ,则4a - b = b 2 - a 2 ．因为去绝对值符号的时候有 1 - 2a + b ≤ 0 ,即
2a ≥ b + 1 , 而 b + 1≥ 0 ,则设法凑出含有 b + 1 的形式．因为 a 2 + 4a - b 2 - b = 0 ,所以
1 1
2 2
只能有 a = 0 ,和第一种情况是同一个解．
2、不定方程
这类问题通常是考虑整数解的问题,经常使用到因式分解,配方或者放缩。

【例2】 (2007 年竞赛)方程 x 3 + 6x 2 + 5x = y 3 - y + 2 的整数解 (x , y ) 的个数是（
）．
A.0
B.1
C.3
D.无穷多
【解析】选 A.原方程可变形为：x (x +1)( x + 2) + 3x (x +1) = y ( y +1)( y + 2) + 2,左边是 6 的倍
数,而右边不是 6 的倍数．
3、整体降次
结合整体和降次的思想 利用大除法等工具 ,近些年来这类题目更多的会结合根式和 分式的形式出现 ,这类题目我们会在分式和根式中再次介绍 ,目的是希望大家牢固的掌握。

【例3】 （1998 年联赛）已知 x 2 - x -1 = 0 ,那么代数式 x 3 - 2x +1 的值是 【解析】 2 。

x 3 - 2x + 1 = (x + 1)(x 2 - x - 1)+ 2 = 2 .
．
【例4】 (2008 年联赛)设 a = 5 -1 ,则 a 5 + a 4 - 2a 3 - a 2 - a + 2 =
2 a
3 - a。

⎛ 5 -1 ⎫ 2 【解析】 -2 。

∵ a 2 = ⎪ =
⎝ 2 ⎭
3 - 5
= 1 - a ,∴ a 2 + a = 1, 2 a 5 + a 4 - 2a 3 - a 2 - a + 2
a 3 (a 2 + a )- 2a 3 - (a 2 + a )+ 2
∴ =
a 3
- a
a ⋅ a 2 - a
a - 2a -1+ 2 1- a 1- a
=
3
=
3
= -
3 =- a ⋅ (1- a ) - a
-a 2
1- a
)
+ 2 =- + =- (1 1)
2 ．
= = -1 , ( x + 1)( x + 2) = 【解析】C 。

x ( x + 3) = 5 - 3 2 2 4
⨯ = = 1 ,
, , 2 ⎭ ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ ⎝ ⎝ 2 ⎭ ⎛1 ⎫ ⎛
1 ⎫
2 ⎤ 2 ⎭ 2 = 5x 2 + (6 y - 30) x + 3y 2 - 20 y + 46 = 5 x +
3 ⎫2
- 5⎛ 3 ⎛ ⎛ 3 ⎫2 6 ⎛ 5 ⎫2 1 2 + y 2 - 2y + 1 = 5 x + y - 3 + y - ⎪ + y - 3⎪ 5⎝ 6 ⎭ 6 ⎝ 5 ⎭ 5 ⎝ 5 ⎫y - 3⎪ ⎪ x + 5 y - 3 = 0 当 ⎨ 时,上式取得最小值,此时 x = 5 , y = 5 ,最小值为 1 ．
【例5】 （2011 年竞赛）设 x = 5 - 3 ,则代数式 x (x + 1)(x + 2)(x + 3) 的值为（
） 2
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．2
⨯
5 + 3 5 - 9
5 - 1 5 + 1 5 - 1
2 2 4
4、配方与最值
配方法是我们初中阶段最重要的方法之一 某些题目里面需要我们把完全平方公式 理解和运用的比较熟练 ,同时在近些年中 ,利用乘法公式的一些变形以及函数的最值的 使 用也渐渐融入进来所以这类问题综合性在增加需要我们平时多留心积累经验。

2016年的 选择最后一题就是考察配方求最值. （1） 配方与最值 【例6】 （2016 年联赛）设实数 x , y , z 满足 x + y + z =1, 则 M = xy + 2yz + 3xz 的最大值
为 (
)．
1 2 3
A .
B .
C .
D . 1
2
3
4
【解析】C ．
M = xy + (2 y + 3x )z = xy + (2 y + 3x )(1- x - y ) = -3x 2 - 4xy - 2 y 2 + 3x + 2 y
⎡ ⎛ 1 ⎫2 = -2 ⎢ y 2 + 2 x - ⎪ y + x - ⎪ ⎥ - 3x 2 + 3x + 2 x - ⎪
⎢⎣
⎛ 1 ⎫2 1 ⎛
1 ⎫
2 ⎛ 1 ⎫2
3 3 = - 2 y + x - ⎪ - x 2 + x + = -2 y + x -
⎪ - x - ⎪ + ≤ ⎝ ⎝
2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 4 4 当且仅当 x = 1
2 , y = 0时, M 取等号,故 M
3
= ,故选 C ．
max 4
【例 7】 （2001 年联赛）求实数 x , y 的值 ,使得 ( y -1)2 + (x + y - 3)2 + (2x + y - 6)2 达到
最小值．
【解析】 (y - 1)2 + (x + y - 3)2 + (2x + y - 6)2
= 5x 2 + 6xy + 3y 2 - 30x - 20 y + 46
⎛ y - 3⎪2 + 3y 2 + 20 y + 46 ⎝ 5 ⎭ ⎝ 5 ⎭
= 5 x + ⎫
⎪ ⎭
⎧ 3 5 2 6 ⎪x - = 0 ⎪⎩ 6
6
故0 ≤ (ab - )2 ≤
,因此0 ≤ -2(ab - )2 + ≤ ,即0 ≤ a 4 + ab + b 4 ≤ . , , , + + 的值是（ , , a 2 + b 2 + c 2 = a + b + c = 3 .
（2） 乘法公式与最值
2012 年和 2013 年都是考察了乘法公式和最值问题,可见这个是一个热点。

【例8】 （2013 年联赛）如果实数 x 、y 、z 满足 x 2 +y 2 +z 2 - ( xy +yz +xz ) = 8 ,用 A 表示
x - y , y - z , z - x 的最大值 ,则 A 的最大值为。

【解析】 4
6
3
【例9】 （2012 年联赛）已知实数 a 、b 满足 a 2 + b 2 = 1,则 a 4 + ab + b 4 的最小值为（
）
A ． - 1
B ．0
C ．1
D ．
9
8
8
【解析】B.
1 9
a 4 + a
b + b 4 = (a 2 + b 2 )2 - 2a 2b 2 + ab = 1- 2a 2b 2 + ab = -2(ab - )2 + .
4 8
1 1 3 1 1
因为 2 | ab |≤ a 2 + b 2 = 1 ,所以 - ≤ ab ≤ ,从而 - ≤ ab - ≤ ,
2 2 4 4 4
1 9 1 9 9 9
4 16 4 8 8 8
因此 a 4 + ab + b 4 的最小值为 0当 a = -
2
, b = 2 或
a =
2
,b = - 2
取得
．
2 2
2 2
5、乘法公式的运用
（1） 乘法公式的直接使用
这类问题结构特征与常见的基本乘法公式明显一致直接使用即可当然我们需要注 意一些限制条件,比如分母,取等条件等等。

【例10】 （2004 年联赛）已知 abc ≠ 0 且 a + b + c = 0 则代数式
a 2
b 2
c 2
bc ca ab
）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
【解析】A ． a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca )= 0 ,
所以
3 3 3 bc ca ab abc
【例 11】 （2002 年竞赛）已知 a =1999 x + 2000,b =1999 x + 2001,c =1999 x + 2002 ,则多
项式 a 2 + b 2 +c 2 - ab - bc - ca 的值为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
【解析】D 。

a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca = 1 ⎡(a - b )2 + (b - c )2 + (c - a )2 ⎤ = 1 (1 + 1 + 4) = 3 。

2 ⎣
⎦
2
（2） 乘法公式的变形使用
,
,,
⎧m=3,⎧m=1,
⎩n=1,⎩n=3.
通常是在在代数变形过程中的将某些充分必要步骤用其他条件代替变成充分或者必要条件,所以需要我们观察题目的某些条件如何使用。

【例12】（2004年联赛）实数a,b满足a3+b3+3ab=1,则a+b=.【解析】a3+b3+(-1)3-3ab(-1)=(a+b-1)
(a2+b2+1-ab+a+b)=0,
所以a+b-1=0或a2+b2+1-ab+a+b=1⎡(a-b)2+(a+1)2+(b+1)2⎤=0
2⎣⎦所以a+b=1或a=b=-1,所以a+b=1或2．
【例13】（2007年联赛）设x=
a3+b3+3ab=
1
2-1
．
,a是x的小数部分,b是-x的小数部分,则
【解析】不难知a+b=1,所以a3+b3+3ab=a3+b3+3ab(a+b)=(a+b)3=1．（3）乘法公式与方程组
轮换对称型的方程组通常会大量的使用到乘法公式当然期中少量问题可以使用一元二次方程来解决,这里我们就简单介绍如何使用乘法公式来处理。

⎧x3+y3=19,
【例14】（2010年联赛）已知实数x,y满足方程组⎨
⎩x+y=1,
则x2+y2=．【解析】x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y),所以xy=-6,所以x2+y2=(x+y)2-2xy=13
（4）乘法公式与不定方程
有一类问题需要先用乘法公式将问题变形或者简化,然后转化为不定方程的问题。

【例15】（2010年联赛）设整数a,b,c(a≥b≥c)为三角形的三边长,满足：
a2+b2+c2-ab-ac-bc=13,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数．【解析】由已知等式可得令a-b=m,b-c=n,则a-c=m+n,其中m,n均为自然数.
于是,等式①变为m2+n2+(m+n)2=26,即m2+n2+mn=13由于m,n均为自然数,
判断易知,使得等式②成立的m,n只有两组：
和
⎨⎨
⑴当m=3,n=1时,b=c+1,a=b+3=c+4．又a,b,c为三角形的三边长,所以b+
c>a,即(c+1)+c>c+4,解得c>3．又因为三角形的周长不超过30,
即a+b+c=(c+4)+(c+1)+c≤30,解得c≤25．因此3<c≤25,所以c可以取
33
值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
⑵当m=1,n=3时,b=c+3,a=b+1=c+4．又a,b,c为三角形的三边长,所以b+c
>a,即(c+3)+c>c+4,解得c>1．又因为三角形的周长不超过30,
即a+b+c=(c+4)+(c+3)+c≤30,解得c≤23．因此1<c≤23,
33
所以c可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11．。