新人教版八年级上册数学第十二章《全等三角形》导学案

新人教版八年级上册数学第十二章《全等三角形》导学案
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边．
【重点难点】
1、找全等三角形的对应边、对应角．
2、全等三角形的性质．
知识概览图
新课导引
如右图所示，把△ABC 绕点A 旋转一定角度，得到△ADE ．
【问题探究】这个图形中有哪些线段相等?哪些角相等?为什
么? 【解析】相等的线段：AB 和AD ，AC 和AE ，BC 和DE ，相
等的角：∠B 和
∠D ，∠C 和∠E ．∠BAC 和∠DAE ，∠DAB 和∠EAC ．
教材精华
知识点１全等三角形的有关概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．
“全等”用“≌”表示，读作“全等于”，如△ABC ≌△A ′B ′C ′．当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
对应边相等 对应角相等 全等三角形
性质
规律方法小结在全等三角形中找出对应角和对应边，关键是先找出对应顶点，然后按对应顶点的字母顺序记两个三角形全等，再按顺序写出对应边和对应角．全等三角形的面积一定相等，但是面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．
√常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型．
(1)平移型：如图11-2和11-3所示，△ABC向右平移，得到△DEF，则△ABC≌△DEF．
(2)旋转型：如图11-4所示的两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图11-4(1)的旋转中心为点A，有公共部分∠1；图11-4(2)的旋转中心为点O，有一对对顶角∠1和∠2．
(3)翻折型：如图11-5所示，两对三角形的全等属于翻折型，其中图11-5(1)中有公共边AB，图11-5(2)中有公共角∠A．
知识点2全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
拓展(1)全等三角形的性质是以后我们证明线段相等或角相等的常用依据．
(2)全等三角形的对应边上的中线、高线及对应角的平分线也相等．
(3)全等三角形的周长和面积相等．
规律方法小结在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3)公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；(4)全等三角形中一对最短的边(或最小的角)是对应边(或对应角)．
课堂检测
基本概念题
1、如图11-6所示的两个三角形全等．
(1)若按对应顶点写在对应位置上，应写为△ABC≌；
(2)找出对应边和对应角：
AB＝，BC＝，CA＝，∠ABC＝，∠ACB＝，
∠BAC＝．
基础知识应用题
2、如图11-9所示，已知△ABD≌△ACE．试说明BE＝CD，∠DCO＝∠EBO．
综合应用题
3、如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为( )
A．15°B．20°
C．25°D．30°
4、如图所示，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上．判断AD与BC的位置关系，并加以说明．
探索创新题
5、如图所示，将△ABC绕其顶点A顺时针旋转30°后，得到△AEF．
(1)△ABC与△AEF的关系如何?
(2)求∠EAB的度数；
(3)△ABC绕其顶点A顺时针旋转多少度时，旋转后的△AEF的顶点F和△ABC的顶点C和A 在同一条直线上?
体验中考
1、如图11-18所示，AC，BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2、如图11-19所示，△ACB≌△A′C′B′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为( )
A．20°B．30°
C．35°D．40°
学后反思
附：课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析本题考查三角形全等的符号表示，以及全等三角形中的对应边、对应角．
答案：(1)△CDA(2)CD DA AC∠CDA∠CAD∠DCA
【解题策略】(1)对于全等三角形的书写，要注意通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，再根据顶点的对应关系写对应边或对应角．
(2)表示角时一般用三个大写字母．
2、分析本题主要考查全等三角形的性质及应用．
解：∵△ABD≌△ACE(已知)．
∴AD＝AE，AB＝AC，∠D＝∠E(全等三角形的性质)．
∵AD-AC＝AE-AB(等式的性质)，即DC＝BE.
又∵∠DCO＝∠A＋∠E，∠EBO＝∠A＋∠D(三角形的外角的性质)，
∴∠DCO＝∠EBO．
规律·方法全等三角形的性质：(1)全等三角形的对应边相等；(2)全等三角形的对应角相等；
(3)全等三角形的周长相等；(4)全等三角形的面积相等；(5)全等三角形中，对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线也分别相等．
3、分析本题主要考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠ABD＝∠EBD＝∠C，∠A＝∠BED＝∠DEC．又∵∠BED＋∠DEC＝180°，∴∠BED＝∠DEC＝90°，∴∠A＝90°．在△ABC中，∠ABD＋∠DBE＋∠C＝90°，∴3∠C＝90°，∴∠C＝30°．故选D．
4、分析本题主要考查全等三角形的性质与平行线的综合应用．由图形可以初步判断AD和BC的位置关系是平行，欲说明AD∥BC，需说明∠3＝∠4，要说明∠3＝∠4，需要利用三角形外角的性质．
解：AD与BC的位置关系是AD∥BC．理由如下：
∵△ADF≌△CBE(已知)，
∴∠1＝∠2，∠F＝∠E．
又∵点E，B，D，F在一条直线上，
∴∠3＝∠1＋∠F，∠4＝∠2＋∠E(三角形的外角的性质)，
∴∠3＝∠4(等量代换)．
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．
5、分析本题主要考查全等三角形的定义及灵活应用．
解：(1)∵△AEF是由△ABC绕其顶点A旋转形成的，
∴△ABC≌△AEF(全等三角形的定义)．
(2)∵△ABC≌△AEF(已证)，
∴∠BAC＝∠EAF(全等三角形的性质)．
∴∠BAC－∠BAF＝∠EAF－∠BAF(等式的性质)，
即∠FAC＝∠EAB．
又∵∠FAC＝30°(已知)，∴∠EAB＝30°(等量代换)．
(3)当△AEF的顶点F和△ABC的顶点A和C在同一条直线上时，△ABC应绕其顶点A顺时针旋转180°．
体验中考
1、分析本题考查全等三角形的概念．与△ABC全等的三角形共有4个，分别为△CDA，△DCB，△DCE，△BAD．故选D．
2、分析本题考查全等三角形的性质．由△ACB≌△A′CB′，
得∠BCA＝∠B′CA′，∴∠ACA′＝∠BCB′＝30°．故选B
12.2全等三角形的判定
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、掌握两个三角形全等的判定方法SAS.
2、掌握尺规作图：已知两边及夹角作三角形.
3、掌握用SAS 的判定证明两个三角形全等，掌握证明三角形全等的书写格式.
4、通过探索三角形全等的判定过程，体会探索研究问题的方法，培养分类讨论的数学思想.
【重点难点】
1、探索两个三角形全等的判定方法SAS ；
2、用SAS 的方法证明两个三角形全等，进而证明角相等、线段相等与平行及证明三角形全等时的书写格式.
知识概览图 新课导引
由全等三角形的性质可知：当两个三角形全等时，它们的三组对应边、三组对应角分别相等. 那么，如果两个三角形△ABC 和△A ’B ’C ’满足三条边对应相等，三个角对应相等，即：
AB=A ’B ’，AC=A ’C ’，BC=B ’C ’，∠A=∠A ’，∠B=∠B ’，∠C=∠C ’这六个条件，能保证这两个三角形全等吗？（能）
提问：两个三角形全等，是否一定需要六个条件？如果只满足上述六个条件的一部分，是否也能保
证两个三角形全等呢？（学生讨论各种情况，并加以总结） 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
对应边相等 对应角相等 全等三角形
性质
A A'
1、满足一个条件⎩⎨⎧一角对应相等一边对应相等
)2()1(
2、满足两个条件⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧角对应相等②一边及这条边所对的一个角对应相等①一边及与这边相邻的一边、一角对应相等两角对应相等两边对应相等)3()2()1(
3、满足三个条件⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧对边对应相等②两角和其中一个角的应相等①两角和它们的夹边对两角及一边对应相等的角对应相等②两边及其中一边所对等①两边及其夹角对应相两边及一角对应相等三角对应相等
三边对应相等)4()3()2()1( 列出一种情况，就通过画图讨论是否成立.
教材精华
知识点１全等三角形的判定1——SSS
判定1：三边对应相等的两个三角形全等（简写：SSS ）.
注意：1. 证明三角形全等的书写格式. 2. 两个三角形的对应顶点应写在对应位置上.
知识点2全等三角形的判定2——SAS
判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写：SAS ）.
② 反例：
知识点3全等三角形的判定3——ASA
判定3：两角和它们的公共边对应相等的两个三角形全等（简写：ASA ）.
A
C D E
注：在一个图形中，有多个垂直关系时，常用“同角或等角的余角相等”来证明两角相等，或用“等量代换”证明垂直关系.
说明：（1）连结公共边是一种常用的辅助线；（2）原则是尽量不拆分待证元素．
知识点4全等三角形的判定4——AAS
知识点5全等三角形的判定5——HL
判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写：HL）
[强调] 1. HL只对直角三角形适用.
2. 判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.
首选HL，再选其它方法.
课堂检测
基本概念题
1、判定两个三角形全等的方法：、、、
2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，
斜边是
3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）
根据（用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）
根据（用简写法）
（3）若AB=DE ，BC=EF ，
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法） （4）若AB=DE ，BC=EF ，AC=DF
则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法）
基础知识应用题
例1、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架. 求证：△ABD ≌△ACD
证明：∵D 是BC 中点（已知） …… (1)准备条件 ∴BD=CD （中点定义）
在△ABD 和△ACD 中， …… (2)指明范围
⎪⎩
⎪
⎨⎧===（公共边）（已证）（已知）AD AD CD BD AC AB …… (3)列齐条件
∴ △ABD ≌△ACD （SSS ）…… (4)得出结论
提问：此题还能得到哪些结论？① 三组角对应相等；② AD 平分∠BAC ；③ AD ⊥BC. 注意：1. 证明三角形全等的书写格式. 2. 两个三角形的对应顶点应写在对应位置上. 例2、如图，AC=EF ，BC=DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD=FB. 求证：∠C=∠E
证明：∵AD=FB （已知） …… (1)准备条件 ∴AD+DB=FB+DB 即AB=FD
在△ABC 和△FDE 中， …… (2)指明范围
⎪⎩
⎪
⎨⎧===（已证）（已知）（已知）FD AB DE BC EF AC …… (3)列齐条件
A
B
F
E
C
D A
C
D
∴△ABC ≌△FDE （SSS ） …… (4)得出结论 ∴∠C=∠E （全等三角形的对应角相等）
提问：此题还能得到哪些结论？① 另两组角对应相等；② AC ∥EF ；③BC ∥DE.
小结：证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来
解决.
例2、如图，AD=AE ，点D 、E 在BC 上，BD=CE ，∠1=∠2. 求证：∠B=∠C
分析：先看∠B 、∠C 分别在哪两个三角形中，再证那两个
三角形全等.
证明：方法1、（证△ABE ≌△ACD ，过程略） 方法2、（证△ABD ≌△ACE ） ∵D 、E 在BC 上
∴∠1+∠3=180º，∠2+∠4=180º（邻补角定义） ∵∠1=∠2（已知）
∴∠3=∠4（等角的补角相等） 在△ABD 和△ACE 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=（已知）（已证）（已知）CE BD 4
3AE AD ∴△ABD ≌△ACE(SAS)
∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
提问：此题还能得到哪些结论？①AB=AC ；②∠BAD=∠CAE ；③∠BAE=∠CAD.
例1、如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD. 求证：BC=AD.
证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD （已知）
∴∠C=∠D=90º（垂直定义） 在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，
3
4
2
1B
A
D
E
A
D
C
⎩⎨
⎧==（已知）
（公共边）BD AC BA AB
∴ Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ） ∴ BC=AD （全等三角形的对应边相等）
例2、已知：如图，在△ABC 和△A ’B ’C ’中，∠ACB=∠A ’C ’B ’，CD 和C ’D ’都是高，且AC=A ’C ’，
CD=C ’D ’. 求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’ 证明：∵CD 和C ’D ’是高 ∴∠ADC=∠A ’D ’C ’=90º 在Rt △ADC 和Rt △A ’D ’C ’中
⎩⎨
⎧==（已知）（已知）'D
'C CD 'C 'A AC
∴ Rt △ADC ≌Rt △A ’D ’C ’（HL ） ∴∠A=∠A ’ 在△ABC 和△A ’B ’C ’中
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠'A A 'C 'A AC '
B '
C 'A ACB
∴△ABC ≌△A ’B ’C ’ （ASA ）
综合应用题
1、已知：如图，AD ＝BE ，AC ＝BC ，CD ＝CE. 求证：△AEC ≌△BDC
证明：AD BE = AD DE BE DE ∴+=+ 即AE BD =
在AEC ∆和BDC ∆中
AE BD AC BC CE CD =⎧⎪
=⎨⎪=⎩ AEC BDC ∴∆≅∆ （SSS ） *还能得到什么结论（相等关系）？ 2、已知：如图，AB=DC ，AD=BC. 求证：(1)∠A=∠C ；
C
A
B
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
D C
B A
(2) AB ∥CD ，AD ∥BC .
分析：连BD （或AC ）证三角形全等即可，只需证明ABD CDB ∆≅∆ （SSS ） 即可得A C ∠=∠（全等三角形对应角相等）
说明：（1）连结公共边是一种常用的辅助线；（2）原则是尽量不拆分待证元素．
例1、如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B
的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA. 连接BC 并延长到E ，使CE=CB. 连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离. 为什么？
分析：要证AB=DE ，只需证△ABC ≌△DEC. 在△ABC 和△DEC 中，已知CA=CD ，CB=CE ，
又隐含了∠1=∠2，故全等条件具备，可证. 证明：在△ABC 和△DEC 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=（已知）（对顶角相等）（已知）
CE CB 2
1CD CA ∴ △ABC ≌△DEC （SAS ）
∴ AB=DE （全等三角形的对应边相等）
提问：此题还能得到哪些结论？①另两组角对应相等；②AB ∥DE.
小结：1、SAS ——两边及夹角对应相等. 大括号中的条件应按SAS 的顺序书写.
2、证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等
来解决.
3、在实际生活中，常利用三角形全等原理，把不能直接度量的物体“移到”可以直接度量的位置上来度量.
例2、如图，AD=AE ，点D 、E 在BC 上，BD=CE ，∠1=∠2. 求证：∠B=∠C
分析：先看∠B 、∠C 分别在哪两个三角形中，再证那两个
三角形全等.
证明：方法1、（证△ABE ≌△ACD ，过程略） 方法2、（证△ABD ≌△ACE ）
B
A
2
1C
3
4
2
1A
C
D
E
∵D 、E 在BC 上
∴∠1+∠3=180º，∠2+∠4=180º（邻补角定义） ∵∠1=∠2（已知）
∴∠3=∠4（等角的补角相等） 在△ABD 和△ACE 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=（已知）（已证）（已知）CE BD 4
3AE AD ∴△ABD ≌△ACE(SAS)
∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
提问：此题还能得到哪些结论？①AB=AC ；②∠BAD=∠CAE ；③∠BAE=∠CAD.
如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由
答： 理由：∵ AF ⊥BC ，DE ⊥BC （已知）
∴ ∠AFB=∠DEC= °（垂直的定义） 在Rt △ 和Rt △ 中
⎩⎨
⎧==_________
_______________
_______ ∴ ≌ （ ）[中@#国教育出~&版*网] ∴∠ = ∠ （ ） ∴ （内错角相等，两直线平行）
例3、如图，线段AC 、BD 交于点O ，AB=CD ，BF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，AE=CF.
求证：BO=OD 证明：（以图1为例）
∵BF ⊥AC ，DE ⊥AC （已知）∴∠1=∠2=90º（垂直定义）
A
F
B
E C
O 4321
∵AE=CF （已知） ∴AE+EF=CF+EF 即AF=CE
在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，
⎩
⎨
⎧==（已证）（已知）
CE AF CD AB
∴ Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） ∴ BF=DE （全等三角形的对应边相等）
在△BFO 和△DEO 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠（已证）（对顶角相等）（已证）DE BF 4
321 ∴ △BFO ≌△DEO （AAS ） ∴ BO=DO （全等三角形的对应边相等）
例1、如图，DC=EA ，EC=BA ，DC ⊥AC ，BA ⊥AC ，垂足分别是C 、A. 求证：BE ⊥DE.
证明：∵DC ⊥AC ，BA ⊥AC （已知）
∴∠A=∠C=90º（垂直定义） 在△AEB 和△CDE 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=（已知）（已证）（已知）
DC EA C A EC BA ∴△AEB ≌△CDE(SAS)
∴∠B=∠2（全等三角形的对应角相等） ∵∠A =90º ∴∠B+∠1=90º ∵∠B=∠2（已证） ∴∠1+∠2=90º（等量代换） ∵∠AEC=180º ∴∠BED=90º
∴BE ⊥DE （垂直定义）
例2、如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90º，AN 是过A 的任一条直线，BD ⊥AN 于D ，
CE ⊥AN 于E. 求证：DE=BD -CE. 证明：∵BD ⊥AN
A
F
B
E
C
D
O 653421图1
图2
A
D
3
2A
E
D
B
C
2
1
∴∠ADB =90º（垂直定义） ∴∠1+∠2=90º ∵∠BAC=90º
∴∠2+∠3=90º
∴∠1=∠3（同角的余角相等） ∵BD ⊥AN ，CE ⊥AN
∴∠ADB=∠CEA=90º（垂直定义） 在△ABD 和△CAE 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠（已知）（已证）（已证）
C A B A EA C DB A 31 ∴△AB
D ≌△CA
E (AAS)
∴AE=BD ，CE=AD （全等三角形的对应边相等）
∵DE=AE -AD
∴DE=BD -CE （等量代换）
注：在一个图形中，有多个垂直关系时，常用“同角或等角的余角相等”来证明两角相等，或用
“等量代换”证明垂直关系.
例3、如图，两条直线AC 、BD 相交于O ，AB ∥CD ，AB=CD ，直线EF 过点O 且分别交BC 、
AD 于点E 、F. 求证：OE=OF 证明：∵AB ∥CD （已知）
∴∠B=∠D （两直线平行，内错角相等） 在△ABO 和△CDO 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠（已知）（对顶角相等）（已证）CD AB COD AOB D B
∴ △ABO ≌△CDO （AAS ）
∴ BO=DO （全等三角形的对应边相等） 在△EBO 和△FDO 中，
E
B
D A
F
O
C
2
1
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠（对顶角相等）（已证）（已证）21DO BO D B
∴△EBO ≌△FDO （ASA ）
∴OE=OF （全等三角形的对应边相等）
例4、如图，AB=CD ，AD=BC ，DE=BF. 求证：BE=DF 分析：可连接公共边构造全等. 证明：连接DB
在△ABD 和△CDB 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧===（公共边）（已知）（已知）BD DB CD AB CB AD
∴△ABD ≌△CDB （SSS ）
∴∠ADB=∠CBD （全等三角形的对应角相等） ∵∠ADB+∠EDB=180°，∠CBD+∠FBD=180° ∴∠EDB=∠FBD （等角的补角相等） 在△EDB 和△FBD 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=（公共边）（已证）（已知）
BD DB FBD EDB BF DE
∴△EDB ≌△FBD （SAS ）
∴BE=DF （全等三角形的对应边相等）
注：连接公共边构造全等是一种常用的添加辅助线的方法.
探索创新题
2、已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2.
A B
2
1C
B
A
D
E
F
求证：△ABD ≌△ACE
（本题主要是让学生能结合图形挖掘“公共角”的隐含条件，
为证明全等提供依据）
3、已知：如图，AD 为ABC ∆的中线．求证：2AB AC AD +>． 证明：延长AD 至E ，使DE AD =． 则有ADC EDB ∆≅∆ （SAS ） BE AC ∴=
在ABE ∆中，AB BE AE +>，即2AB AC AD +>
例2、求证：两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等.（P27 12）
已知：在△ABC 和△A ’B ’C ’中，AB=A ’B ’，BC=B ’C ’，AD 、A ’D ’分别是BC 、B ’C ’边上的中
线，AD=A ’D ’.
求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’
证明：∵AD 、A ’D ’分别是BC 、B ’C ’边上的中线
∴BD=21BC ，B ’D ’=2
1
B ’
C ’
∵BC=B ’C ’ ∴BD=B ’D ’
在△ABD 和△A ’B ’D ’中
⎪⎩
⎪
⎨⎧===（已知）（已证）（已知）
'D 'A AD '
D 'B BD 'B 'A AB ∴△ABD ≌△A ’B ’D ’（SSS ）
∴∠B=∠B ’（全等三角形的对应角相等） 在△ABC 和△A ’B ’C ’中
A
D
C B
E
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=（已知）（已证）（已知）
'C 'B BC '
B B 'B 'A AB ∴△AB
C ≌△A ’B ’C ’（SAS ） 小结：证明几何命题的的一般步骤：（P21）
①明确命题中的已知和求证；
②根据题意，画出图形，并结合图形，用数学符号表示已知和求证； ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程.
例3、已知如图，ΔABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥DF ，试判断BE ＋CF 与EF 的大小关系，并证
明你的结论.
分析：有中点，就有等长的线段， 故可通过旋转180°构造全等.
结论：BE ＋CF>EF
证明：延长FD 至点G ，使DG=DF ，
连接EG 、BG. ∵D 是BC 中点
∴BD=DC
在△BGD 和△CFD 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DF DG CDF BDG CD BD ∴△BGD ≌△CFD (SAS) ∴BG=CF
∵DE ⊥DF ∴∠EDG=∠EDF=90° 在△EDG 和△EDF 中
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠=DF DG EDF EDG ED
ED
∴△EDG ≌△EDF ∴EG=EF
F
D
A
C E
H
F D A
B
C
E
∵在△EBG中，BE＋BG>EG ∴BE＋CF>EF 注：有中点、中线时，可通过旋转180°构造全等
体验中考
学后反思
12.3等腰三角形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、等腰三角形的定义、性质和判定；
2、等边三角形的定义、性质和判定；
3、直角三角形的性质； 【重点难点】
1、等腰三角形的定义、性质和判定；
2、等边三角形的定义、性质和判定；
3、直角三角形的性质；
知识概览图
新课导引
如右图所示，在海上A ，B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A ＝∠B ，如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事
地点(不考虑风浪因素)?
【问题探究】 若想判断能否同时到达出事地点，就是要判断OA 与OB 是
否相等，如何判断OA 与OB 的大小呢?
【解析】 如右图所示，过点O 作OC ⊥AB ，C 为垂足，则在△AOC 与△BOC 中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,OC OC BCO ACO B A 故△AOC ≌△BOC (AAS)，故AD ＝BO ．
定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形 (1)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(三线合一)
判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
等边三角形
直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
斜边的一半
定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形
性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° (1)三个角都相等的三角形是等边三角形 (2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
等腰三角形
性质
判定
教材精华
知识点1等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
知识点2等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形是轴对称图形．
性质2：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)．
性质3：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称等腰三角形“三线合一”)．
拓展(1)当等腰三角形的顶角为90°时，则此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°．
(2)利用等腰三角形的性质2，可以证明两个角相等．
(3)利用等腰三角形“三线合一”可以证明线段相等、垂直或角相等．
(4)另外，等腰三角形还有以下性质：
①等腰三角形两腰上的中线、高线相等．
②等腰三角形两底角的平分线相等．
③等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
知识点3 等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．
拓展(1)等腰三角形的判定有以下几种方法：
①定义．
②判定定理．
③垂直平分线的性质．
(2)“等边对等角”是等腰三角形的性质，先有边相等，进而得出角相等．“等角对等边”是判定三角形为等腰三角形的依据，先有角相等，进而得出边相等，即为等腰三角形．“等边对等角”或“等角对等边”只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不成立．
(3)等腰三角形的底角只能是锐角，顶角可以是锐角、直角或钝角．
(4)由三角形两边之和大于第三边可知等腰三角形的腰长大于底边的一半．
知识点4 等边三角形
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
性质：等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
判定：
(1)三边都相等的三角形是等边三角形．
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．
(3)有两个角是60°的三角形是等边三角形．
(4)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
拓展等边三角形的判定条件不相同，选择的方法也不相同．四种方法要灵活选用．
知识点5 含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
拓展此性质的大前提是“在直角三角形中”，如果没有这个条件，即使有30°角，结论也不成立．
课堂检测
基础知识应用题
1、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）
A．20°B．120°C．20°或120°D．36°
2、已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝．
综合应用题
3、如图12－74所示．在等腰三角形ABC中，CH是底边上的高线．点P 是线段CH上不与端点重合的任意一点．连接AP交BC于点E，连接BP交AC 于点F．
(1)求证∠CAE＝∠CBF；
(2)求证AE＝BF；
(3)以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG(点E与点F重合于点G)．记△ABC
和△ABG的面积分别为S
△ABC 和S
△ABG
，如果存在点P，能使得S
△ABC
＝S
△ABG
，求∠ACB的取值范
围．
探索创新题
4、如图12－78所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BD＝BC，AE＝AC．判断∠DCE的大小是否与∠A有关．如果有关，说明理由；如果无关，求∠DCE的度数．
体验中考
1、如图所示，△ABC中，AB＝AC＝x，BC＝6，则腰长x的取值范围是( )
A．0＜x＜3 B．x＞3
C．3＜x＜6 D．x＞6
2、下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是( )
A ．两边之和大于第三边
B ．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C ．有两个锐角的和等于90°
D ．内角和等于180°
3、如图所示，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，在BC 的延长线上取一点E ，使CE ＝CD ．求证BD ＝DE ．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测
1、分析 此题应分两种情况：当顶角与底角度数之比为1∶4时，三个角的度数之比为1∶4∶
4，因此三个内角分别为180°×91＝20°，180°×94＝80°，180°×9
4
＝80°．当顶角与底角
度数之比为4∶1时，同理可求得三个内角度数分别为120°，30°，30°．因此这个等腰三角形的顶角为120°或20°．故选C ．
本题考查了三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，也可用排除法，因为有两种情况，所以
可直接选C ．
2、分析 本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的综合应用．因为AB ＝AC ，所以∠B ＝∠C ＝60°，因为∠A ＝180°－∠B －∠C ，所以∠A ＝180°－60°－60°＝60°．故填60°．
3、分析本题考查了等腰三角形与全等三角形的综合应用．第(3)问应注意进行分类讨论． 证明：(1)∵△ABC 是等腰三角形，CH 是底边上的高线， ∴AC ＝BC ，∠ACP ＝∠BCP ．
又∵CP ＝CP ，∴△ACP ≌△BCP ， ∴∠CAP ＝∠CBP ，即∠CAE ＝∠CBF ．
(2)∵∠ACE ＝∠BCF ，∠CAE ＝∠CBF ，AC ＝BC ， ∴△ACE ≌△BCF ，∴AE ＝BF ．
解：(3)由(2)知△ABG 是以AB 为底边的等腰三角形， ∴S △ABC ＝S △ABG 等价于AE ＝AC ．
①当∠ACB 为直角或钝角时，在△ACE 中，不论点P 在CH 何处，均有AE ＞AC ，∴结论不成立．
②当∠ACB 为锐角时，∠BAC ＝90°－
2
1
∠ACB ，而∠CAE ＜∠BAC ， 要使AE ＝AC ，只需使∠ACB ＝∠CEA ， 此时，∠CAE ＝180°－2∠ACB ， 只需180°－2∠ACB ＜90°－2
1
∠ACB ， 解得60°＜∠ACB ＜90°．
4、分析 本题主要考查利用等腰三角形的性质探索问题的能力． 解：∠DCE 的大小与∠A 无关，∠DCE ＝45°．理由如下： ∵BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ． ∴∠BDC ＝
21 (180°－∠B )＝90°－2
1
∠B ． 又∵AE ＝AC ，∴∠AEC ＝∠ACE ．
∴∠AEC ＝
21 (180°－∠A )＝90°－2
1
∠A ． ∴∠AEC ＋∠BDC ＝(90°－21∠A )＋(90°－2
1
∠B )
＝180°－
2
1
(∠A ＋∠B )． 又∵∠ACB ＝90°，∴∠BDC ＋∠AEC ＝180°－
2
1
×90°＝135°． ∴∠DCE ＝45°．
体验中考
1、分析 本题考查等腰三角形中三边之间的关系，由底边BC ＝6，两腰长为x 可知2x ＞6，所以x ＞3．故选B ．
2、分析 本题主要考查等腰三角形特有的“三线合一”的性质，选项A 和选项D 是所有三角形都具有的；选项C 是直角三角形独有的；选项B 是等腰三角形独有的．故选B ．
3、分析 本题主要考查等边三角形的性质和等腰三角形的判定． 证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°． ∵D 是AC 的中点，∴BD 平分∠ABC ．
∴∠CBD ＝
21∠ABC ＝2
1
×60°＝30°． ∵CD ＝CE ，∴∠E ＝∠CDE ．
又∵∠E ＋∠CDE ＝∠ACB ＝60°，∴∠E ＝30°．
∴∠CBD ＝∠E ．∴BD ＝DE ．
12.3角的平分线的性质
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、熟练掌握角平分线的尺规作图．
2、能应用三角形全等的知识，解释尺规作角平分线的原理．
3、掌握几种基本的三角形作图．
【重点难点】
1、利用尺规作已知角的平分线．
2、角平分线的性质.
知识概览图
新课导引
如右图所示，需在S 区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且使集贸市场离公路与铁路交叉点A 处500米．则这个集贸市场应建在何
处(在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000)?
【问题探究】要使集贸市场到公路、铁路的距离相等，则
可连接S 区与公路、铁路的交叉点，利用三角形全等的知识找到两个全等的直角三角形，进而找到集贸市场的位置，可证出连接集贸市场与公路、铁路交叉点A 的直线平分公路与铁路的夹角，问题可求．
【解析】作出公路与铁路夹角的平分线，以其顶点为端点，作出一条长为2．5厘米的线段，则这条线段的另一端点即为所求．
教材精华
知识点１ 角平分线的作法
已知∠AOB ，求作∠AOB 的平分线．
作法：(1)以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于M ，交OB 于N ． (2)分别以M ，N 为圆心，大于2
1
MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内
部交于点C ．
(3)画射线OC ，射线OC 即为∠AOB 的平分线．
拓展 (1)这是最常见的尺规作图，也是最基本的作图之一，必须掌握．
(条件) 点在角的平分线上
(结论) (结论) 点到角的两边的距离相等 (条件)
判定
性质。